数学小升初衔接培优训练七：有理数的运算
一、单选题
1．一位“粗心”的同学在做加减运算时，将“﹣5”错写成“+5”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（ ）
A．少5 B．少10
C．多5 D．多10
【答案】D
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：根据题意得：将“﹣5”错写成“+5”他得到的结果比原结果多10；
故选D．
【分析】根据有理数的加法和减法法则进行分析，即可得出答案．
2．下列结论正确的是（ ）
A．两个负数，绝对值大的反而小
B．两数之差为负，则这两数异号
C．任何数与零相加，都得零
D．正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是负数
【答案】A
【知识点】有理数大小比较；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，故本选项正确；
B、如2﹣3=﹣1，但2和3同号，故本选项错误；
C、如1+0=1，结果不是0，故本选项错误；
D、正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，故本选项错误；
故选A．
【分析】根据有理数的大小比较法则即可判断A；举出反例即可判断B、C；根据负数的偶次幂是正数，即可判断D．
3．下列说法中：
①﹣a一定是负数；
②倒数等于它本身的数是±1；
③几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
④几个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：①﹣a不一定是负数，错误；②倒数等于它本身的数是±1，正确；③几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，不一定积为负，可能为0，错误；④几个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个，正确．
故选B
【分析】利用有理数的乘法法则，以及倒数的定义判断即可．
4．（2016七上·九台期中）如果mn＞0，且m+n＜0，则下列选项正确的是（ ）
A．m＜0，n＜0 B．m＞0，n＜0
C．m，n异号，且负数的绝对值大 D．m，n异号，且正数的绝对值大
【答案】A
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：若有理数m，n满足mn＞0，则m，n同号，排除B，C，D选项；
且m+n＜0，则m＜0，n＜0，故A正确．
故选：A．
【分析】根据有理数的性质，因由mn＞0，且m+n＜0，可得n，m同号且两者都为负数可排除求解．
5．（2016七上·重庆期中）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ）
A．23和32 B．﹣53和（﹣5）3
C．﹣|﹣5|和﹣（﹣5） D．（﹣ ）3和﹣
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、23=8，32=9，故错误；
B、﹣53=﹣125，（﹣5）3=﹣125，故正确；
C、﹣|﹣5|=﹣5，﹣（﹣5）=5，故错误；
D、 ， ，故错误；
故选：B．
【分析】根据有理数的乘方，逐项化简，即可解答．
6．（2020七上·柯桥月考）三味书屋推出售书优惠方案：（1）一次性购书不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；（3）一次性购书超过200元及以上一律打八折。如果王明同学一次性购书162元，那么王明所购书的原价一定为 （ ）
A．180元 B．202.5元
C．180元或202.5元 D．180元或200元
【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】根据不享受优惠即原价，打九折即原价×0.9，打八折即原价×0.8，即可求得结果。
【解答】∵200×0.9=180，200×0.8=160，160＜162＜180，
∴一次性购书付款162元，可能有两种情况：
162÷0.9=180元；162÷0.8=202.5元．
故王明所购书的原价一定为180元或202.5元。
故选C．
【点评】解题的关键是读懂题意，正确列出算式计算，注意售书有三种优惠方案。
二、填空题
7．（2016七上·永登期中）某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：米）
1000，﹣1200，1100，﹣800，1400，该运动员共跑的路程为 米．
【答案】5500
【知识点】有理数的加法；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：各个数的绝对值的和：1000+1200+1100+800+1400=5500千米，
则该运动员共跑的路程为5500米．
【分析】求出运动情况中记录的各个数的绝对值的和即可．
8．一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 ；
【答案】负数
【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】∵一个数的15次幂是负数， ∴这个数的符号为负； 又∵一个负数的奇次幂为负数， ∴这个数的2003次幂是负数.
【分析】本题考查了有理数的乘方法则：负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数,正数的任何次幂都为正数.
