初中数学北师大版八年级下册1.3线段的垂直平分线练习题
一、选择题
1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，若AC=6，BC=10，则△ACD的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=6，BC=10，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+10=16．
故选A．
【分析】由AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，继而可得△ACD的周长为：AC+BC，则可求得答案．
2．如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB D．以上结论都不正确
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：AC=AD，BC=BD
根据线段垂直平分线的性质可得：
AB垂直平分CD
故选B．
【分析】由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得．
3．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，
∴点P一定是三角形三条垂直平分线的交点．
故选B．
【分析】由三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．即可求得答案．
4．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，BC=4cm，
∴△DBC的周长是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）．
故选D．
【分析】由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，又由AC=5cm，BC=4cm，即可求得△DBC的周长．
5．如图，△ABC的周长为24，BC=10，BC边的垂直平分线交BC、AB于点D、E，则△AEC的周长是（ ）
A．16 B．10 C．19 D．14
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的周长为24，BC=10，
∴AB+AC=14，
∵DE是BC边的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴△AEC的周长=AE+EC+AC=AE+EB+AC=AB+AC=14，
故选：D．
【分析】根据三角形的周长公式求出AB+AC，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，根据三角形的周长公式计算即可．
6．如图，已知△ABC中，∠ABC=50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．115° D．无法确定
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，
∴∠BAC+∠ACB=130°，
∵若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM=PM，PN=CN，
∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，
∵∠APC=180°﹣∠APM﹣∠CPN=180°﹣∠PAC﹣∠ACP，
∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP= 130°=65°，
∴∠APC=115°，
故选C．
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB=130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM，PN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，推出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP= 130°=65°，于是得到结论．
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=1，则BE的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．6
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：已知∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB．
故∠B=∠EAB=22.5°，
所以∠AEC=45°．
又∵∠C=90°，
∴△ACE为等腰三角形
所以CE=AC=1，
故可得BE= ．
故选B．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．
8．（2017八上·十堰期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G.下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，AG=3DG，其中不正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】根据角平分线的性质定理可得DE=DF，利用HL定理可证得Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得∠ADE=∠ADF ，所以AD平分∠EDF，③正确； 根据等腰三角形的三线合一可得AD垂直平分EF，①正确，②错误；由∠BAC=60°可得∠EAD=30°，根据在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半可得2DG=DE，2DE=AD，所以AD=4DG，即可得AG=3DG，所以④正确，故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质定理可判断选项③的正误，根据等腰三角形的三线合一可判断①②的正误根据在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半可判断④的正误。
9．如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点，交BC于点D，若△ADC的周长为17cm，AC=5cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的中垂线，
∴DB=DA，
∵△ADC的周长为17cm，
∴AD+DC+AC=17cm，
∴BD+DC+AC=17cm，即BC+AC=17cm，
∴BC=17﹣5=12cm，
故选：C．
【分析】根据垂直平分线的性质得到DB=DA，根据三角形的周长公式计算即可．
10．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边的垂直平分线的交点．
故选A．
【分析】用线段垂直平分线性质判断即可．
11．如图，∠A=80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=80°，
∴∠OBC+∠OCB=100°﹣80°=20°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO=10°，
故选：D．
【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=100°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OB，OA=OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
12．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．
13．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条角平分线的交点
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：
∵到两个顶点的距离相等的点在该边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是三条边的垂直平分线的交点，
故选B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可求得答案．
14．（2017·黄石港模拟）如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（ ）
A．8 B．4 C．12 D．16
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA=DB，EA=EC，
则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，
故答案为：A．
【分析】利用中垂线性质可转化DA=DB，EA=EC，把周长转化为BC长.
