哈尔滨市名校2022-2023学年高二上学期9月开学验收考试
数学试卷 原卷版
一 单项选择题（共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则复数的模为（ ）
A. B. 1 C. D.
2. 设向量，，则“”是“∥”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知两个平面，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（ ）
A 都垂直于一个平面
B. 平面内有无数条直线与平面平行
C. 内两条直线，且都与平面平行
D. 是两条异面直线，且分别与平面都平行
4. 如图，是水平放置的的直观图，，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为虚数单位，若复数为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 某校为了解学生的课外锻炼身体的情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课外锻炼时间进行了统计，统计数据如表所示，则该校学生一周进行课外锻炼的时间的第40百分位数是（ ）
铁炼时间 7 8 9 10 11
人数 6 10 9 8 7
A. 9 B. 8.5 C. 8 D. 7
7. 某家庭2020年收入的各种用途占比统计如图1所示，2021年收入的各种用途占比统计如图2所示．已知2021年的“旅行”费用比2020年增加了500元，则该家庭2021年的“衣食住”费用比2020年增加了（ ）
A. 2000元 B. 2500元 C. 3000元 D. 3500元
8. 如图①，在Rt△ABC中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如图②．若F是的中点，点M在线段上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小颁给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 对于一个古典概型的样本空间和事件，其中分别表示样本空间，事件，事件，事件包含的样本点个数，已知，，，，，则（ ）
A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B相互独立
C. 事件A与C互斥 D. 事件A与C相互独立
10. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A. 处与处之间的距离是 B. 灯塔与处之间的距离是
C. 灯塔在处的西偏南 D. 在灯塔的北偏西
11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 在棱上存在点，使平面
B. 异面直线与所成的角为90°
C. 二面角大小为45°
D. 平面
12. 已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（ ）
A. 设总样本的平均数为，则
B. 设总样本的平均数为，则
C. 设总样本的方差为，则
D. 若，则
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）
13. 已知向量.若，则实数___________.
14. 城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________．
15. 设，已知，则___________.
16. 已知四面体的四个顶点都在球的球面上，和是边长为3的等边三角形，，则球的体积为___________：若分别为线段的中点，则___________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17. 已知，，且．
（1）求与的夹角；
（2）求．
18. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，AC的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
19. 哈尔滨地铁第一条线路于2013年9月26日开通试运营，使哈尔滨成为中国首个建有“高寒地铁”系统的城市，截止目前，哈尔滨地铁开通运营线路共有三条，分别为1号线，2号线，3号线，为全市人民出行带来了便捷，某社团小组在一高峰时段对某座地铁站随机抽取了100名乘客，统计其乘车等待时间（等待时间不超过30分钟），制成如下频率分布直方图.
（1）求样本中等待时间大于15分钟的人数及x的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名乘客等待时间的：
（i）中位数（结果用分数表示）；
（ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）.
20. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）若，求的周长．
21. 已知正四棱柱中，.
（1）求证：；
（2）求二面角余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22. 2016年起，春节期间全国流行在微信群里发红包 抢红包，如今，发抢红包已经成为人们工作和生活里很重要的决策方式，某单位活动中，部门主任将800元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：
金额分组
频数 3 9 17 11 8 2
（1）求产生的手气红包的金额超过15元的频率；
（2）估计手气红包金额的分位数；
（3）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率.
（i）若红包金额在区间内为红包运气手，求抢得红包某人恰好是红包运气手的概率；
（ii）随机抽取手气红包金额在内的两人，设其手气金额分别为，，求事件“”的概率.哈尔滨市名校2022-2023学年高二上学期9月开学验收考试
数学试卷 解析版
一 单项选择题（共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则复数的模为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的模的定义直接求解即可.
【详解】解：因为复数，所以.
故选：C
2. 设向量，，则“”是“∥”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，∥，则，解得，所以“”是“∥”的充分不必要条件，故选A.
考点：向量的运算.
3. 已知两个平面，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（ ）
A. 都垂直于一个平面
B. 平面内有无数条直线与平面平行
C. 是内两条直线，且都与平面平行
D. 是两条异面直线，且分别与平面都平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间线面位置关系，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，都垂直于一个平面，平面与平面平行或相交，故错误；
对于B型选项，平面内有无数条直线与平面平行，则两个平面平行或相交，故错误；
对于C选项，当是内两条相交直线，且都与平面平行时，，故错误；
对于D选项，是两条异面直线，且分别与平面都平行，则，故正确.