9．计算。
（1）一个数加上﹣13得﹣5，那么这个数为 ．
（2）计算：36÷4×（﹣ ）= ．
【答案】（1）8
（2）﹣
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：（1）这个数=﹣5﹣（﹣13）=﹣5+13=8；
2）原式=9×（﹣ ）=﹣ ．
故答案为：（1）8；（2）﹣ ．
【分析】（1）依据加数、和的关系列出算式，然后再依据减法法则进行计算即可；（2）然后从左到右的顺序进行计算即可．
10．（2016七上·莒县期中）（a﹣1）2+（b+1）2=0，则a2004+b2005= ．
【答案】0
【知识点】偶次方的非负性
【解析】【解答】解：根据题意得，a﹣1=0，b+1=0，
解得a=1，b=﹣1，
所以，a2004+b2005=12004+（﹣1）2005=1﹣1=0．
故答案为：0．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
三、解答题
11．计算
（1）﹣8﹣12+2
（2）﹣18+（﹣7.5）﹣（﹣31）﹣12.5
（3）﹣ ﹣（+1 ）﹣（﹣ ）﹣（+4 ）
（4）1﹣[（﹣1）﹣（ ）﹣（+5）﹣（ ）]+|﹣4|．
【答案】（1）解：原式=﹣20+2=﹣18；
（2）解：原式=﹣18﹣7.5+31﹣12.5=﹣38+31=﹣7；
（3）解：原式=﹣ + ﹣1 ﹣4 = ﹣6=﹣5 ；
（4）解：原式=1+1+ +5+ +4=12．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；去括号法则及应用；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）原式利用加减法则计算即可得到结果；（2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果．
12．（2016七上·江津期中）计算.
（1）﹣10﹣（﹣16）+（﹣24）
（2）﹣72+2×（﹣3）2﹣（﹣6）÷（﹣ ）2．
【答案】（1）解：原式=﹣10+16﹣24=6﹣24=﹣18
（2）解：原式=﹣49+2×9﹣（﹣6）×9=﹣49+18+54=﹣31+54=23
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
13．对于有理数a、b定义一种运算：a*b=2a-b，计算(-2)*3+1．
【答案】解：(-2)*3+1=2×（-2）-3+1
=-4-3+1
=-6
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则
【解析】【解答】因为所以。
【分析】对于所定义的新运算，本题中将代入中。
14．比较下列算式结果的大小，并用“＞”、“＜”或“=”填空．
52+72 2×5×7；
92+102 2×9×10；
132+142 2×13×14；
52+52 2×5×5；
122+122 2×12×12．
通过观察和归纳，你有什么发现？
【答案】＞；＞；＜；＞；＜；解：当3个因数中后面两个因数的积大于前面两个加数的和的平均数时，积较大；当3个因数中后面两个因数的积小于前面两个加数的和的平均数时，积较小．
【知识点】有理数大小比较；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：52+72＞2×5×7；
92+102＞2×9×10；
132+142＜2×13×14；
52+52＞2×5×5；
122+122＜2×12×12．
发现：当3个因数中后面两个因数的积大于前面两个加数的和的平均数时，积较大；当3个因数中后面两个因数的积小于前面两个加数的和的平均数时，积较小．
故答案为：＞；＞；＜；＞；＜．
【分析】先求出算式的结果，再比较大小，通过观察和归纳得到发现即可求解．
15．（2016七下·瑶海期中）计算。
（1）你发现了吗？（ ）2= × ，（ ）﹣2= = × = × 由上述计算，我们发现（ ）2 （ ）﹣2；
（2）仿照（1），请你通过计算，判断（ ）3与（ ）﹣3之间的关系．
（3）我们可以发现：（ ）﹣m （ ）m（ab≠0）
（4）计算：（ ）﹣4×（ ）4．
【答案】（1）=
（2）解：∵（ ）3= × × ，（ ）﹣3= = × × ，
∴（ ）3=（ ）﹣3
（3）=
（4）解：原式=（ × ）﹣4×（ ）4
=（ ）﹣4×（ ）﹣4×（ ）4
= ×（ ）﹣4+4
=16×1
=16
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）∵（ ）2= × ，（ ）﹣2= = = × ，
∴（ ）2=（ ）﹣2，
故答案为：=；
3）由（1）、（2）知，（ ）﹣m=（ ）m，
故答案为：=；
【分析】（1）类比题干中乘方的运算即可得；（2）类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得；（3）根据（1）、（2）的规律即可得；（4）逆用积的乘方将原式变形为（ ）﹣4×（ ）﹣4×（ ）4，再利用同底数幂进行计算可得．
1 / 1数学小升初衔接培优训练七：有理数的运算
一、单选题
1．一位“粗心”的同学在做加减运算时，将“﹣5”错写成“+5”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（ ）
A．少5 B．少10
C．多5 D．多10
2．下列结论正确的是（ ）
A．两个负数，绝对值大的反而小
B．两数之差为负，则这两数异号
C．任何数与零相加，都得零
D．正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是负数
3．下列说法中：
①﹣a一定是负数；
②倒数等于它本身的数是±1；
③几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
④几个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2016七上·九台期中）如果mn＞0，且m+n＜0，则下列选项正确的是（ ）
