初中数学苏科版七年级下册 10.4 三元一次方程组 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是方程组 的解，则a+b+c的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
4．解方程组 ，若要使计算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
5．将三元一次方程组 ，经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
6．若三元一次方程组 的解使ax+2y+z=0，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
7．（2019七下·番禺期末）方程组 消去字母c后，得到的方程一定不是（ ）
A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．4a+b＝10 D．7a+b＝19
8．（2019七下·朝阳期末）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．50元 B．100元 C．150元 D．200元
9．（2019七上·江宁期末）如图，“ 、 、 ”分别表示三种不同的物体 已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡 如果在“？”处只放“ ”，那么应放“ ”
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，在某张桌子上放相同的木块，R=34，S=92，则桌子的高度是（ ）
A．63 B．58 C．60 D．55
二、填空题
11．（2019七下·海安月考）已知 ，则x＋y＋z＝ .
12．（2020七上·海淀期中）设 ，则3x-2y+z= ．
13．（2020七下·武汉期中）已知等式y＝ax2＋bx＋c，a≠0，当x＝-3时，y＝0；当x＝4时，y＝0，则关于x的式子a (x-1)2＝-4b-c中x的值为 .
14．（2020七下·宁波期中）若 ， ，则代数式 的值是 .
15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应的密文为a+b，b+c，c+d，d+2a．例如：明文1，2，3，4对应的密文为3，5，7，6．当接收方收到密文8，11，15，15时，则解密得到的明文应为 ．
16．（2019七下·綦江期中）一次数学竞赛准备了22 支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3 支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,则获一、二等奖的学生总共有 人.
17．（2020七下·厦门期末）由不同生产商提供 套校服参加比选，甲、乙、两三个同学分别参加比选，比选后结果是：每套校服至少有一人选中，且每人都选中了其中的 套校服．如果将其中只有 人选中的校服称作“不受欢迎校服”， 人选中的校服称作“颇受欢迎校服”， 人都选中的校服称作“最受欢迎校服”，则“不受欢迎校服”比“最受欢迎校服”多 套．
18．某单位招聘员工采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩满分均为100分．根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）．已知小明应聘的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，现得知小明的最后综合成绩为88分．设小明的笔试成绩所占的百分比为x，面试成绩所占的百分比为y，根据题意列方程组得
三、解答题
19．解三元一次方程组：
（1）
（2） ．
20．（2020七下·乌鲁木齐期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值.
21．若a，b，c表示三角形的三边，此三角形的周长是18，且a+b=2c，b=2a，求三边长.
22．有三个数，第一个数的3倍比第二个数的5倍小90，而第一个数的4倍与第二个数的6倍之差等于第三个数的20倍的相反数，同时，第三个数比4大1．求这三个数．
23．（2020七下·凤台月考）一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
24．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
25．2013年4月20日8时2分在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震，有1.8万人等待安置，各地人民纷纷捐款灾区．某市一企业在得知灾区急需帐篷后立即与厂家联系购买帐篷送往灾区．已知用9万元刚好可以从厂家购进帐篷500顶．该厂家生产三种不同规格的帐篷，出厂价分别为甲种帐篷每顶150元，乙种帐篷每顶210元，丙种帐篷每顶250元．
①若企业同时购进其中两种不同规格的帐篷，则企业的购买方案有哪几种？
②若企业想同时购进三种不同规格的帐篷，必须每种帐篷都有，为了便于分类打包，每种帐篷数都要求是10的倍数．请你研究一下是否可行？如果可行请给出符合条件的设计方案；若不可行，请说明理由．
26．（2019七下·广丰期末）有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元／人） 2000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
27．（2019七下·鼓楼期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：
解方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：______+______，得3x+4y=10，④
______+______，得5x+y=11，⑤
______与______联立，得方程组
（1）请你在方框中补全小曹同学的解答过程：
（2）若m、n、p、q满足方程组 ，则m+n-2p+q= ．
28．（2020七下·丽水期中）某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格(元/台) 1000 800 500
销售获利(元/台) 260 190 120
（1）购买丙型设备 台(用含x，y的代数式表示)；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第(2)题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解答：在方程组 中，①＋②＋③得 ，由④－①得 ，由④－②
得 ，由④－③得 ，所以方程组的解为 ，所以选择D．
分析：也可以用消元法把“三元”化为“二元”解方程组．
3．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将 代入方程得
，
①+②+③得4(a+b+c)=12，
∴a+b+c=3，
故答案为：A.
