2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质（1） 同步练习
一、选择题
1．已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．－
2．函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（ ）
A．±2 B．－2 C．2 D．3
3．抛物线y= x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（ ）
A．y= x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
4．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① ；② ；③ ；④ ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．抛物线y=3x2的顶点坐标是（ ）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，0） D．（1，3）
6．若抛物线 经过点P（1，－3），则此抛物线也经过点（ ）
A．P B．P
C．P (1，3) D．P
7．在同一坐标系中，抛物线 ， ， 的共同特点是（ ）
A．关于y轴对称，开口向上 B．关于y轴对称，y随x增大而减小
C．关于y轴对称，y随x增大而增大 D．关于y轴对称，顶点在原点
8．已知点（-2， ），（0， ），（1， ）都在函数 的图象上，则（ ）
A． ＞ ＞ B． ＞ ＞
C． ＞ ＞ D． ＞ ＞
9．已知a<－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1
10．下列说法中错误的是（ ）
A．在函数 中，当 时 有最大值
B．在函数 中，当 时 随 的增大而增大
C．抛物线 ， ， 中，抛物线 的开口最小，抛物线 的开口最大
D．不论 是正数还是负数，抛物线 的顶点都是坐标原点
11．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，－1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．a≤－1或a≥2 B． ≤a≤2
C．－1≤a＜0或1＜a≤ D．－1≤a＜0或0＜a≤2
二、填空题
12．已知二次函数 的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
13．写出一个开口向上，顶点是坐标原点的二次函数的解析式： .
14．某抛物线有以下性质：①开口向下；②对称轴是y轴；③与x轴不相交；④最高点是原点．其中y=﹣2x2具有的性质是 ．（填序号）
15．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为 ，对称轴是 ．当x 时，y随x增大而减小；当x 时，y随x增大而增大；当x＝ 时，y有最 值是 ．
16．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y= x2与y=– x2的图象，则阴影部分的面积是 ．
17．若抛物线y=ax2经过点A ( ，－9)，则其解析式为 。
18．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是 (填序号).①m0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0
19．如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝ x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝ ，最后记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝ ．
三、解答题
20．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
21．已知点A（2，a）在抛物线y=x2上
（1）求A点的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由．
22．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
23．在同一个直角坐标系中作出y＝ x2，y＝ x2－1的图象．
（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
（2）抛物线y＝ x2－1与抛物线y＝ x2有什么关系？
24．已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)．
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
25．如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线AB的解析式及抛物线y=ax2的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）求S△COB．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解： ∵点（-1，2）在二次函数 的图象上，
∴ ，解得： .
故答案为：B.
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于a的方程，求出的值即可。
2．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】把点(a，8)代λ：yax得：a'=8，解得：a=2
故答案为：C
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，解方程即求出a的值。
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1， ）（1，4），（1，-2），
因为| |＜|-2|＜|4|，
所以抛物线y= x2开口最大．
故答案为：A．
【分析】比较三个函数的a的值的大小，a的绝对值越大，开口越小；a的绝对值越小，开口越大。可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：
.
故答案为：A.
【分析】图中函数均以原点为顶点，y轴为对称轴，根据开口宽窄和方向解答即可。
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=3x2，
∴抛物线y=3x2的顶点坐标是：（0，0），
故选C．
【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵将点P（1，-3）代入y=ax2得a=-3，
∴y=-3x2，
将四个点坐标分别代入解析式可知，当x=-1时，y=-3，即D不符合题意，其他三个选项均不成立．
故答案为：D．
【分析】将点P的坐标代入函数解析式，求出函数解析式，再分别将各选项的点的坐标代入验证，即可解答。
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵函数y=2x2，y= x2，y= x2中，a取值范围分别为：a＞0，a＞0，a＜0，∴抛物线的开口方向分别为：向上、向上、向下，即开口方向不同；
由函数y=2x2，y= x2，y= x2的解析式可知：顶点坐标都为（0，0）；
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故答案为：D．
【分析】利用y=ax2的性质：顶点坐标是（0，0），对称轴为y轴；a＞0，开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；a＜0，开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，对各选项逐一判断可得答案。
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：因为|-2|＞1＞0，所以y1＞y3＞y2.
故答案为：B.
【分析】函数 y=x2 的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，所以离原点越远，函数值就越大，可解答。
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由a<－1可得a－1＜a＜a+1＜0，
又因点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以 y3故答案为：C.