A．m＜0，n＜0 B．m＞0，n＜0
C．m，n异号，且负数的绝对值大 D．m，n异号，且正数的绝对值大
5．（2016七上·重庆期中）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ）
A．23和32 B．﹣53和（﹣5）3
C．﹣|﹣5|和﹣（﹣5） D．（﹣ ）3和﹣
6．（2020七上·柯桥月考）三味书屋推出售书优惠方案：（1）一次性购书不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；（3）一次性购书超过200元及以上一律打八折。如果王明同学一次性购书162元，那么王明所购书的原价一定为 （ ）
A．180元 B．202.5元
C．180元或202.5元 D．180元或200元
二、填空题
7．（2016七上·永登期中）某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：米）
1000，﹣1200，1100，﹣800，1400，该运动员共跑的路程为 米．
8．一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 ；
9．计算。
（1）一个数加上﹣13得﹣5，那么这个数为 ．
（2）计算：36÷4×（﹣ ）= ．
10．（2016七上·莒县期中）（a﹣1）2+（b+1）2=0，则a2004+b2005= ．
三、解答题
11．计算
（1）﹣8﹣12+2
（2）﹣18+（﹣7.5）﹣（﹣31）﹣12.5
（3）﹣ ﹣（+1 ）﹣（﹣ ）﹣（+4 ）
（4）1﹣[（﹣1）﹣（ ）﹣（+5）﹣（ ）]+|﹣4|．
12．（2016七上·江津期中）计算.
（1）﹣10﹣（﹣16）+（﹣24）
（2）﹣72+2×（﹣3）2﹣（﹣6）÷（﹣ ）2．
13．对于有理数a、b定义一种运算：a*b=2a-b，计算(-2)*3+1．
14．比较下列算式结果的大小，并用“＞”、“＜”或“=”填空．
52+72 2×5×7；
92+102 2×9×10；
132+142 2×13×14；
52+52 2×5×5；
122+122 2×12×12．
通过观察和归纳，你有什么发现？
15．（2016七下·瑶海期中）计算。
（1）你发现了吗？（ ）2= × ，（ ）﹣2= = × = × 由上述计算，我们发现（ ）2 （ ）﹣2；
（2）仿照（1），请你通过计算，判断（ ）3与（ ）﹣3之间的关系．
（3）我们可以发现：（ ）﹣m （ ）m（ab≠0）
（4）计算：（ ）﹣4×（ ）4．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：根据题意得：将“﹣5”错写成“+5”他得到的结果比原结果多10；
故选D．
【分析】根据有理数的加法和减法法则进行分析，即可得出答案．
2．【答案】A
【知识点】有理数大小比较；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，故本选项正确；
B、如2﹣3=﹣1，但2和3同号，故本选项错误；
C、如1+0=1，结果不是0，故本选项错误；
D、正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，故本选项错误；
故选A．
【分析】根据有理数的大小比较法则即可判断A；举出反例即可判断B、C；根据负数的偶次幂是正数，即可判断D．
3．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：①﹣a不一定是负数，错误；②倒数等于它本身的数是±1，正确；③几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，不一定积为负，可能为0，错误；④几个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个，正确．
故选B
【分析】利用有理数的乘法法则，以及倒数的定义判断即可．
4．【答案】A
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：若有理数m，n满足mn＞0，则m，n同号，排除B，C，D选项；
且m+n＜0，则m＜0，n＜0，故A正确．
故选：A．
【分析】根据有理数的性质，因由mn＞0，且m+n＜0，可得n，m同号且两者都为负数可排除求解．
5．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、23=8，32=9，故错误；
B、﹣53=﹣125，（﹣5）3=﹣125，故正确；
C、﹣|﹣5|=﹣5，﹣（﹣5）=5，故错误；
D、 ， ，故错误；
故选：B．
【分析】根据有理数的乘方，逐项化简，即可解答．
6．【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】根据不享受优惠即原价，打九折即原价×0.9，打八折即原价×0.8，即可求得结果。
【解答】∵200×0.9=180，200×0.8=160，160＜162＜180，
∴一次性购书付款162元，可能有两种情况：
162÷0.9=180元；162÷0.8=202.5元．
故王明所购书的原价一定为180元或202.5元。
故选C．
【点评】解题的关键是读懂题意，正确列出算式计算，注意售书有三种优惠方案。
7．【答案】5500
【知识点】有理数的加法；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：各个数的绝对值的和：1000+1200+1100+800+1400=5500千米，
则该运动员共跑的路程为5500米．
【分析】求出运动情况中记录的各个数的绝对值的和即可．
8．【答案】负数
【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】∵一个数的15次幂是负数， ∴这个数的符号为负； 又∵一个负数的奇次幂为负数， ∴这个数的2003次幂是负数.