故选：D
4. 如图，是水平放置的的直观图，，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】还原成，是直角三角形，且两条直角边分别为6和4，求出斜边的长即可．
【详解】解：是水平放置的的直观图，
所以是直角三角形，且两条直角边长为和，
它的斜边的长为：．
故选：C．
5. 已知为虚数单位，若复数为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出复数和，然后代入中化简计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B
6. 某校为了解学生的课外锻炼身体的情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课外锻炼时间进行了统计，统计数据如表所示，则该校学生一周进行课外锻炼的时间的第40百分位数是（ ）
铁炼时间 7 8 9 10 11
人数 6 10 9 8 7
A. 9 B. 8.5 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，先计算学生总数，百分位数根据从小到大的排列后，可直接计算完成求解.
【详解】由已知，某校抽取的学生总数为，
，那么第40百分位数是第16和第17个数的平均数，
第16和第17个数分别为8，9，
所以第40百分位数是.
故选：B.
7. 某家庭2020年收入的各种用途占比统计如图1所示，2021年收入的各种用途占比统计如图2所示．已知2021年的“旅行”费用比2020年增加了500元，则该家庭2021年的“衣食住”费用比2020年增加了（ ）
A. 2000元 B. 2500元 C. 3000元 D. 3500元
【答案】C
【解析】
【分析】设该家庭2020年的收入为x元，2021年的收入为y元，根据题意可得，然后结统计图可求得答案.
【详解】设该家庭2020年的收入为x元，2021年的收入为y元．
由题意得，，即，
所以2021年的“衣食住”费用比2020年增加了（元）．
故选：C
8. 如图①，在Rt△ABC中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如图②．若F是的中点，点M在线段上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若是中点，连接，易得直线CM与面DEF所成角即为直线CM与面所成角为，利用线面垂直的判定可得面，由线面垂直、面面垂直的判定有面面，即可判断的变化范围，进而确定最小时的位置，再利用棱锥的体积公式求体积即可.
【详解】若是中点，连接，则面DEF即为面，
所以直线CM与面DEF所成角，即为直线CM与面所成角为，
因为，，，则面，
又F是中点，则F到面的距离为.
因为，，，则面，
又面，则面面，又面，面面，
所以直线CM与面所成角为，即为直线所成角.
又△为等腰直角三角形且，则，
由图知，M在线段上运动过程中，
即直线CM与平面DEF所成角最小时，重合，
此时，四面体MFCE的体积.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用线面垂直、面面垂直，结合M在线段上运动判断线面角的范围，应用数形结合思想判断角度最小时M的位置.
二 多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小颁给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 对于一个古典概型的样本空间和事件，其中分别表示样本空间，事件，事件，事件包含的样本点个数，已知，，，，，则（ ）
A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B相互独立
C. 事件A与C互斥 D. 事件A与C相互独立
【答案】AD
【解析】
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的定义直接求解.
【详解】记表示事件包含的样本点，
，即事件A与B互斥，故A正确；
，，，事件A与B不相互独立，故B不正确；
记表示事件AC包含的样本点个数，，，即事件A与C不互斥，故C不正确；
，，，，事件A与C相互独立，故D正确.
故选：AD．
10. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A. 处与处之间距离是 B. 灯塔与处之间的距离是
C. 灯塔在处的西偏南 D. 在灯塔的北偏西
【答案】ABC
【解析】
【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.
【详解】在中，由已知得，，
则，．
由正弦定理得，
所以处与处之间的距离为 ，故A正确；
在中，由余弦定理得，
，
又，
解得．
所以灯塔与处之间的距离为 ，故B正确，
，
，
灯塔在处的西偏南，故C正确；
灯塔在的南偏东，
在灯塔的北偏西，故D错误；
故选：ABC．
11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 在棱上存在点，使平面
B. 异面直线与所成的角为90°
C. 二面角的大小为45°
D. 平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明.
【详解】A选项：如图，取的中点，连接，
∵侧面为正三角形，，
又底面是菱形，，是等边三角形，
又为的中点，
又，，在平面内，且相交于点，
平面，故选项A正确；
B选项：由选项A知，平面，又平面，，
即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确；
C选项：∵平面， ，
平面，，，
又平面平面，是二面角的平面角，
设，则，，
在直角中，，即，
故二面角的大小为，故选项C正确；
D选项：因为平面平面，，
所以平面，又平面，所以.
假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点，
所以平面，又平面，所以，
而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误.
故选：ABC.
12. 已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（ ）
A. 设总样本的平均数为，则
B. 设总样本的平均数为，则
C. 设总样本的方差为，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A选项，因为，由放缩可得；
对于B选项，举例说明B不正确；
对于C选项，举例说明C不正确；
对于D选项，若，代入总体方差计算公式，可得.
【详解】对于A选项，因为，所以
，即，A正确；
对于B选项，取第一部分数据，则，，取第二部分数据为，则，，则，B不正确；
对于C选项，取第一部分数据为，则，，
取第二部分数据为，则，，则，
，C不正确；
对于D选项，若，则，D正确.
故选：AD.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）
13. 已知向量.若，则实数___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据数量积的坐标运算即可确定 .
