2018-2019学年数学人教版八年级上册11.2.2 三角形的外角 同步训练
一、选择题
1．如图，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=78°，则∠2=（ ）
A．78° B．80° C．50° D．60°
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形
B．等腰三角形的内角可能是钝角或直角
C．三角形外角一定是钝角
D．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
3．（2017八上·三明期末）如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（ ）
A．75° B．45° C．30° D．15°
4．一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中 的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
5．（2017八下·合浦期中）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．315° B．270° C．180° D．135°
6．如图，AB∥CD，则图中α，β，γ三者之间的关系是（ ）
A．α+β+γ=180° B．α–β+γ=180°
C．α+β–γ=180° D．α+β+γ=360°
7．如图：∠2 大于∠1的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知△ABC的外角∠CBE，∠BCF的角平分线BP，CP交于P点，则∠BPC是（ ）
A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定
9．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于（ ）
A．360° B．720° C．540° D．240°
10．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1（n＞2）的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，△ABC中，DE是∠ADC角平分线，若已知∠B=50°，∠BAD=60°，则∠CDE= ．
12．（2016八上·临河期中）如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1= 度．
13．（2017八上·三明期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=40°，∠ACE=60°，则∠A
= 度．
14．如图所示，∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，则∠BDF= ．
15．如图，D、E、F分别是△ABC三边延长线上的点，则∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3= 度.
16．如图所示，∠ABC，∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°， 则∠BOC= ，∠D= ，∠E= .
三、解答题
17．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=40°，求∠BAC的度数．
18．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B=30°，∠E=20°，求∠ACE和∠BAC的度数
19．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠B=60°，AE⊥BC于点E，CD平分∠ACB且分别与AB、AE交于点D、F，求∠AFC的度数．
20．已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．
21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE.
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC(点B、C除外)边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
22．在△ABC中，∠A＝40°．
（1）如图(1)BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（2）如图(2)若BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（3）如图(3)若BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n°时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系(只需写出结论)．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠2=∠B+∠BAD，∠BAC=∠1+∠BAD，
又∵∠B=∠1，
∴∠2=∠BAC，
∵∠BAC=78°，
∴∠2=78°．
故选A．
【分析】由图知，∠2=∠B+∠BAD，∠BAC=∠1+∠BAD，根据已知，可以得到∠2=∠BAC，进而可以求出∠2．
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形，故A不正确；
B、等腰三角形的内角可能是钝角或直角，故B不正确；
C、三角形外角可能是钝角、直角或锐角，故C正确；
D、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，故D不正确；
故选C、
【分析】根据三角形的分类、外角的性质以及三角形中线的性质进行选择即可．
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，∠1=45°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，
∴∠α=45°+30°=75°，
故选A．
【分析】首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：已知，∠ADE=45°，∠F=60°，
∴∠α=180°-60°-45°=75°．
故答案为：A
【分析】由三角板各个角的度数和三角形内角和定理，求出∠α的度数.
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，
∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．
故选：B．
【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CCD，
∵∠AFD=∠β ∠γ，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠AFD=∠β ∠γ，再由两直线平行同旁内角互补，得到∠α+∠AFD = 180°；得到α，β，γ三者之间的关系.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠2 和∠1的关系不能确定，故错误；
B、∠2＞∠1，故正确；
C、∠2 和∠1的关系不能确定，故错误；
D、∠2=∠1，故错误，
故选：B．
【分析】根据三角形的外角的性质、对顶角的性质判断即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵△ABC的外角平分线BP，CP交于P点，
∴∠PBC= ∠EBC，∠BCP= ∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角，
∴∠CBE+∠BCF=360°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A，
∴∠PBC+∠BCP= （∠EBC+∠BCF）= （180°+∠A）=90°+ ∠A，
∵在△PBC中，∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠BCP）=180°﹣（90°+ ∠A）=90°﹣ ∠A＜90°，
∴∠BPC是锐角．
故选：B．
【分析】首先根据△ABC的外角平分线BP，CP交于P点，得出∠PBC+∠BCP=90°+ ∠A，再根据三角形内角和定理，求得∠BPC=90°﹣ ∠A＜90°即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】如图，
根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，
∵∠BOF=120°，
∴∠3=180°﹣120°=60°，
根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°﹣60°=120°，
∠F+∠2=180°﹣60°=120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，由∠BOF的度数，求出∠3的度数，再根据三角形内角和定理，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
10．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在 △ABA1 中，
∠A=70°，AB=A1B，
∴∠BA1A=70°，
∵A1A2=A1B1， ∠BA1A 是 △A1A2B1 的外角，
∴∠B1A2A1===35°.
同理可得，
∠B2A3A2==17.5°，∠B3A4A3==.
