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2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.2 圆的对称性
一、选择题
1．（2017·惠山模拟）已知，AB是⊙O的弦，且OA=AB，则∠AOB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么 与 的数量关系是（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．无法确定
3．（2017九上·诸城期末）如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C，D是弧AB的三等分点，半径OC，OD分别与弦AB交于点E，F，下列说法错误的是（ ）
A．AE=EF=FB B．AC=CD=DB C．EC=FD D．∠DFB=75°
4．如图，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（ ）
A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC
5．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（ ）
A．30°，60°，90° B．60°，120°，180°
C．50°，100°，150° D．80°，120°，160°
6．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
7．（2016九上·东莞期中）下列说法中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．相等的弦所对的弧相等 D．相等的弧所对的圆心角相等
8．如图，在⊙O中 = ，∠AOB=40°，则∠COD的度数（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
9．在⊙O中，AB、CD是两条相等的弦，则下列说法中错误的是（ ）
A．AB、CD所对的弧一定相等 B．AB、CD所对的圆心角一定相等
C．△AOB和△COD能完全重合 D．点O到AB、CD的距离一定相等
10．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对应的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或300°
二、填空题
11．（2017·西乡塘模拟）将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是 ．
12．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 ．
13．如图，在⊙O中， = ，AB=2，则AC= ．
14．如图，在⊙O中， = ，若∠AOB=40°，则∠COD= °．
15．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， = ，∠AOB=60°，则∠COD的度数是 度．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ．
三、解答题
17．（2016九上·端州期末）已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC．
18．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断 和 是否相等，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AB=OA=OB，则△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件和半径相等可得出△AOB是等边三角形，求出∠AOB.
2．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】证明：连接AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴ = ．
故答案为：A．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠ACB，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等进行判断。
3．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵点C，D是弧AB的三等分点，
∴AC=CD=DB，∴选项B正确；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴CE=DF，选项C正确；
连接AC，BD，
∵由选项C知，OC=OD，OE=OF，
∴EF∥CD，
∴EF＜CD，
∵C，D是 的三等分点，
∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，故选项D正确；
∠OCD= =75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF≠EF，故选项A错误；
故选A．
【分析】由三角形内角和定理求出∠OCD的度数，根据三角形外角的性质得出∠OEF及∠OFE的度数，由此即可得出结论；根据三角形内角和定理即可得出∠AEO的度数；连接AC，BD，可得出CD=AE=BF，由②可知EF∥CD，所以EF＜CD，故可得出结论．
4．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，
∴∠AOE=∠BOE= ∠AOB，
又∵∠COD= ∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE=∠COD，
∴CD=AE=BE，
∵在△ABE中，AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB，
故答案为：C．
【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，由圆周角定理可得AE，BE和CD的关系，然后根据三角形三边关系定理可得AB与CD的关系，结合选项进行判断即可．
5．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，
由题意得，2x+3x+4x=360°，
解得，x=40°，
则这三个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，
故答案为：D．
【分析】根据这三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，而这三个角组成一个周角，可列方程求解。
6．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵点C是 的中点，
∴∠BOC= ∠AOB=40°，
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理和等腰三角形性质得出∠BOC=∠AOB，代入求出即可．
7．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故本选项错误；
D、相等的弧所对的圆心角相等，正确，
故选D．
【分析】根据圆、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可．
8．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=40°，
故答案为：B．
【分析】首先得到AB弧与CD弧相等，利用等弧所对的圆周角相等得到∠AOB=∠COD，即可选择正确选项．
9．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、AB、CD所对的弧对应相等，所以A选项的说法错误；B、AB、CD所对的圆心角一定相等，所以B选项的说法正确；C、△AOB和△COD全等，所以C选项的说法正确；D、点O到AB、CD的距离一定相等，所以D选项的说法正确．故选A．
【分析】根据一条弦对两条弧可对A进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对B进行判断；根据三角形全等可对C、D进行判断．
10．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴AB所对应的圆心角的度数是：360°×=60°．
故选C．
【分析】AB所对应的圆心角的度数是，就是360度的，据此即可求解．
11．【答案】140°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，
得出方程2x+4x+5x+7x=360，
解得：x=20，
故7×20°=140°．
故答案为：140°
【分析】将一个圆分成四个扇形，可知道四个圆心角的度数之和为360°，根据它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，设未知数建立方程，求解即可知道最大圆心角的度数。
12．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为60°．
【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．
13．【答案】2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，AB=2，
∴AC=AB=2．
故答案为2．
【分析】由于在⊙O中AB=2，根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论可得AC=AB=2．
14．【答案】40
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴ = ，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°．
故答案为：40．
【分析】先根据在⊙O中，根据等弧加上同一段弧可得AB弧与CD弧相等，然后根据∠AOB=40°即可得出结论．
15．【答案】120
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ = ，∠AOB=60°，
∴∠BOC=∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BOD=180°，
∴∠COD=180°﹣∠BOC=120°．
故答案为120．
【分析】先得出∠BOC=∠AOB，再根据直径的定义得出∠BOD的度数，然后根据三角形内角和定理可得∠COD的度数．
16．【答案】125°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为125°．
【分析】连接OD，由∠AOC的度数，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．
17．【答案】证明：连结OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
又∵OB=OC，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DC．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结OC，根据平行线的性质得到∠1=∠B，∠2=∠3，而∠B=∠3，所以∠1=∠2，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
18．【答案】解：连接AE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，
∴∠GAF=∠FAE，
在⊙A中，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AE，利用圆的半径处处相等，可得∠GAF=∠FAE，再由圆心角、弧、弦的关系定理得出结论。
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2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.2 圆的对称性
一、选择题
1．（2017·惠山模拟）已知，AB是⊙O的弦，且OA=AB，则∠AOB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AB=OA=OB，则△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件和半径相等可得出△AOB是等边三角形，求出∠AOB.