【详解】因为，所以，解得；
故答案为：2.
14. 城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据互斥事件概率求法即可得解.
【详解】∵设汽车分别在甲乙丙三处的通行为事件，停车为，
∴，，，
∵停车一次即为事件，
∴所求概率为：．
故答案为: .
15. 设，已知，则___________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用复数的几何意义转化为向量间的运算，即可得解.
【详解】设复数在复平面内对应的向量分别为，
由题意可得，，
所以，所以，
所以，故.
故答案为：4.
16. 已知四面体的四个顶点都在球的球面上，和是边长为3的等边三角形，，则球的体积为___________：若分别为线段的中点，则___________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】由题意得，即可得出球心在的中点，进而求出半径和球的体积；先求得，再由勾股定理求解即可.
【详解】
由题意知，，，
则，，
则球心在的中点，且，
则球的体积为；若分别为线段的中点，
则，又，，
则，则，.
故答案为：；.
四 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17. 已知，，且．
（1）求与的夹角；
（2）求．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积运算律求解即可；
（2）根据向量模的运算求解即可.
【小问1详解】
∵，，
由化简得，∴
∵，∴
【小问2详解】
．
18. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，AC的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
分析】（1）可利用线线平行来证明线面平行
（2）可采用等体积法进行求解
【详解】证明：（1）如图，连结BD；
因为四边形ABCD为正方形，
所以BD交AC于F且F为BD中点；
又因为E为中点，所以；
因为平面，平面，所以平面；
（2）三棱锥的体积.
【点睛】本题考查了线面平行的证明及锥体体积的求解方法，证线面平行一般是通过证线线平行来证明，三棱锥的体积常用等体积法转换底面和高进行求解.
19. 哈尔滨地铁第一条线路于2013年9月26日开通试运营，使哈尔滨成为中国首个建有“高寒地铁”系统的城市，截止目前，哈尔滨地铁开通运营线路共有三条，分别为1号线，2号线，3号线，为全市人民出行带来了便捷，某社团小组在一高峰时段对某座地铁站随机抽取了100名乘客，统计其乘车等待时间（等待时间不超过30分钟），制成如下频率分布直方图.
（1）求样本中等待时间大于15分钟的人数及x的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名乘客等待时间的：
（i）中位数（结果用分数表示）；
（ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）.
【答案】（1）人，
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据小矩形面积等于频率以及小矩形面积之和=1，即可求解；
（2）根据频率分布直方图以及平均数和中位数的定义求解即可.
【小问1详解】
等待时间大于15分钟的共有三组，它们的频率之和为：，
所以人数为：人；
由图可知：，
解得：.
【小问2详解】
（i）第一组频率：，第二组频率：，
第三组频率：，所以中位数在第四组，
设中位数为，则有：
解得：中位数
（ii）平均数
20. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）14
【解析】
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【小问1详解】
证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
【小问2详解】
解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
21. 已知正四棱柱中，.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，表示出，由即可证明；
（2）求出平面和的法向量，由向量夹角的余弦公式求解即可；
（3）假设存在，设，求出平面法向量，由法向量垂直求出，即可求解.
【小问1详解】
易得两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，则，
，则；
【小问2详解】
由（1）知，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
则，又二面角为钝角，则二面角的余弦值为；
【小问3详解】
假设存在，设，则，又，则，
设平面的法向量，则，令，则，
又由（2）知平面的法向量为，由平面平面，可得，
即，解得，则，.
22. 2016年起，春节期间全国流行在微信群里发红包 抢红包，如今，发抢红包已经成为人们工作和生活里很重要的决策方式，某单位活动中，部门主任将800元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：
金额分组
频数 3 9 17 11 8 2
（1）求产生的手气红包的金额超过15元的频率；
（2）估计手气红包金额的分位数；
（3）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率.
（i）若红包金额在区间内为红包运气手，求抢得红包的某人恰好是红包运气手的概率；
（ii）随机抽取手气红包金额在内的两人，设其手气金额分别为，，求事件“”的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）结合表中数据直接计算频率即可；
（2）根据表中数据直接计算即可；
（3）（i）根据频率估计概率求解即可；
（ii）写出基本事件，结合古典概型求解即可.
【小问1详解】
解：产生的手气红包的金额超过15元的频数为，
所以，产生的手气红包的金额超过15元的频率为.
【小问2详解】
解：前三组的频率为，前四组的频率为，
所以手气红包金额的分位数为.
【小问3详解】
解：（i）由表中数据知，手气红包频数在内的有人，
所以，某人恰好是红包运气手的概率为；
（ii）由题知，手气红包金额在和内的分别有3人和2人，分别记为和，
所以，抽取手气红包金额在内的两人的情况为：，共10种，
其中，满足事件“”的情况有共6种，
所以，根据古典概型得事件“”的概率为.