【分析】将x、y、z的值代入方程组中，再观察方程组中各未知数的系数特点：相同字母的系数之和都为4，因此由（①+②+③）÷4，就可求得a+b+c的值。
4．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解答： 的系数为1或1，故先消去 ．
分析：解三元一次方程组时要根据方程组的特点，先确定消元对象．
5．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
①-③得：4x+3y=2，
③×4+②得：7x+5y=3，
则三元一次方程组
经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是 ；
故答案为：A．
【分析】根据题意，结合题目中消元的步骤，得到二元一次方程组即可。
6．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：x+y+z=1④，
把①代入④得：z=﹣4，
把②代入④得：y=2，
把③代入④得：x=3，
把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，
解得：a=0．
故选B．
【分析】求出已知方程组的解得到x，y，z的值，代入方程计算即可求出a的值．
7．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
②﹣①得：3a+3b＝3，即a+b＝1，
③﹣①得：24a+6b＝60，即4a+b＝10，
③﹣②得：21a+3b＝57，即7a+b＝19，
故答案为：B．
【分析】利用等式的性质②﹣①得a+b＝1，③﹣①得4a+b＝10，③﹣②7a+b＝19，据此逐一判断即可.
8．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元.
根据题意，得
两方程相加，得
4x+4y+4z=600，
x+y+z=150.
则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元.
故答案为：C.
【分析】此题的关键已知条件为：购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，设未知数，建立三元一次方程组，将两方程相加再除以4就可求出结果。
9．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据图示可得，
，
，
由 、 可得，
， ，
，
故答案为：C.
【分析】首先根据图示可知， ， ，据此判断出 、 与 的关系，然后判断出结果.
10．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设木块的长为x，宽为y，桌子的高度为z，
由题意得： ，
由①得：y-x=34-z，
由②得：x-y=92-z，
即34-z+92-z=0，
解得z=63；
即桌子的高度是63．
故答案为：A．
【分析】由第一个图形可知：桌子的高度+木块的宽=木块的长+R；由第二个图形可知：桌子的高度+木块的长=木块的宽+S；设未知数，列方程组，求解即可得出桌子的高度。
11．【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：三个式子相加得2（x＋y＋z）=6,
∴x＋y＋z=3
【分析】观察方程组中同一未知数系数的特点：三个方程都是二元一次方程，且x、y、z的系数都是1，因此将三个方程相加除以2，即可求出x+y+z的值。
12．【答案】10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得， ③，
①+③得， ，
故答案为：10．
【分析】用方程①-②得， ③，把方程①③相加得， 问题可解．
13．【答案】5或-3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】∵当x＝-3时，y＝0；当x＝4时，y＝0，
∴ ，
解得， ，
将其代入a (x-1)2＝-4b-c中得， ，
解得， 或-3，
故答案为：5或-3.
【分析】将x，y的两组数据代入等式y＝ax2＋bx＋c中，并解方程组，用含a的代数式分别表示b，c，最后代入求解即可.
14．【答案】-13
【知识点】代数式求值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0（xyz≠0），
解关于x、y的二元一次方程，得
,
∴原式= .
故答案是：-13.
