高中数学人教版 选修2-3（理科） 第一章 计数原理1.2.1排列
一、选择题
1．四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．72 B．96 C．144 D．240
2．有两排座，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个坐位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A．234 B．346 C．350 D．363
3．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．240种 B．288种 C．192种 D．216种
4．数字“2016”中，各位数字相加和为9，称该数为“长久四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5，6组成的无重复数字且大于2016的“长久四位数”有（ ）个．
A．39 B．40 C．41 D．42
5．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．64种 D．72种
6．四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法数为（ ）
A． B．
C． D．
7．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
8．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．24
二、填空题
9．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序 只能出现在第一或最后一步，程序 和 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 种（用数字作答）．
10．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求 艘攻击型核潜艇一前一后， 艘驱逐舰和 艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为 ．（用数字作答）
11．在新华中学进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生、 2 位男生.如果这 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的的排法种数为 .
三、解答题
12．解下列方程或不等式．
（1） ；
（2） .
13．用 这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被 整除的且百位数字不是 的不同的五位数；
（2）若直线方程 中的 可以从已知的六个数字中任取 个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
14．用 这六个数字.
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为 的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比 大的四位数？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，故有A42A22A33=144种，
故选：C．
【分析】先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，根据分步计数原理可得．
2．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】一共可坐的位子有 个， 个人坐的方法数为 ，还需排除两左右相邻的情况.把可坐的 个坐位排成连续一行，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有 ，还应再加上 ，∴不同坐法的种数为 .
故答案为：B.
【分析】利用排除法求解.先利用排列数算出一共可坐的位子有 20 个， 2 个人坐的方法数，排除两人左右相邻的情况.即可得到结果．
3．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】最前排甲，共有 种；最前排乙，最后不能排甲，有 种，根据加法原理可得，共有 种，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，根据加法原理可得结论．
4．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，用数字0，1，2，3，4，5，6组成的无重复数字的“长久四位数”，
则这四个数字为0，1，2，6；0，1，3，5或0、2、3、4；共三种情况，
则分3种情况讨论：
①、四个数字为0、1、2、6时，
要求大于2016，则当其首位数字为2时，有2061、2106、2160、2601、2610；共5种情况；
当其首位数字为6时，在0、1、2这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
此时共有5+6=11种情况；
②、四个数字为0、1、3、5时，
当其首位数字为3时，在0、1、5这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
当其首位数字为5时，在0、1、3这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
此时共有6+6=12种情况；
③、四个数字为0、2、3、4时，
当其首位数字为2时，在0、3、4这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
当其首位数字为3时，在0、2、4这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
当其首位数字为4时，在0、2、3这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
此时共有6+6+6=18种情况；
综合可得共有11+12+18=41个符合条件的“长久四位数”，
故选C．
【分析】根据题意，分析可得组成符合题意的长久四位数”的四个数字有三种情况，即0，1，2，6；0，1，3，5或0、2、3、4；由此分3种情况进行讨论，每种情况时分析四位数的千位、百位、十位、个位的可能情况，可得每种情况下的“如意四位数”的个数，由分类计数原理计算可得答案．
5．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：当AC同色时，有2 =48种，
当AC异色时，有 =24种，
根据分类计数原理得，不同的涂色方法共有48+24=72种．
故选：D．
【分析】根据分类计数原理，本题需要分两类，AC同色，和AC异色，问题得以解决，
6．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】四位男演员互不相邻可用插入法，有 种排法，其中女演员甲站在两端的方法有 ，因此所求排法数为 ．
故答案为：A．
【分析】利用插入法，结合分步乘法计数原理，先五位女演员全排，再插入四位男演员，最后女演员甲站两侧，即可求出不同的排法．
7．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊 人的身高可记为 .要求 不相邻，分四类：①先排 时，则 只有 种排法， 在剩余的两个位上，这样有 种排法；②先排 时，则 只有 种排法， 在剩余的两个位上，这样有 种排法；③先排 时，则 只有 种排法， 在剩余的两个位上，这样有 种排法；④先排 时，则这样的排法只有两种，即 .综上共有 种，
故答案为：B.
【分析】分类讨论:M型和W型，最后利用分类加法计数原理求解．
8．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】（1）甲在前，乙在后：若甲在第2位，则有4种方法，若甲在第3位，则有3种方法，若甲在第4位，则有2种方法，若甲在第5位，则有1种方法，共10种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有10种方法.故一共有20种方法.
故答案为：C.
【分析】分两类：甲在前和乙在前,可以采用插空法求解,最后利用分类加法计数原理求解即可.
9．【答案】96
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】先排程序 有两种方法，再将 和 捆在一起后排，有 种方法，因此共有 种方法.
【分析】根据题意，先排程序 A 有两种方法，再将 B 和 C 捆在一起后排,利用分步乘法计数原理求解即可.
10．【答案】32
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】攻击型核潜艇有前后两种排序，驱逐舰与护卫舰，需要先进行分组，可分为2组，共 种分法，两组分别在航母两侧，有 种分法，每组中的驱逐舰与护卫舰有先后顺序，共有4种排序法，所以共有 种分配方法.