∴∠An-1AnBn-1=
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠An﹣1AnBn﹣1的度数.
11．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠BAD=60°，∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=110°，
又∵DE是∠ADC角平分线，
∴∠CDE= ∠ADC=55°．
故答案为：55°．
【分析】先根据三角形外角性质，求得∠ADC的度数，再根据DE是∠ADC角平分线，求得∠CDE的度数．
12．【答案】45
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，
∴∠1=180°﹣∠ABD﹣∠D=180°﹣110°﹣25°=45°．
【分析】根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得．
13．【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=40°，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=80°，
故答案为：80
【分析】根据角平分线定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质得出∠ACD=∠A+∠B，即可求出答案．
14．【答案】87°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣67°﹣74°=39°，
在△ADE中，∠ADE=180°﹣∠A﹣∠AED=180°﹣39°﹣48°=93°，
∴∠BDF=180°﹣∠ADE=180°﹣93°=87°．
故答案为：87°．
【分析】由已知根据三角形内角和定理可求出△ABC中∠A的度数，同理可求出△ADE中∠ADE的度数，再由∠ADE+∠BDF=180°求出∠BDF．
15．【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵∠D+∠3=∠CAB，∠E+∠1=∠ABC，∠F+∠2=∠ACB，
∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°．
故答案是：180
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和三角形内角和定理，求出∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB的度数.
16．【答案】120°；30°；60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠2+2∠1+∠A=180°，
∴∠2+∠1=90°- ∠A，
又∵∠2+∠1+∠BOC=180°，
∴90°- ∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+ ∠A，
而∠A=60°，
∴∠BOC=90°+ ×60°=120°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D= ∠A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°，
∵BE平分∠ABC相邻外角，BD平分∠ABC，
∴∠DBE=90°，
∴∠E=90°-∠D=60°，
故答案是：120°，30°60°．
【分析】由三角形内角和定理和角平分线定义，求出∠BOC=90°+∠A÷2；根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和角平分线定义，求出∠D、∠E的度数.
17．【答案】解：∵∠1=∠2，∠B=40°，
∴∠2=∠1=（180°﹣40°）÷2=70°，
又∵∠2是△ADC的外角，
∴∠2=∠3+∠4，
∵∠3=∠4，
∴∠2=2∠3，
∴∠3= ∠2=35°，
∴∠BAC=∠1+∠3=105°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】先根据三角形内角和，求得∠2的度数，再根据三角形外角性质，求得∠3的度数，即可得出∠BAC的度数．
18．【答案】解：∵∠B=30°，∠E=20°，
∴∠ECD=∠B+∠E=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=50°，
∴∠ACD=2∠ECD=100°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=100°﹣30°=70°.
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠ECD的度数，再由角平分线定义求出 ∠ACE和∠BAC的度数.
19．【答案】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°．
∵∠B=60°，
∴∠BAE=90°﹣60°=30°．
∴∠CAE=50°﹣30°=20°
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B=70°．
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD= ∠ACB=35°．
∴∠AFC=180°﹣35°﹣20°=125°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】先根据垂直的定义求∠BAE的度数，再结合图形根据角的和差求出∠CAE的度数，利用三角形的内角和求∠ACB，因CD平分∠ACB，所以可得∠ACD，最后利用△AFC的内角和为180°，求得∠AFC的度数．
20．【答案】解：∠C的大小保持不变．理由：
∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠ABE= ∠ABY= （90°+∠OAB）=45°+ ∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠C+∠CAB，
∴∠C=45°，
故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和角平分线定义，得到∠ABE=45°+∠CAB，再由三角形的外角性质∠ABE=∠C+∠CAB，得到 ∠C的大小保持不变．
21．【答案】（1）解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC．
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC-∠EDC=105°-∠EDC=45°+∠EDC，
解得：∠CDE=30°；
（2）解：∠CDE =∠D，
理由：设∠BAD=x，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠CDE，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC-∠CDE=∠45°+x-∠CDE=45°+∠CDE，
得：∠CDE =∠D．
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，再由已知求出∠CDE的度数；（2）由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到 ∠BAD与∠CDE的数量关系式.
22．【答案】（1）解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+∠ACB）= ×140°=70°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°
（2）解：∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，
∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，
∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠BOC=180°-∠A，
∴∠BOC=90°- ∠A=90°-20°=70°．
（3）解：如图3，
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2﹣∠1= ∠A+∠1﹣∠1= ∠A= ×40°=20°．
（4）解：分别是90°+ °；90°- °； °
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理和∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线定义和三角形内角和定理，求出∠BOC的度数；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和角平分线定义，求出∠BOC的度数；（3）由角平分线定义和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠BOC的度数；（4）由（1）（2）（3）的结果，得到∠BOC与∠A的数量关系.