【分析】先根据已知条件，让两个式子联合起来，把z看作常数，解关于x、y的二元一次方程，再把x、y的值代入所求式子，化简求值即可．
15．【答案】3，5，6，9
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设密文8，11，15，15分别对应的明文为a，b，c，d，由题意，得
，
解得： ．
【分析】根据密文a+b，b+c，c+d，d+2a对应的是接收方收到密文8，11，15，15，建立方程组，利用消元法求出方程组的解即可。
16．【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】根据题意，可设一二三等奖的人数为x、y、z
列出方程组
∴获一二等奖的学生共有3人
【分析】根据一二三等奖获奖的人数，可根据题意列出方程组，取整数，得到答案。
17．【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设“最受欢迎校服”的套数为x, “颇受欢迎校服”的套数为y,“不受欢迎校服”的套数为z,
根据题意可得
②-①得2x+y=8③
①-③得z-x=2
即“不受欢迎校服”比“最受欢迎校服”多2套
故答案为：2．
【分析】设“最受欢迎校服”的套数为x, “颇受欢迎校服”的套数为y,“不受欢迎校服”的套数为z,根据题意列出三元一次方程组，再得到“不受欢迎校服”比“最受欢迎校服”多的套数．
18．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小明的笔试成绩所占的百分比为x，面试成绩所占的百分比为y，
由题意得，
【分析】两个等量关系：笔试成绩所占的百分比+面试成绩所占的百分比=1 ; 笔试成绩+面试成绩=综合成绩
19．【答案】（1）解： ，①+②得：5x+2y=16④，②+③得：3x+4y=18⑤，
④×2﹣⑤得：7x=14，即x=2，把x=2代入④得：y=3， 把x=2，y=3代入③得：z=1，
则方程组的解为 ；
（2）解： ，②﹣③得：x+3z=5④，④﹣①得：2z=2，即z=1，
把z=1代入④得：x=2，把z=1，x=2代入③得：y=4，
则方程组的解为 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】解三元一次方程组时，利用加减消元法消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再解出方程组的解即可。
20．【答案】解：由题意得， ，
解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可.
21．【答案】解：由题意得：
解得：a＝4，b＝8，c＝6.
经检验符合题意.
∴三边长分别是4，8，6.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据三角形的周长以及a+b=2c，b=2a，即可得到三元一次方程组，解出三个字母的值即可得到答案。
22．【答案】解：设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，由题意得：
解得
答：这三个数依次是20，30，5．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，根据题意，即可得到三元一次方程组，求出三个数即可。
23．【答案】这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z.由题意列方程组
②－③得y＝14－y，即y＝7，
由①得x－z＝1，⑤
将y＝7代入③得x＋z＝7，⑥
⑤＋⑥得2x＝8，
即x＝4，那么z＝3.
答：这个三位数是473.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组 通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定．
24．【答案】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，
①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得
，
解得：；
②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：；
③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：，不合题意，舍去．
故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．
（2）根据题意得：
，
解得：．
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可．
（2）可根据三种不同类型的电脑的总量=26台，购进三种电脑的总费用=104 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案．
25．【答案】解：设购买的帐篷数为甲种x顶，乙种y顶，丙种z顶，①由题意分三种情况讨论：（i），解得：；（ii），解得：（不合题意，舍去），（iii），解得：．即有两种方案：甲、乙两种帐篷各250顶；甲种帐篷350顶，丙种帐篷150种；②由题意得，，解得：，∵x，y，z均为大于0且小于500的整数，同时都是10的倍数，∴x，y，z的取值可以为：，，，．∴方案可行，符合条件的设计方案有：甲、乙、丙三种帐篷数的配置分别为甲270顶、乙200顶、丙30顶；甲290顶、乙150顶、丙60顶；甲310顶、乙100顶、丙90顶；甲330顶、乙50顶、丙120顶．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】①根据题意设出未知数，找到等量关系，列出方程组；学校同时购进其中两种不同规格的帐篷；可以买甲种和乙种；可以买甲种和丙种；可以买乙种和丙种，分情况讨论，结果要符合实际情况；