2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么 与 的数量关系是（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．无法确定
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】证明：连接AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴ = ．
故答案为：A．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠ACB，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等进行判断。
3．（2017九上·诸城期末）如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C，D是弧AB的三等分点，半径OC，OD分别与弦AB交于点E，F，下列说法错误的是（ ）
A．AE=EF=FB B．AC=CD=DB C．EC=FD D．∠DFB=75°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵点C，D是弧AB的三等分点，
∴AC=CD=DB，∴选项B正确；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴CE=DF，选项C正确；
连接AC，BD，
∵由选项C知，OC=OD，OE=OF，
∴EF∥CD，
∴EF＜CD，
∵C，D是 的三等分点，
∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，故选项D正确；
∠OCD= =75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF≠EF，故选项A错误；
故选A．
【分析】由三角形内角和定理求出∠OCD的度数，根据三角形外角的性质得出∠OEF及∠OFE的度数，由此即可得出结论；根据三角形内角和定理即可得出∠AEO的度数；连接AC，BD，可得出CD=AE=BF，由②可知EF∥CD，所以EF＜CD，故可得出结论．
4．如图，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（ ）
A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，
∴∠AOE=∠BOE= ∠AOB，
又∵∠COD= ∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE=∠COD，
∴CD=AE=BE，
∵在△ABE中，AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB，
故答案为：C．
【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，由圆周角定理可得AE，BE和CD的关系，然后根据三角形三边关系定理可得AB与CD的关系，结合选项进行判断即可．
5．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（ ）
A．30°，60°，90° B．60°，120°，180°
C．50°，100°，150° D．80°，120°，160°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，
由题意得，2x+3x+4x=360°，
解得，x=40°，
则这三个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，
故答案为：D．
【分析】根据这三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，而这三个角组成一个周角，可列方程求解。
6．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵点C是 的中点，
∴∠BOC= ∠AOB=40°，
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理和等腰三角形性质得出∠BOC=∠AOB，代入求出即可．
7．（2016九上·东莞期中）下列说法中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．相等的弦所对的弧相等 D．相等的弧所对的圆心角相等
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故本选项错误；
D、相等的弧所对的圆心角相等，正确，
故选D．
【分析】根据圆、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可．
8．如图，在⊙O中 = ，∠AOB=40°，则∠COD的度数（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=40°，
故答案为：B．
【分析】首先得到AB弧与CD弧相等，利用等弧所对的圆周角相等得到∠AOB=∠COD，即可选择正确选项．
9．在⊙O中，AB、CD是两条相等的弦，则下列说法中错误的是（ ）
A．AB、CD所对的弧一定相等 B．AB、CD所对的圆心角一定相等
C．△AOB和△COD能完全重合 D．点O到AB、CD的距离一定相等
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、AB、CD所对的弧对应相等，所以A选项的说法错误；B、AB、CD所对的圆心角一定相等，所以B选项的说法正确；C、△AOB和△COD全等，所以C选项的说法正确；D、点O到AB、CD的距离一定相等，所以D选项的说法正确．故选A．
【分析】根据一条弦对两条弧可对A进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对B进行判断；根据三角形全等可对C、D进行判断．
10．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对应的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或300°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴AB所对应的圆心角的度数是：360°×=60°．
故选C．
【分析】AB所对应的圆心角的度数是，就是360度的，据此即可求解．
二、填空题
11．（2017·西乡塘模拟）将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是 ．
【答案】140°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，
得出方程2x+4x+5x+7x=360，
解得：x=20，
故7×20°=140°．
故答案为：140°
【分析】将一个圆分成四个扇形，可知道四个圆心角的度数之和为360°，根据它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，设未知数建立方程，求解即可知道最大圆心角的度数。
12．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 ．
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为60°．
【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．
13．如图，在⊙O中， = ，AB=2，则AC= ．
【答案】2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，AB=2，
∴AC=AB=2．
故答案为2．
【分析】由于在⊙O中AB=2，根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论可得AC=AB=2．
14．如图，在⊙O中， = ，若∠AOB=40°，则∠COD= °．
【答案】40
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴ = ，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°．
故答案为：40．
【分析】先根据在⊙O中，根据等弧加上同一段弧可得AB弧与CD弧相等，然后根据∠AOB=40°即可得出结论．
15．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上， = ，∠AOB=60°，则∠COD的度数是 度．
【答案】120
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ = ，∠AOB=60°，
∴∠BOC=∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BOD=180°，
∴∠COD=180°﹣∠BOC=120°．
故答案为120．
【分析】先得出∠BOC=∠AOB，再根据直径的定义得出∠BOD的度数，然后根据三角形内角和定理可得∠COD的度数．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ．
【答案】125°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为125°．
【分析】连接OD，由∠AOC的度数，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．
三、解答题
17．（2016九上·端州期末）已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC．
【答案】证明：连结OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
又∵OB=OC，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DC．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结OC，根据平行线的性质得到∠1=∠B，∠2=∠3，而∠B=∠3，所以∠1=∠2，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
18．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断 和 是否相等，并说明理由．
【答案】解：连接AE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，
∴∠GAF=∠FAE，
在⊙A中，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AE，利用圆的半径处处相等，可得∠GAF=∠FAE，再由圆心角、弧、弦的关系定理得出结论。
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