1 / 12018-2019学年数学人教版八年级上册11.2.2 三角形的外角 同步训练
一、选择题
1．如图，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=78°，则∠2=（ ）
A．78° B．80° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠2=∠B+∠BAD，∠BAC=∠1+∠BAD，
又∵∠B=∠1，
∴∠2=∠BAC，
∵∠BAC=78°，
∴∠2=78°．
故选A．
【分析】由图知，∠2=∠B+∠BAD，∠BAC=∠1+∠BAD，根据已知，可以得到∠2=∠BAC，进而可以求出∠2．
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形
B．等腰三角形的内角可能是钝角或直角
C．三角形外角一定是钝角
D．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形，故A不正确；
B、等腰三角形的内角可能是钝角或直角，故B不正确；
C、三角形外角可能是钝角、直角或锐角，故C正确；
D、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，故D不正确；
故选C、
【分析】根据三角形的分类、外角的性质以及三角形中线的性质进行选择即可．
3．（2017八上·三明期末）如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（ ）
A．75° B．45° C．30° D．15°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，∠1=45°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，
∴∠α=45°+30°=75°，
故选A．
【分析】首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．
4．一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中 的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：已知，∠ADE=45°，∠F=60°，
∴∠α=180°-60°-45°=75°．
故答案为：A
【分析】由三角板各个角的度数和三角形内角和定理，求出∠α的度数.
5．（2017八下·合浦期中）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．315° B．270° C．180° D．135°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，
∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．
故选：B．
【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．
6．如图，AB∥CD，则图中α，β，γ三者之间的关系是（ ）
A．α+β+γ=180° B．α–β+γ=180°
C．α+β–γ=180° D．α+β+γ=360°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CCD，
∵∠AFD=∠β ∠γ，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠AFD=∠β ∠γ，再由两直线平行同旁内角互补，得到∠α+∠AFD = 180°；得到α，β，γ三者之间的关系.
7．如图：∠2 大于∠1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠2 和∠1的关系不能确定，故错误；
B、∠2＞∠1，故正确；
C、∠2 和∠1的关系不能确定，故错误；
D、∠2=∠1，故错误，
故选：B．
【分析】根据三角形的外角的性质、对顶角的性质判断即可．
8．已知△ABC的外角∠CBE，∠BCF的角平分线BP，CP交于P点，则∠BPC是（ ）
A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵△ABC的外角平分线BP，CP交于P点，
∴∠PBC= ∠EBC，∠BCP= ∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角，
∴∠CBE+∠BCF=360°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A，
∴∠PBC+∠BCP= （∠EBC+∠BCF）= （180°+∠A）=90°+ ∠A，
∵在△PBC中，∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠BCP）=180°﹣（90°+ ∠A）=90°﹣ ∠A＜90°，
∴∠BPC是锐角．
故选：B．
【分析】首先根据△ABC的外角平分线BP，CP交于P点，得出∠PBC+∠BCP=90°+ ∠A，再根据三角形内角和定理，求得∠BPC=90°﹣ ∠A＜90°即可．
9．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于（ ）
A．360° B．720° C．540° D．240°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】如图，
根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，
∵∠BOF=120°，
∴∠3=180°﹣120°=60°，
根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°﹣60°=120°，
∠F+∠2=180°﹣60°=120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，由∠BOF的度数，求出∠3的度数，再根据三角形内角和定理，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
10．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1（n＞2）的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在 △ABA1 中，
∠A=70°，AB=A1B，
∴∠BA1A=70°，
∵A1A2=A1B1， ∠BA1A 是 △A1A2B1 的外角，
∴∠B1A2A1===35°.
同理可得，
∠B2A3A2==17.5°，∠B3A4A3==.
∴∠An-1AnBn-1=
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠An﹣1AnBn﹣1的度数.
二、填空题
11．如图，△ABC中，DE是∠ADC角平分线，若已知∠B=50°，∠BAD=60°，则∠CDE= ．
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠BAD=60°，∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=110°，
又∵DE是∠ADC角平分线，
∴∠CDE= ∠ADC=55°．
故答案为：55°．
【分析】先根据三角形外角性质，求得∠ADC的度数，再根据DE是∠ADC角平分线，求得∠CDE的度数．
12．（2016八上·临河期中）如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1= 度．
【答案】45
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，
∴∠1=180°﹣∠ABD﹣∠D=180°﹣110°﹣25°=45°．
【分析】根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得．
13．（2017八上·三明期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=40°，∠ACE=60°，则∠A
= 度．
【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=40°，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=80°，
故答案为：80
【分析】根据角平分线定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质得出∠ACD=∠A+∠B，即可求出答案．
14．如图所示，∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，则∠BDF= ．
【答案】87°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣67°﹣74°=39°，
在△ADE中，∠ADE=180°﹣∠A﹣∠AED=180°﹣39°﹣48°=93°，
∴∠BDF=180°﹣∠ADE=180°﹣93°=87°．
故答案为：87°．
【分析】由已知根据三角形内角和定理可求出△ABC中∠A的度数，同理可求出△ADE中∠ADE的度数，再由∠ADE+∠BDF=180°求出∠BDF．
15．如图，D、E、F分别是△ABC三边延长线上的点，则∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3= 度.