②根据题意设出三种帐篷的数量，列出方程组，用一个未知数表示其他两个未知数，在分别计算出符合题意的结果．
26．【答案】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，以题意得方程组
解得 ，得整数解 或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，依题意得方程组 ，讨论求出整数解即可；（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
27．【答案】（1）___①___+___②___，得3x+4y=10，④
___②___+____③__，得5x+y=11，⑤
___⑤___与___④___联立，得方程组
（2）-2.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：①+②，得3x+4y=10，④
②+③，得5x+y=11，⑤
⑤与④联立，得方程组
解得：
把 代入①得：2+1+z=2，
解得：z=-1，
∴原方程组的解是
故答案为①，②，②，③，⑤，④．
（ 2 ）
②-①×2得：p-3q=8④，
③-①×3得：-5p-2q=-6⑤，
由④与⑤组成方程组
解得： ，
代入①得：m+n=4
∴m+n-2p+q=-2
故答案为-2．
【分析】（1）根据每一步得到的方程反推其计算的由来，得到二元一次方程组后用代入消元或加减消元法解出x和y，再代回原方程组求z．（2）把（m+n）看作整体，解关于（m+n）、p、q的三元一次方程组．
28．【答案】（1）(60-x-y)
（2）解：由题意得，1000x+800y+500(60-x-y)=56000，
化简整理得：5x+3y=260，
∴x=52- y
当y=5时，x=49，60-x-y=6；
当y=10时，x=46，60-x-y=4；
当y=15时，x=43，60-x-y=2。
∴购进方案有三种，分别为：
方案一：甲型49台，乙型5台，丙型6台；
方案二：甲型46台，乙型10台，丙型4台；
方案三：甲型43台，乙型15台，丙型2台。
（3）解：方案一：260×49+190×5+120×6=14410(元)，故可获利14410元，
方案二一：260×46+190×10+120×4=14340(元)，故可获利14340元，
方案三：260×43+190×15+120×2=14270(元)，故可获利14270元，
因为14410>14340>14270，
所以购进甲型49台，乙型5台，丙型6台，获利最多，为14410元
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得： 购买丙型设备的数量为： 60-x-y（台）；
【分析】（1）根据丙型设备的台数＝60 甲的台数 乙的台数即可解决问题；
（2）根据购进甲型电子产品的钱数+购进乙型电子产品的钱数+购进丙型电子产品的钱数=56000列出方程，求出方程的整数解即可；
（3）分别求出三种方案的利润，即可判断.
1 / 1初中数学苏科版七年级下册 10.4 三元一次方程组 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解答：在方程组 中，①＋②＋③得 ，由④－①得 ，由④－②
得 ，由④－③得 ，所以方程组的解为 ，所以选择D．
分析：也可以用消元法把“三元”化为“二元”解方程组．
3．已知 是方程组 的解，则a+b+c的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将 代入方程得
，
①+②+③得4(a+b+c)=12，
∴a+b+c=3，
故答案为：A.
【分析】将x、y、z的值代入方程组中，再观察方程组中各未知数的系数特点：相同字母的系数之和都为4，因此由（①+②+③）÷4，就可求得a+b+c的值。
4．解方程组 ，若要使计算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解答： 的系数为1或1，故先消去 ．
分析：解三元一次方程组时要根据方程组的特点，先确定消元对象．
5．将三元一次方程组 ，经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
①-③得：4x+3y=2，
③×4+②得：7x+5y=3，
则三元一次方程组
经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是 ；
故答案为：A．
【分析】根据题意，结合题目中消元的步骤，得到二元一次方程组即可。
6．若三元一次方程组 的解使ax+2y+z=0，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：x+y+z=1④，
把①代入④得：z=﹣4，
把②代入④得：y=2，
把③代入④得：x=3，
把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，
解得：a=0．
故选B．
【分析】求出已知方程组的解得到x，y，z的值，代入方程计算即可求出a的值．
7．（2019七下·番禺期末）方程组 消去字母c后，得到的方程一定不是（ ）
A．a+b＝1 B．a﹣b＝1 C．4a+b＝10 D．7a+b＝19
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
②﹣①得：3a+3b＝3，即a+b＝1，
③﹣①得：24a+6b＝60，即4a+b＝10，
③﹣②得：21a+3b＝57，即7a+b＝19，
故答案为：B．
【分析】利用等式的性质②﹣①得a+b＝1，③﹣①得4a+b＝10，③﹣②7a+b＝19，据此逐一判断即可.