【分析】本题考查了有理数的乘方法则：负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数,正数的任何次幂都为正数.
9．【答案】（1）8
（2）﹣
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：（1）这个数=﹣5﹣（﹣13）=﹣5+13=8；
2）原式=9×（﹣ ）=﹣ ．
故答案为：（1）8；（2）﹣ ．
【分析】（1）依据加数、和的关系列出算式，然后再依据减法法则进行计算即可；（2）然后从左到右的顺序进行计算即可．
10．【答案】0
【知识点】偶次方的非负性
【解析】【解答】解：根据题意得，a﹣1=0，b+1=0，
解得a=1，b=﹣1，
所以，a2004+b2005=12004+（﹣1）2005=1﹣1=0．
故答案为：0．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
11．【答案】（1）解：原式=﹣20+2=﹣18；
（2）解：原式=﹣18﹣7.5+31﹣12.5=﹣38+31=﹣7；
（3）解：原式=﹣ + ﹣1 ﹣4 = ﹣6=﹣5 ；
（4）解：原式=1+1+ +5+ +4=12．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；去括号法则及应用；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）原式利用加减法则计算即可得到结果；（2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果．
12．【答案】（1）解：原式=﹣10+16﹣24=6﹣24=﹣18
（2）解：原式=﹣49+2×9﹣（﹣6）×9=﹣49+18+54=﹣31+54=23
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
13．【答案】解：(-2)*3+1=2×（-2）-3+1
=-4-3+1
=-6
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则
【解析】【解答】因为所以。
【分析】对于所定义的新运算，本题中将代入中。
14．【答案】＞；＞；＜；＞；＜；解：当3个因数中后面两个因数的积大于前面两个加数的和的平均数时，积较大；当3个因数中后面两个因数的积小于前面两个加数的和的平均数时，积较小．
【知识点】有理数大小比较；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：52+72＞2×5×7；
92+102＞2×9×10；
132+142＜2×13×14；
52+52＞2×5×5；
122+122＜2×12×12．
发现：当3个因数中后面两个因数的积大于前面两个加数的和的平均数时，积较大；当3个因数中后面两个因数的积小于前面两个加数的和的平均数时，积较小．
故答案为：＞；＞；＜；＞；＜．
【分析】先求出算式的结果，再比较大小，通过观察和归纳得到发现即可求解．
15．【答案】（1）=
（2）解：∵（ ）3= × × ，（ ）﹣3= = × × ，
∴（ ）3=（ ）﹣3
（3）=
（4）解：原式=（ × ）﹣4×（ ）4
=（ ）﹣4×（ ）﹣4×（ ）4
= ×（ ）﹣4+4
=16×1
=16
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）∵（ ）2= × ，（ ）﹣2= = = × ，
∴（ ）2=（ ）﹣2，
故答案为：=；
3）由（1）、（2）知，（ ）﹣m=（ ）m，
故答案为：=；
【分析】（1）类比题干中乘方的运算即可得；（2）类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得；（3）根据（1）、（2）的规律即可得；（4）逆用积的乘方将原式变形为（ ）﹣4×（ ）﹣4×（ ）4，再利用同底数幂进行计算可得．
1 / 1