【分析】先考虑2艘攻击型核潜艇一前一后，再考虑2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，最后由分步乘法计数原理可得结论．
11．【答案】60
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】先排 个女生，三个女生之间有 个空，从四个空中选两个排男生，共有 （种），若女生甲排在第一个，则三个女生之间有 个空，从 个空中选两个排男生，有 （种），
∴满足条件的出场顺序有 （种）排法.
【分析】分两类考虑：若一个出场的是男生，和第一个出场的是女生（不是女生甲） ，最后利用分类加法计数原理即得所求．
12．【答案】（1）解：由 得 ＝ ，化简得x2－19x＋78＝0，
解得x1＝6，x2＝13.∵1≤x≤8，且x∈N*，∴原方程的解是x＝6
（2）解：由 ，得(x－2)(x－3)＋x≥2，即x2－5x＋6＋x≥2，
∴x2－4x＋4≥0，即(x－2)2≥0，恒成立，∵x－2≥2，∴x≥4.
即不等式的解集为{x|x≥4且x∈N*}
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【分析】由排列及排列数公式进行化简，l转化为一元二次方程求解，即可得到答案.
13．【答案】（1）解：当末位数字是 时，百位数字有 个选择，共有 （个）；
当末位数字是 ，首位数字是 时，共有 个；
当末位数字是 时，首位数字是 或 或 时，共有 （个）；
故共有 （个）
（2）解： 中有一个取 时，有 条； 都不取 时，有 （条）；
与 重复； ，与 重复．
故共有 （条）．
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】（1）分两类;个位是0或5，由分类加法计数原理得到结论；
（2）分两类加以讨论：第一类a、b均不为零，a、b的取值，第二类a、b中有一个为0，则不同的直线仅有两条，根据分类加法计数原理求解即可．
14．【答案】（1）解：符合要求的四位可分为三类：第一类： 在个位时有 个；
第二类： 在个位时，首位从 中选定 个（有 种），十位和百位从余下的数字中选（有 种），于是有 个；
第三类： 在个位时，与第二类同理，也有 个，由分类加法计算原理知，共有四位偶数 个
（2）解：符合要求的五位数可分为两类：个位数上的数字是 的五位数有 个，个位数上的数字是 的五位数有 个，故满足条件的五位数的个数共有 个
（3）解：比 大的四位偶数可分为三类：
第一类：形如 共有 个；
第二类：形如 , 共有 个；
第三类：形如 ，共有 个.
由分类加法计数原理知，无重复数字且比 大的四位数共有 个
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】（1）分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可；
（2）分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和；
（3）分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和．
1 / 1高中数学人教版 选修2-3（理科） 第一章 计数原理1.2.1排列
一、选择题
1．四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．72 B．96 C．144 D．240
【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，故有A42A22A33=144种，
故选：C．
【分析】先从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，根据分步计数原理可得．
2．有两排座，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个坐位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A．234 B．346 C．350 D．363
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】一共可坐的位子有 个， 个人坐的方法数为 ，还需排除两左右相邻的情况.把可坐的 个坐位排成连续一行，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有 ，还应再加上 ，∴不同坐法的种数为 .
故答案为：B.
【分析】利用排除法求解.先利用排列数算出一共可坐的位子有 20 个， 2 个人坐的方法数，排除两人左右相邻的情况.即可得到结果．
3．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．240种 B．288种 C．192种 D．216种
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】最前排甲，共有 种；最前排乙，最后不能排甲，有 种，根据加法原理可得，共有 种，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，根据加法原理可得结论．
4．数字“2016”中，各位数字相加和为9，称该数为“长久四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5，6组成的无重复数字且大于2016的“长久四位数”有（ ）个．
A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，用数字0，1，2，3，4，5，6组成的无重复数字的“长久四位数”，
则这四个数字为0，1，2，6；0，1，3，5或0、2、3、4；共三种情况，
则分3种情况讨论：
①、四个数字为0、1、2、6时，
要求大于2016，则当其首位数字为2时，有2061、2106、2160、2601、2610；共5种情况；
当其首位数字为6时，在0、1、2这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
此时共有5+6=11种情况；
②、四个数字为0、1、3、5时，
当其首位数字为3时，在0、1、5这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
当其首位数字为5时，在0、1、3这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
此时共有6+6=12种情况；
③、四个数字为0、2、3、4时，
当其首位数字为2时，在0、3、4这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
当其首位数字为3时，在0、2、4这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
当其首位数字为4时，在0、2、3这3个数字进行全排列，安排在百、十、个位上，有A33=6种情况，
此时共有6+6+6=18种情况；
综合可得共有11+12+18=41个符合条件的“长久四位数”，
故选C．
【分析】根据题意，分析可得组成符合题意的长久四位数”的四个数字有三种情况，即0，1，2，6；0，1，3，5或0、2、3、4；由此分3种情况进行讨论，每种情况时分析四位数的千位、百位、十位、个位的可能情况，可得每种情况下的“如意四位数”的个数，由分类计数原理计算可得答案．
5．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．64种 D．72种
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：当AC同色时，有2 =48种，
当AC异色时，有 =24种，
根据分类计数原理得，不同的涂色方法共有48+24=72种．
故选：D．
【分析】根据分类计数原理，本题需要分两类，AC同色，和AC异色，问题得以解决，
6．四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】四位男演员互不相邻可用插入法，有 种排法，其中女演员甲站在两端的方法有 ，因此所求排法数为 ．
故答案为：A．
【分析】利用插入法，结合分步乘法计数原理，先五位女演员全排，再插入四位男演员，最后女演员甲站两侧，即可求出不同的排法．
7．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊 人的身高可记为 .要求 不相邻，分四类：①先排 时，则 只有 种排法， 在剩余的两个位上，这样有 种排法；②先排 时，则 只有 种排法， 在剩余的两个位上，这样有 种排法；③先排 时，则 只有 种排法， 在剩余的两个位上，这样有 种排法；④先排 时，则这样的排法只有两种，即 .综上共有 种，
故答案为：B.