8．（2019七下·朝阳期末）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．50元 B．100元 C．150元 D．200元
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x元、y元、z元.
根据题意，得
两方程相加，得
4x+4y+4z=600，
x+y+z=150.
则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元.
故答案为：C.
【分析】此题的关键已知条件为：购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，设未知数，建立三元一次方程组，将两方程相加再除以4就可求出结果。
9．（2019七上·江宁期末）如图，“ 、 、 ”分别表示三种不同的物体 已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡 如果在“？”处只放“ ”，那么应放“ ”
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据图示可得，
，
，
由 、 可得，
， ，
，
故答案为：C.
【分析】首先根据图示可知， ， ，据此判断出 、 与 的关系，然后判断出结果.
10．如图，在某张桌子上放相同的木块，R=34，S=92，则桌子的高度是（ ）
A．63 B．58 C．60 D．55
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设木块的长为x，宽为y，桌子的高度为z，
由题意得： ，
由①得：y-x=34-z，
由②得：x-y=92-z，
即34-z+92-z=0，
解得z=63；
即桌子的高度是63．
故答案为：A．
【分析】由第一个图形可知：桌子的高度+木块的宽=木块的长+R；由第二个图形可知：桌子的高度+木块的长=木块的宽+S；设未知数，列方程组，求解即可得出桌子的高度。
二、填空题
11．（2019七下·海安月考）已知 ，则x＋y＋z＝ .
【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：三个式子相加得2（x＋y＋z）=6,
∴x＋y＋z=3
【分析】观察方程组中同一未知数系数的特点：三个方程都是二元一次方程，且x、y、z的系数都是1，因此将三个方程相加除以2，即可求出x+y+z的值。
12．（2020七上·海淀期中）设 ，则3x-2y+z= ．
【答案】10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得， ③，
①+③得， ，
故答案为：10．
【分析】用方程①-②得， ③，把方程①③相加得， 问题可解．
13．（2020七下·武汉期中）已知等式y＝ax2＋bx＋c，a≠0，当x＝-3时，y＝0；当x＝4时，y＝0，则关于x的式子a (x-1)2＝-4b-c中x的值为 .
【答案】5或-3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】∵当x＝-3时，y＝0；当x＝4时，y＝0，
∴ ，
解得， ，
将其代入a (x-1)2＝-4b-c中得， ，
解得， 或-3，
故答案为：5或-3.
【分析】将x，y的两组数据代入等式y＝ax2＋bx＋c中，并解方程组，用含a的代数式分别表示b，c，最后代入求解即可.
14．（2020七下·宁波期中）若 ， ，则代数式 的值是 .
【答案】-13
【知识点】代数式求值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0（xyz≠0），
解关于x、y的二元一次方程，得
,
∴原式= .
故答案是：-13.
【分析】先根据已知条件，让两个式子联合起来，把z看作常数，解关于x、y的二元一次方程，再把x、y的值代入所求式子，化简求值即可．
15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应的密文为a+b，b+c，c+d，d+2a．例如：明文1，2，3，4对应的密文为3，5，7，6．当接收方收到密文8，11，15，15时，则解密得到的明文应为 ．
【答案】3，5，6，9
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设密文8，11，15，15分别对应的明文为a，b，c，d，由题意，得
，
解得： ．
【分析】根据密文a+b，b+c，c+d，d+2a对应的是接收方收到密文8，11，15，15，建立方程组，利用消元法求出方程组的解即可。
16．（2019七下·綦江期中）一次数学竞赛准备了22 支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3 支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,则获一、二等奖的学生总共有 人.