【分析】由a<－1可得a－1＜a＜a+1＜0，再根据二次函数的增减性，可解答。
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解： A．在函数y=-x2中，当x=0时y有最大值0，正确，
因为：此抛物线顶点坐标在原点，开口方向向下，故当x=0时y有最大值0；
B．在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大，正确；
因为此抛物线对称轴为y轴，开口方向向上，则x＞0时y随x的增大而增大；
C．抛物线y=2x2，y=-x2，y=- x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=-x2的开口最大；错误；
根据绝对值越大开口越小，可得抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=- x2的开口最大；
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点，正确，
因为y=ax2（a≠0）的顶点始终为原点．
【分析】根据二次函数y=ax2的性质，对各选项逐一判断，可解答。
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）
∴-1=a×12
∴a=-1
∴-1≤a<0
若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）
∴2=a×12
∴a=2
∴0∴a的取值范围是-1≤a<0或0故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1），将点B的坐标代入求解，可得出a的取值范围；若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2），将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得出a的取值范围，综上所述，可得出答案。
12．【答案】m＜2
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解： ∵二次函数 的图象开口向下，
∴m-2<0，解得：m<2.
故答案为：m<2
【分析】由二次函数 y = ( m 2 ) x 2 的图象开口向下，可得出m-2<0，解不等式即可。
13．【答案】y=2x2
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：图象的顶点在原点，开口向上的二次函数很多，如：
【分析】根据题意可知写出的函数是形如y=ax2（a＞0）的形式。此题答案不唯一。
14．【答案】①②④
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解： y=－2x2开口向下，对称轴是y轴，与x轴有一个交点，最高点是原点.
故答案为：①②④
【分析】根据二次函数y=ax2（a＜0）的性质，可解答。
15．【答案】(0，0)；y轴；≤0；＞0；0；小；0
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点，坐标为（0，0），对称轴是y轴．当x≤0时，y随x增大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大；当x＝0时，y有最小值是0．
故答案为： （0，0） ； y轴 ； ≤0 ；＞0 ； 0 ； 小； 0．
【分析】利用二次函数y=ax2（a＞0）的性质，解答此题。
16．【答案】8
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：函数y= x2与y=– x2的图象关于x轴对称，又因正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，所以阴影部分的面积为正方形面积的一半，即4×4× =8
【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，由此可以求出阴影部分的面积。
17．【答案】y=-3x2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把点A 代入： 得， ，解得： ，
∴该抛物线的解析式为： y=-3x2
【分析】利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式，求解可得出函数解析式。
18．【答案】②④
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵x2一定不小于0，则由条件“对应任意给定的x的值，都有y甲 y乙”可知：存在以下3种情况：
（ 1 ）若y甲和y乙都为正数，则m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；
（ 2 ）若y甲为正数，y乙为负数，则m＞0，n＜0；
（ 3 ）若都为负数时，则n＜m＜0；
∴关于m，n的关系正确的是② 、④
【分析】根据偶次方的非负性得出x2一定不小于0，又对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，故有①y甲和y乙都为正数，②若y甲为正数，y乙为负数，③若y甲为负数，y乙为负数，三种情况，从而得出答案。
19．【答案】；
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当x=1时，y= x2= ，则P1（1， ），所以S1= ×1× = ；
当x=2时，y= x2=2，则P2（2，2），所以S2= ×1×（2- ）= ；
当x=3时，y= x2= ，则P3（3， ），所以S3= ×1×（ -2）= ，
同样方法可得S4= ，
所以Sn= ．
故答案是： ，
【分析】根据题意分别将x=1、2、3代入函数解析式，求出对应的y的值，就可得出三角形的边长，再利用三角形的面积公式分别求出S1、S2、S3，寻找规律，可得出 Sn与n的关系式。
20．【答案】（1）解：∵ 是二次函数，
∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．
∵函数有最高点，
∴抛物线的开口向下，
∴k+2＜0，
解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）解：当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义，可得出k2+k﹣4=2且k+2≠0，再根据函数图象有最高点．得出k+2＜0，求解即可得出k的值。
（2）利用y=ax2的性质，可直接写出抛物线的对称轴、顶点坐标y随x的增大而减少时，x的取值范围。
21．【答案】（1）解：∵点A（2，a）在抛物线y=x2上，∴a=22=4，
∴A点的坐标为：（2，4）
（2）解：如图所示：
以O为顶点时，AO=P1O=2 或AO=AP2=2
∴点P坐标：（2 ，0），（﹣2 ，0），以A为顶点时，AO=OP，
∴点P坐标：（4，0）；以P为顶点时，OP′=AP′，
∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x则42+（x﹣2）2=x2，解得：x=5，
∴点P坐标：（5，0），
综上所述使△OAP是等腰三角形则P点坐标为：（2 ，0），（﹣2 ，0），（4，0），（5，0）．
【知识点】等腰三角形的判定；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式求出a的值，就可得出答案。