【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵∠D+∠3=∠CAB，∠E+∠1=∠ABC，∠F+∠2=∠ACB，
∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°．
故答案是：180
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和三角形内角和定理，求出∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB的度数.
16．如图所示，∠ABC，∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°， 则∠BOC= ，∠D= ，∠E= .
【答案】120°；30°；60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠2+2∠1+∠A=180°，
∴∠2+∠1=90°- ∠A，
又∵∠2+∠1+∠BOC=180°，
∴90°- ∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+ ∠A，
而∠A=60°，
∴∠BOC=90°+ ×60°=120°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D= ∠A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°，
∵BE平分∠ABC相邻外角，BD平分∠ABC，
∴∠DBE=90°，
∴∠E=90°-∠D=60°，
故答案是：120°，30°60°．
【分析】由三角形内角和定理和角平分线定义，求出∠BOC=90°+∠A÷2；根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和角平分线定义，求出∠D、∠E的度数.
三、解答题
17．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=40°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵∠1=∠2，∠B=40°，
∴∠2=∠1=（180°﹣40°）÷2=70°，
又∵∠2是△ADC的外角，
∴∠2=∠3+∠4，
∵∠3=∠4，
∴∠2=2∠3，
∴∠3= ∠2=35°，
∴∠BAC=∠1+∠3=105°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】先根据三角形内角和，求得∠2的度数，再根据三角形外角性质，求得∠3的度数，即可得出∠BAC的度数．
18．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B=30°，∠E=20°，求∠ACE和∠BAC的度数
【答案】解：∵∠B=30°，∠E=20°，
∴∠ECD=∠B+∠E=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=50°，
∴∠ACD=2∠ECD=100°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=100°﹣30°=70°.
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠ECD的度数，再由角平分线定义求出 ∠ACE和∠BAC的度数.
19．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠B=60°，AE⊥BC于点E，CD平分∠ACB且分别与AB、AE交于点D、F，求∠AFC的度数．
【答案】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°．
∵∠B=60°，
∴∠BAE=90°﹣60°=30°．
∴∠CAE=50°﹣30°=20°
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B=70°．
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD= ∠ACB=35°．
∴∠AFC=180°﹣35°﹣20°=125°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】先根据垂直的定义求∠BAE的度数，再结合图形根据角的和差求出∠CAE的度数，利用三角形的内角和求∠ACB，因CD平分∠ACB，所以可得∠ACD，最后利用△AFC的内角和为180°，求得∠AFC的度数．
20．已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．
【答案】解：∠C的大小保持不变．理由：
∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠ABE= ∠ABY= （90°+∠OAB）=45°+ ∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠C+∠CAB，
∴∠C=45°，
故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和角平分线定义，得到∠ABE=45°+∠CAB，再由三角形的外角性质∠ABE=∠C+∠CAB，得到 ∠C的大小保持不变．
21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE.
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC(点B、C除外)边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC．
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC-∠EDC=105°-∠EDC=45°+∠EDC，
解得：∠CDE=30°；
（2）解：∠CDE =∠D，
理由：设∠BAD=x，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠CDE，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC-∠CDE=∠45°+x-∠CDE=45°+∠CDE，
得：∠CDE =∠D．
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，再由已知求出∠CDE的度数；（2）由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到 ∠BAD与∠CDE的数量关系式.
22．在△ABC中，∠A＝40°．
（1）如图(1)BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（2）如图(2)若BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（3）如图(3)若BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n°时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系(只需写出结论)．
【答案】（1）解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+∠ACB）= ×140°=70°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°
（2）解：∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，
∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，
∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠BOC=180°-∠A，
∴∠BOC=90°- ∠A=90°-20°=70°．
（3）解：如图3，
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2﹣∠1= ∠A+∠1﹣∠1= ∠A= ×40°=20°．
（4）解：分别是90°+ °；90°- °； °
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理和∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线定义和三角形内角和定理，求出∠BOC的度数；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和角平分线定义，求出∠BOC的度数；（3）由角平分线定义和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠BOC的度数；（4）由（1）（2）（3）的结果，得到∠BOC与∠A的数量关系.
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