【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】根据题意，可设一二三等奖的人数为x、y、z
列出方程组
∴获一二等奖的学生共有3人
【分析】根据一二三等奖获奖的人数，可根据题意列出方程组，取整数，得到答案。
17．（2020七下·厦门期末）由不同生产商提供 套校服参加比选，甲、乙、两三个同学分别参加比选，比选后结果是：每套校服至少有一人选中，且每人都选中了其中的 套校服．如果将其中只有 人选中的校服称作“不受欢迎校服”， 人选中的校服称作“颇受欢迎校服”， 人都选中的校服称作“最受欢迎校服”，则“不受欢迎校服”比“最受欢迎校服”多 套．
【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设“最受欢迎校服”的套数为x, “颇受欢迎校服”的套数为y,“不受欢迎校服”的套数为z,
根据题意可得
②-①得2x+y=8③
①-③得z-x=2
即“不受欢迎校服”比“最受欢迎校服”多2套
故答案为：2．
【分析】设“最受欢迎校服”的套数为x, “颇受欢迎校服”的套数为y,“不受欢迎校服”的套数为z,根据题意列出三元一次方程组，再得到“不受欢迎校服”比“最受欢迎校服”多的套数．
18．某单位招聘员工采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩满分均为100分．根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）．已知小明应聘的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，现得知小明的最后综合成绩为88分．设小明的笔试成绩所占的百分比为x，面试成绩所占的百分比为y，根据题意列方程组得
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小明的笔试成绩所占的百分比为x，面试成绩所占的百分比为y，
由题意得，
【分析】两个等量关系：笔试成绩所占的百分比+面试成绩所占的百分比=1 ; 笔试成绩+面试成绩=综合成绩
三、解答题
19．解三元一次方程组：
（1）
（2） ．
【答案】（1）解： ，①+②得：5x+2y=16④，②+③得：3x+4y=18⑤，
④×2﹣⑤得：7x=14，即x=2，把x=2代入④得：y=3， 把x=2，y=3代入③得：z=1，
则方程组的解为 ；
（2）解： ，②﹣③得：x+3z=5④，④﹣①得：2z=2，即z=1，
把z=1代入④得：x=2，把z=1，x=2代入③得：y=4，
则方程组的解为 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】解三元一次方程组时，利用加减消元法消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再解出方程组的解即可。
20．（2020七下·乌鲁木齐期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值.
【答案】解：由题意得， ，
解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可.
21．若a，b，c表示三角形的三边，此三角形的周长是18，且a+b=2c，b=2a，求三边长.
【答案】解：由题意得：
解得：a＝4，b＝8，c＝6.
经检验符合题意.
∴三边长分别是4，8，6.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据三角形的周长以及a+b=2c，b=2a，即可得到三元一次方程组，解出三个字母的值即可得到答案。
22．有三个数，第一个数的3倍比第二个数的5倍小90，而第一个数的4倍与第二个数的6倍之差等于第三个数的20倍的相反数，同时，第三个数比4大1．求这三个数．
【答案】解：设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，由题意得：
解得
答：这三个数依次是20，30，5．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，根据题意，即可得到三元一次方程组，求出三个数即可。
23．（2020七下·凤台月考）一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
【答案】这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z.由题意列方程组
②－③得y＝14－y，即y＝7，
由①得x－z＝1，⑤
将y＝7代入③得x＋z＝7，⑥
⑤＋⑥得2x＝8，
即x＝4，那么z＝3.