（2）分情况讨论：以O为顶点时；以A为顶点时；以P为顶点时，分别利用有两边相等的三角形是等腰三角形，分别求出点P的坐标。
22．【答案】（1）解：把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1
（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）
（3）解：作函数y=ax2的草图如下：
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入一次函数解析式，求出b的值，再利用待定系数法求出a的值。
（2）根据二次函数的性质，可得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。
（3）利用函数解析式画出函数的图象。
23．【答案】（1）解：如图所示：
抛物线y＝ x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝ x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)
（2）解：抛物线y＝ x2－1可由抛物线y＝ x2向下平移1个单位长度得到
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）利用描点法画出两个函数的图象，再结合图像及二次函数的性质，求出两函数的开口方向、顶点坐标及对称轴。
（2）由两函数的a的值相等，可得出它们是通过平移得到的。
24．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，
∴a·1＝3.∴a＝3
（2）解：把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.
（3）解：答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将已知点的坐标代入函数解析式，可求出答案。
（2）将x=3代入函数解析式，可得出对应的函数值。
（3）根据y＝ax2的性质，可得出答案。
25．【答案】（1）解：设直线表达式为y=kx+b．
∵A（2，0），B（1，1）都在y=kx+b的图象上，
∴ ，解得 ，
∴直线AB的表达式为y=﹣x+2；
∵点B（1，1）在y=ax2的图象上，
∴a=1，其表达式为y=x2
（2）解：由 ，解得 或 ，
∴点C坐标为（﹣2，4）
（3）解：S△COB=S△AOC﹣S△OAB= ×2×4﹣ ×2×1=3
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出两函数的解析式。
（2）将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，就可得出点C的坐标。
（3）利用点A、B、C、O的坐标，根据S△COB=S△AOC﹣S△OAB，利用三角形的面积公式可得出答案。
1 / 12018-2019学年数学沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质（1） 同步练习
一、选择题
1．已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．－
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解： ∵点（-1，2）在二次函数 的图象上，
∴ ，解得： .
故答案为：B.
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于a的方程，求出的值即可。
2．函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（ ）
A．±2 B．－2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】把点(a，8)代λ：yax得：a'=8，解得：a=2
故答案为：C
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，解方程即求出a的值。
3．抛物线y= x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（ ）
A．y= x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1， ）（1，4），（1，-2），
因为| |＜|-2|＜|4|，
所以抛物线y= x2开口最大．
故答案为：A．
【分析】比较三个函数的a的值的大小，a的绝对值越大，开口越小；a的绝对值越小，开口越大。可得出答案。
4．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① ；② ；③ ；④ ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：
.
故答案为：A.
【分析】图中函数均以原点为顶点，y轴为对称轴，根据开口宽窄和方向解答即可。
5．抛物线y=3x2的顶点坐标是（ ）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，0） D．（1，3）
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=3x2，
∴抛物线y=3x2的顶点坐标是：（0，0），
故选C．
【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．
6．若抛物线 经过点P（1，－3），则此抛物线也经过点（ ）
A．P B．P
C．P (1，3) D．P
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵将点P（1，-3）代入y=ax2得a=-3，
∴y=-3x2，
将四个点坐标分别代入解析式可知，当x=-1时，y=-3，即D不符合题意，其他三个选项均不成立．
故答案为：D．
【分析】将点P的坐标代入函数解析式，求出函数解析式，再分别将各选项的点的坐标代入验证，即可解答。
7．在同一坐标系中，抛物线 ， ， 的共同特点是（ ）
A．关于y轴对称，开口向上 B．关于y轴对称，y随x增大而减小
C．关于y轴对称，y随x增大而增大 D．关于y轴对称，顶点在原点
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵函数y=2x2，y= x2，y= x2中，a取值范围分别为：a＞0，a＞0，a＜0，∴抛物线的开口方向分别为：向上、向上、向下，即开口方向不同；
由函数y=2x2，y= x2，y= x2的解析式可知：顶点坐标都为（0，0）；
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故答案为：D．
【分析】利用y=ax2的性质：顶点坐标是（0，0），对称轴为y轴；a＞0，开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；a＜0，开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，对各选项逐一判断可得答案。
8．已知点（-2， ），（0， ），（1， ）都在函数 的图象上，则（ ）
A． ＞ ＞ B． ＞ ＞
C． ＞ ＞ D． ＞ ＞
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：因为|-2|＞1＞0，所以y1＞y3＞y2.