【分析】分类讨论:M型和W型，最后利用分类加法计数原理求解．
8．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】（1）甲在前，乙在后：若甲在第2位，则有4种方法，若甲在第3位，则有3种方法，若甲在第4位，则有2种方法，若甲在第5位，则有1种方法，共10种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有10种方法.故一共有20种方法.
故答案为：C.
【分析】分两类：甲在前和乙在前,可以采用插空法求解,最后利用分类加法计数原理求解即可.
二、填空题
9．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序 只能出现在第一或最后一步，程序 和 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 种（用数字作答）．
【答案】96
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】先排程序 有两种方法，再将 和 捆在一起后排，有 种方法，因此共有 种方法.
【分析】根据题意，先排程序 A 有两种方法，再将 B 和 C 捆在一起后排,利用分步乘法计数原理求解即可.
10．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求 艘攻击型核潜艇一前一后， 艘驱逐舰和 艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为 ．（用数字作答）
【答案】32
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】攻击型核潜艇有前后两种排序，驱逐舰与护卫舰，需要先进行分组，可分为2组，共 种分法，两组分别在航母两侧，有 种分法，每组中的驱逐舰与护卫舰有先后顺序，共有4种排序法，所以共有 种分配方法.
【分析】先考虑2艘攻击型核潜艇一前一后，再考虑2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，最后由分步乘法计数原理可得结论．
11．在新华中学进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生、 2 位男生.如果这 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的的排法种数为 .
【答案】60
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】先排 个女生，三个女生之间有 个空，从四个空中选两个排男生，共有 （种），若女生甲排在第一个，则三个女生之间有 个空，从 个空中选两个排男生，有 （种），
∴满足条件的出场顺序有 （种）排法.
【分析】分两类考虑：若一个出场的是男生，和第一个出场的是女生（不是女生甲） ，最后利用分类加法计数原理即得所求．
三、解答题
12．解下列方程或不等式．
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：由 得 ＝ ，化简得x2－19x＋78＝0，
解得x1＝6，x2＝13.∵1≤x≤8，且x∈N*，∴原方程的解是x＝6
（2）解：由 ，得(x－2)(x－3)＋x≥2，即x2－5x＋6＋x≥2，
∴x2－4x＋4≥0，即(x－2)2≥0，恒成立，∵x－2≥2，∴x≥4.
即不等式的解集为{x|x≥4且x∈N*}
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【分析】由排列及排列数公式进行化简，l转化为一元二次方程求解，即可得到答案.
13．用 这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被 整除的且百位数字不是 的不同的五位数；
（2）若直线方程 中的 可以从已知的六个数字中任取 个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
【答案】（1）解：当末位数字是 时，百位数字有 个选择，共有 （个）；
当末位数字是 ，首位数字是 时，共有 个；
当末位数字是 时，首位数字是 或 或 时，共有 （个）；
故共有 （个）
（2）解： 中有一个取 时，有 条； 都不取 时，有 （条）；
与 重复； ，与 重复．
故共有 （条）．
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】（1）分两类;个位是0或5，由分类加法计数原理得到结论；
（2）分两类加以讨论：第一类a、b均不为零，a、b的取值，第二类a、b中有一个为0，则不同的直线仅有两条，根据分类加法计数原理求解即可．
14．用 这六个数字.
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为 的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比 大的四位数？
【答案】（1）解：符合要求的四位可分为三类：第一类： 在个位时有 个；
第二类： 在个位时，首位从 中选定 个（有 种），十位和百位从余下的数字中选（有 种），于是有 个；
第三类： 在个位时，与第二类同理，也有 个，由分类加法计算原理知，共有四位偶数 个
（2）解：符合要求的五位数可分为两类：个位数上的数字是 的五位数有 个，个位数上的数字是 的五位数有 个，故满足条件的五位数的个数共有 个
（3）解：比 大的四位偶数可分为三类：
第一类：形如 共有 个；
第二类：形如 , 共有 个；
第三类：形如 ，共有 个.
由分类加法计数原理知，无重复数字且比 大的四位数共有 个
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】（1）分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可；
（2）分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和；
（3）分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和．
1 / 1
