2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：5.3.3简单的轴对称图形—— 角平分线
一、选择——基础知识运用
1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．5mn C．7mn D．6mn
3．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（ ）
A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm
4．已知：△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，下列选项中不正确的是（ ）
A．点O到△ABC的三顶点的距离一定相等
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O一定在△ABC的内部
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、解答——知识提高运用
6．△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD：DC=9：7，求D到AB的距离。
7．已知，如图，OD⊥AD，OH⊥AE，DE交GH于O．若∠1=∠2，求证：OG=OE。
8．如图，△ABC的角平分线BM，CN交于点P。
（1）试说明点P到AB，BC，CA三边的距离相等；
（2）点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形三条角平分线有什么关系？
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6cm，AD是∠CAB的平分线，求DC的长。
10．已知：如图，PM⊥BD于BD中点M，PN⊥AD于AD中点N，PM=PN，试说明：OB=OA。
11．已知如图，∠BAC=∠BPC，AP平分∠CAN，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于M，求的值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，
故答案为：A
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到到三角形三条边的距离相等的点.
2．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=m，
∴△ABD的面积= ×2n×m=mn，
故选：A．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，
又∵AD平分∠CAB，
∴DC=DE=3.8，
∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4。
故答案为：C
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和角平分线上的点到角两边的距离相等，求出BC的值.
4．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：点O到△ABC的三顶点的距离不一定相等，A不正确；
∠C的平分线一定经过点O，B正确；
点O到△ABC的三边距离一定相等，C正确；
点O一定在△ABC的内部，D正确，
故选：A．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】∵AC=BC，BC=7，
∴AC=7，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC=7，
故答案为：D
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到DC=DE，在Rt△中根据HL判断Rt△ACD≌Rt△AED，得到AE=AC的值.
6．【答案】解：∵BD：DC=9：7，BC=64，∴CD= ×64=28，∵AD为角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=28.答：D到AB的距离为28
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到DE=DC，即D到AB的距离.
7．【答案】解：∵∠1=∠2，OD⊥AD，OH⊥AE，∴OD=OH，在△DOG和△HOE中， ，∴△DOG≌△HOE，∴OG=OE
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到OD=OH，再根据ASA，得到△DOG≌△HOE，得到OG=OE.
8．【答案】（1）解：∵BM平分∠ABC，
∴点P到AB，BC两边的距离相等，
∵CN平分∠ACB，
∴点P到AC，BC两边的距离相等，
∴点P到AB，BC，CA三边的距离相等
（2）解：∵点P到AB，CA两边的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上，
这说明三角形三条角平分线相交于一点
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到点P到AB，BC，CA三边的距离相等；（2）根据到角两边的距离相等的点在角的平分线上，得到三角形三条角平分线相交于一点.
9．【答案】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°。∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠BAD=∠B=30°。∴AD=2CD，AD=BD。∴BC=3CD。∴CD=BC=×6＝2。∴DC的长为2cm
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AD=2CD，再根据等角对等边，求出DC的长.
10．【答案】解：在Rt△PMD和Rt△PND中，∴Rt△PMD≌Rt△PND，∴∠BDO=∠ADO，DM=DN，又DM=BD，DN=DA，∴DB=DA，在△BOD和△AOD中，∴△BOD≌△AOD，∴OB=OA
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法HL，得到Rt△PMD≌Rt△PND，再根据SAS得到△BOD≌△AOD，得到OB=OA.
11．【答案】解：∵AP平分∠CAN，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于M，∴PM=PN，∵∠BAC=∠BPC，∴∠NBP=∠MCP，在△NBP和△MCP中，∴△NBP≌△MCP，∴NB=CM，∴AC+AB=2CM，∴=2
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到PM=PN，再根据全等三角形的判定方法AAS，得到△NBP≌△MCP，得到NB=CM，AC+AB=2CM，求出比值即可.
1 / 12017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：5.3.3简单的轴对称图形—— 角平分线
一、选择——基础知识运用
1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，
故答案为：A
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到到三角形三条边的距离相等的点.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．5mn C．7mn D．6mn
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=m，
∴△ABD的面积= ×2n×m=mn，
故选：A．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
3．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（ ）
A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，
又∵AD平分∠CAB，
∴DC=DE=3.8，
∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4。
故答案为：C
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和角平分线上的点到角两边的距离相等，求出BC的值.
4．已知：△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，下列选项中不正确的是（ ）
A．点O到△ABC的三顶点的距离一定相等
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O一定在△ABC的内部
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：点O到△ABC的三顶点的距离不一定相等，A不正确；
∠C的平分线一定经过点O，B正确；
点O到△ABC的三边距离一定相等，C正确；
点O一定在△ABC的内部，D正确，
故选：A．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】∵AC=BC，BC=7，
∴AC=7，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC=7，
故答案为：D
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到DC=DE，在Rt△中根据HL判断Rt△ACD≌Rt△AED，得到AE=AC的值.
二、解答——知识提高运用
6．△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD：DC=9：7，求D到AB的距离。
【答案】解：∵BD：DC=9：7，BC=64，∴CD= ×64=28，∵AD为角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=28.答：D到AB的距离为28
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到DE=DC，即D到AB的距离.
7．已知，如图，OD⊥AD，OH⊥AE，DE交GH于O．若∠1=∠2，求证：OG=OE。
【答案】解：∵∠1=∠2，OD⊥AD，OH⊥AE，∴OD=OH，在△DOG和△HOE中， ，∴△DOG≌△HOE，∴OG=OE
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到OD=OH，再根据ASA，得到△DOG≌△HOE，得到OG=OE.
8．如图，△ABC的角平分线BM，CN交于点P。
（1）试说明点P到AB，BC，CA三边的距离相等；
（2）点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形三条角平分线有什么关系？
【答案】（1）解：∵BM平分∠ABC，
∴点P到AB，BC两边的距离相等，
∵CN平分∠ACB，
∴点P到AC，BC两边的距离相等，
∴点P到AB，BC，CA三边的距离相等
（2）解：∵点P到AB，CA两边的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上，
这说明三角形三条角平分线相交于一点
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到点P到AB，BC，CA三边的距离相等；（2）根据到角两边的距离相等的点在角的平分线上，得到三角形三条角平分线相交于一点.
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6cm，AD是∠CAB的平分线，求DC的长。
【答案】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°。∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠BAD=∠B=30°。∴AD=2CD，AD=BD。∴BC=3CD。∴CD=BC=×6＝2。∴DC的长为2cm
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AD=2CD，再根据等角对等边，求出DC的长.
10．已知：如图，PM⊥BD于BD中点M，PN⊥AD于AD中点N，PM=PN，试说明：OB=OA。
【答案】解：在Rt△PMD和Rt△PND中，∴Rt△PMD≌Rt△PND，∴∠BDO=∠ADO，DM=DN，又DM=BD，DN=DA，∴DB=DA，在△BOD和△AOD中，∴△BOD≌△AOD，∴OB=OA
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法HL，得到Rt△PMD≌Rt△PND，再根据SAS得到△BOD≌△AOD，得到OB=OA.
11．已知如图，∠BAC=∠BPC，AP平分∠CAN，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于M，求的值。
【答案】解：∵AP平分∠CAN，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于M，∴PM=PN，∵∠BAC=∠BPC，∴∠NBP=∠MCP，在△NBP和△MCP中，∴△NBP≌△MCP，∴NB=CM，∴AC+AB=2CM，∴=2
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到PM=PN，再根据全等三角形的判定方法AAS，得到△NBP≌△MCP，得到NB=CM，AC+AB=2CM，求出比值即可.
1 / 1