故答案为：B.
【分析】函数 y=x2 的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，所以离原点越远，函数值就越大，可解答。
9．已知a<－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由a<－1可得a－1＜a＜a+1＜0，
又因点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以 y3故答案为：C.
【分析】由a<－1可得a－1＜a＜a+1＜0，再根据二次函数的增减性，可解答。
10．下列说法中错误的是（ ）
A．在函数 中，当 时 有最大值
B．在函数 中，当 时 随 的增大而增大
C．抛物线 ， ， 中，抛物线 的开口最小，抛物线 的开口最大
D．不论 是正数还是负数，抛物线 的顶点都是坐标原点
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解： A．在函数y=-x2中，当x=0时y有最大值0，正确，
因为：此抛物线顶点坐标在原点，开口方向向下，故当x=0时y有最大值0；
B．在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大，正确；
因为此抛物线对称轴为y轴，开口方向向上，则x＞0时y随x的增大而增大；
C．抛物线y=2x2，y=-x2，y=- x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=-x2的开口最大；错误；
根据绝对值越大开口越小，可得抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=- x2的开口最大；
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点，正确，
因为y=ax2（a≠0）的顶点始终为原点．
【分析】根据二次函数y=ax2的性质，对各选项逐一判断，可解答。
11．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，－1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．a≤－1或a≥2 B． ≤a≤2
C．－1≤a＜0或1＜a≤ D．－1≤a＜0或0＜a≤2
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）
∴-1=a×12
∴a=-1
∴-1≤a<0
若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）
∴2=a×12
∴a=2
∴0∴a的取值范围是-1≤a<0或0故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1），将点B的坐标代入求解，可得出a的取值范围；若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2），将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，可得出a的取值范围，综上所述，可得出答案。
二、填空题
12．已知二次函数 的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜2
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解： ∵二次函数 的图象开口向下，
∴m-2<0，解得：m<2.
故答案为：m<2
【分析】由二次函数 y = ( m 2 ) x 2 的图象开口向下，可得出m-2<0，解不等式即可。
13．写出一个开口向上，顶点是坐标原点的二次函数的解析式： .
【答案】y=2x2
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：图象的顶点在原点，开口向上的二次函数很多，如：
【分析】根据题意可知写出的函数是形如y=ax2（a＞0）的形式。此题答案不唯一。
14．某抛物线有以下性质：①开口向下；②对称轴是y轴；③与x轴不相交；④最高点是原点．其中y=﹣2x2具有的性质是 ．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解： y=－2x2开口向下，对称轴是y轴，与x轴有一个交点，最高点是原点.
故答案为：①②④
【分析】根据二次函数y=ax2（a＜0）的性质，可解答。
15．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为 ，对称轴是 ．当x 时，y随x增大而减小；当x 时，y随x增大而增大；当x＝ 时，y有最 值是 ．
【答案】(0，0)；y轴；≤0；＞0；0；小；0
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点，坐标为（0，0），对称轴是y轴．当x≤0时，y随x增大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大；当x＝0时，y有最小值是0．
故答案为： （0，0） ； y轴 ； ≤0 ；＞0 ； 0 ； 小； 0．
【分析】利用二次函数y=ax2（a＞0）的性质，解答此题。
16．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y= x2与y=– x2的图象，则阴影部分的面积是 ．
【答案】8
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：函数y= x2与y=– x2的图象关于x轴对称，又因正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，所以阴影部分的面积为正方形面积的一半，即4×4× =8
【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，由此可以求出阴影部分的面积。
17．若抛物线y=ax2经过点A ( ，－9)，则其解析式为 。
【答案】y=-3x2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把点A 代入： 得， ，解得： ，
∴该抛物线的解析式为： y=-3x2
【分析】利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式，求解可得出函数解析式。
18．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是 (填序号).①m0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0
【答案】②④
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵x2一定不小于0，则由条件“对应任意给定的x的值，都有y甲 y乙”可知：存在以下3种情况：
（ 1 ）若y甲和y乙都为正数，则m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；
（ 2 ）若y甲为正数，y乙为负数，则m＞0，n＜0；