答：这个三位数是473.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组 通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定．
24．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案．
【答案】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，
①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得
，
解得：；
②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：；
③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得
，
解得：，不合题意，舍去．
故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．
（2）根据题意得：
，
解得：．
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可．
（2）可根据三种不同类型的电脑的总量=26台，购进三种电脑的总费用=104 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案．
25．2013年4月20日8时2分在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震，有1.8万人等待安置，各地人民纷纷捐款灾区．某市一企业在得知灾区急需帐篷后立即与厂家联系购买帐篷送往灾区．已知用9万元刚好可以从厂家购进帐篷500顶．该厂家生产三种不同规格的帐篷，出厂价分别为甲种帐篷每顶150元，乙种帐篷每顶210元，丙种帐篷每顶250元．
①若企业同时购进其中两种不同规格的帐篷，则企业的购买方案有哪几种？
②若企业想同时购进三种不同规格的帐篷，必须每种帐篷都有，为了便于分类打包，每种帐篷数都要求是10的倍数．请你研究一下是否可行？如果可行请给出符合条件的设计方案；若不可行，请说明理由．
【答案】解：设购买的帐篷数为甲种x顶，乙种y顶，丙种z顶，①由题意分三种情况讨论：（i），解得：；（ii），解得：（不合题意，舍去），（iii），解得：．即有两种方案：甲、乙两种帐篷各250顶；甲种帐篷350顶，丙种帐篷150种；②由题意得，，解得：，∵x，y，z均为大于0且小于500的整数，同时都是10的倍数，∴x，y，z的取值可以为：，，，．∴方案可行，符合条件的设计方案有：甲、乙、丙三种帐篷数的配置分别为甲270顶、乙200顶、丙30顶；甲290顶、乙150顶、丙60顶；甲310顶、乙100顶、丙90顶；甲330顶、乙50顶、丙120顶．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】①根据题意设出未知数，找到等量关系，列出方程组；学校同时购进其中两种不同规格的帐篷；可以买甲种和乙种；可以买甲种和丙种；可以买乙种和丙种，分情况讨论，结果要符合实际情况；
②根据题意设出三种帐篷的数量，列出方程组，用一个未知数表示其他两个未知数，在分别计算出符合题意的结果．
26．（2019七下·广丰期末）有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元／人） 2000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
【答案】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，以题意得方程组
解得 ，得整数解 或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，依题意得方程组 ，讨论求出整数解即可；（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
27．（2019七下·鼓楼期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：
解方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：______+______，得3x+4y=10，④
______+______，得5x+y=11，⑤
______与______联立，得方程组
（1）请你在方框中补全小曹同学的解答过程：
（2）若m、n、p、q满足方程组 ，则m+n-2p+q= ．
【答案】（1）___①___+___②___，得3x+4y=10，④
___②___+____③__，得5x+y=11，⑤
___⑤___与___④___联立，得方程组
（2）-2.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：①+②，得3x+4y=10，④
②+③，得5x+y=11，⑤
⑤与④联立，得方程组
解得：
把 代入①得：2+1+z=2，
解得：z=-1，
∴原方程组的解是
故答案为①，②，②，③，⑤，④．
（ 2 ）
②-①×2得：p-3q=8④，
③-①×3得：-5p-2q=-6⑤，
由④与⑤组成方程组
解得： ，
代入①得：m+n=4
∴m+n-2p+q=-2
故答案为-2．
【分析】（1）根据每一步得到的方程反推其计算的由来，得到二元一次方程组后用代入消元或加减消元法解出x和y，再代回原方程组求z．（2）把（m+n）看作整体，解关于（m+n）、p、q的三元一次方程组．
28．（2020七下·丽水期中）某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格(元/台) 1000 800 500
销售获利(元/台) 260 190 120
（1）购买丙型设备 台(用含x，y的代数式表示)；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第(2)题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【答案】（1）(60-x-y)
（2）解：由题意得，1000x+800y+500(60-x-y)=56000，
化简整理得：5x+3y=260，
∴x=52- y
当y=5时，x=49，60-x-y=6；
当y=10时，x=46，60-x-y=4；
当y=15时，x=43，60-x-y=2。
∴购进方案有三种，分别为：
方案一：甲型49台，乙型5台，丙型6台；
方案二：甲型46台，乙型10台，丙型4台；
方案三：甲型43台，乙型15台，丙型2台。
（3）解：方案一：260×49+190×5+120×6=14410(元)，故可获利14410元，
方案二一：260×46+190×10+120×4=14340(元)，故可获利14340元，
方案三：260×43+190×15+120×2=14270(元)，故可获利14270元，
因为14410>14340>14270，
所以购进甲型49台，乙型5台，丙型6台，获利最多，为14410元
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得： 购买丙型设备的数量为： 60-x-y（台）；
【分析】（1）根据丙型设备的台数＝60 甲的台数 乙的台数即可解决问题；
（2）根据购进甲型电子产品的钱数+购进乙型电子产品的钱数+购进丙型电子产品的钱数=56000列出方程，求出方程的整数解即可；
（3）分别求出三种方案的利润，即可判断.
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