（ 3 ）若都为负数时，则n＜m＜0；
∴关于m，n的关系正确的是② 、④
【分析】根据偶次方的非负性得出x2一定不小于0，又对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，故有①y甲和y乙都为正数，②若y甲为正数，y乙为负数，③若y甲为负数，y乙为负数，三种情况，从而得出答案。
19．如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝ x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝ ，最后记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝ ．
【答案】；
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当x=1时，y= x2= ，则P1（1， ），所以S1= ×1× = ；
当x=2时，y= x2=2，则P2（2，2），所以S2= ×1×（2- ）= ；
当x=3时，y= x2= ，则P3（3， ），所以S3= ×1×（ -2）= ，
同样方法可得S4= ，
所以Sn= ．
故答案是： ，
【分析】根据题意分别将x=1、2、3代入函数解析式，求出对应的y的值，就可得出三角形的边长，再利用三角形的面积公式分别求出S1、S2、S3，寻找规律，可得出 Sn与n的关系式。
三、解答题
20．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
【答案】（1）解：∵ 是二次函数，
∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．
∵函数有最高点，
∴抛物线的开口向下，
∴k+2＜0，
解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）解：当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义，可得出k2+k﹣4=2且k+2≠0，再根据函数图象有最高点．得出k+2＜0，求解即可得出k的值。
（2）利用y=ax2的性质，可直接写出抛物线的对称轴、顶点坐标y随x的增大而减少时，x的取值范围。
21．已知点A（2，a）在抛物线y=x2上
（1）求A点的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵点A（2，a）在抛物线y=x2上，∴a=22=4，
∴A点的坐标为：（2，4）
（2）解：如图所示：
以O为顶点时，AO=P1O=2 或AO=AP2=2
∴点P坐标：（2 ，0），（﹣2 ，0），以A为顶点时，AO=OP，
∴点P坐标：（4，0）；以P为顶点时，OP′=AP′，
∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x则42+（x﹣2）2=x2，解得：x=5，
∴点P坐标：（5，0），
综上所述使△OAP是等腰三角形则P点坐标为：（2 ，0），（﹣2 ，0），（4，0），（5，0）．
【知识点】等腰三角形的判定；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式求出a的值，就可得出答案。
（2）分情况讨论：以O为顶点时；以A为顶点时；以P为顶点时，分别利用有两边相等的三角形是等腰三角形，分别求出点P的坐标。
22．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
【答案】（1）解：把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1
（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）
（3）解：作函数y=ax2的草图如下：
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入一次函数解析式，求出b的值，再利用待定系数法求出a的值。
（2）根据二次函数的性质，可得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。
（3）利用函数解析式画出函数的图象。
23．在同一个直角坐标系中作出y＝ x2，y＝ x2－1的图象．
（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
（2）抛物线y＝ x2－1与抛物线y＝ x2有什么关系？
【答案】（1）解：如图所示：
抛物线y＝ x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝ x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)
（2）解：抛物线y＝ x2－1可由抛物线y＝ x2向下平移1个单位长度得到
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）利用描点法画出两个函数的图象，再结合图像及二次函数的性质，求出两函数的开口方向、顶点坐标及对称轴。
（2）由两函数的a的值相等，可得出它们是通过平移得到的。
24．已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)．
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，
∴a·1＝3.∴a＝3
（2）解：把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.
（3）解：答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将已知点的坐标代入函数解析式，可求出答案。
（2）将x=3代入函数解析式，可得出对应的函数值。
（3）根据y＝ax2的性质，可得出答案。
25．如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线AB的解析式及抛物线y=ax2的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）求S△COB．
【答案】（1）解：设直线表达式为y=kx+b．
∵A（2，0），B（1，1）都在y=kx+b的图象上，
∴ ，解得 ，
∴直线AB的表达式为y=﹣x+2；
∵点B（1，1）在y=ax2的图象上，
∴a=1，其表达式为y=x2
（2）解：由 ，解得 或 ，
∴点C坐标为（﹣2，4）
（3）解：S△COB=S△AOC﹣S△OAB= ×2×4﹣ ×2×1=3
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出两函数的解析式。
（2）将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，就可得出点C的坐标。
（3）利用点A、B、C、O的坐标，根据S△COB=S△AOC﹣S△OAB，利用三角形的面积公式可得出答案。
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