15．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理得到AB是线段CD的垂直平分线，得到答案．
二、填空题
16．点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA= ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，
∴PA=PB=10．
故答案为：10．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出PA=PB，代入求出即可．
17．如图，已知△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为8cm，则△ADE的周长为 ．
【答案】8cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∵边BC长为8cm，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8cm．
故答案为：8cm．
【分析】由△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=CE，继而可得△ADE的周长为BC的长．
18．已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC= ．
【答案】160°
【知识点】线段垂直平分线的性质
19．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、NBC上，则∠EAN= ．
【答案】32°
【知识点】线段垂直平分线的性质
20．（2016八上·安陆期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故答案为19．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
21．（2017八上·大石桥期中）如图，∠BAC=105°，若MP、NQ分别垂直平分AB、AC，则∠PAQ=
【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MP、NQ分别垂直平分AB、AC，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，
∵∠BAC=105°，
∴∠B+∠C=75°，
∴∠BAP+∠CAQ=75°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=30°．
故答案为：30°．
【分析】由MP、NQ分别垂直平分AB、AC，根据线段垂直平分线的性质，可求得AP=BP，AQ=CQ，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得∠BAP+∠CAQ的度数，继而求得答案．
22．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=28°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
【答案】69°
【知识点】线段垂直平分线的性质
23．如图，已知AD是BC的垂直平分线，垂足为D，△ABC的周长为32，△ACD的周长为24，那么AD的长为 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
24．如图，在△ABC中，DM、EN分别是AB、AC的垂直平分线，交BC于点D、E，若△ADE的周长是10cm，则线段BC的长是 cm．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
25．如图，DE垂直平分△ABC的边BC，CE平分∠ACB，∠BAC=75°，则∠B的度数为 ．
【答案】35°
【知识点】线段垂直平分线的性质
26．如图，MP、NQ分别垂直平分AB、AC；且BC=6，则△APQ的周长为 ．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
27．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D、E，若∠CAE=∠B+15°，∠AEC= °．
【答案】50
【知识点】线段垂直平分线的性质
28．（2016八上·宁阳期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是 ．
【答案】（1）（2）（3）
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=72°﹣36°=36°，
∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴BD=BC；
（1）BD平分∠ABC正确；
（2）AD=BD=CD正确；
（3）△BDC的周长=BC+CD+BD
=BC+CD+AD
=BC+AC
=AB+BC，正确；
（4）AD=BD≠CD，所以D不是AC的中点，故本选项错误．
故正确的命题是（1）（2）（3）．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形ABC的顶角为36°，求出各角的度数，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．
29．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D；已知AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
30．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 ．
【答案】19cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故答案为19cm．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
三、解答题
31．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；
（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，CN=BN，
∵△CMN的周长为18cm，即CM+CN+MN=18，
∴AM+BN+MN=AB=18cm．
∴AB=18cm
（2）解：∵DM垂直平分AC，
∴∠1=∠2，
∵EN垂直平分BC，
∴∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，
则2（∠1+∠4）=180°﹣50°=130°，
∠1+∠4═65°，
∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，可知AM=CM，CN=BN，可知△CMN的周长即为AB的长．（2）根据垂直平分线的性质可知，∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形的内角和定理，整体求出∠1+∠4的值，进而可得∠ACB的度数．
32．如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
【答案】（1）解：DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴DE⊥DP
（2）解：连接PE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；（2）连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
33．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
（1）求AB的长度；
（2）求CE的长．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，
AB= =15
（2）解：设AE=x，则CE=12﹣x，
∴（12﹣x）2+92=x2，
解得：x= ，
∴AE= ，CE=AC﹣AE=
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）设AE=x，则CE=12﹣x，根据勾股定理列方程（12﹣x）2+92=x2，即可得到结论．
34．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．
求证：∠CAB=∠AED．
【答案】证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB．
∴∠EAB=∠B．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°．
又∵∠AED+∠EAB=90°，
∴∠CAB=∠AED
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论．
35．已知如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．
（1）若BC=15，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC=128°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）证明：∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴BD=AD，CE=AE，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=15
（2）解：在△ABC中，
∵∠BAC=128°，
∴∠B+∠C=180°﹣128°=52°
∴∠ADE+∠AED=2（∠B+∠C）=104°，
∴∠DAE的度数是76
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）根据三角形的内角和即可得到结论．
36．如图，已知∠BAC=60°，∠B=80°，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于E．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB=10，BC=12，求△ABD的周长．
【答案】（1）解：∵∠BAC=60°，∠B=80°，
∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B
=180°﹣60°﹣80°
=40°，
∵DE垂直平分AC
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=40°，
∴∠BAD=60°﹣40°=20°
（2）解：由（1）知DA=DC
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BC=10+12=22
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，求出∠DAC，计算即可；（2）根据DA=DC，三角形的周长公式计算．
37．如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC=9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．
【答案】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴BE+AE=CE+AE=AC=9cm，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB+BE+AE=16cm，
∴AB=7cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE=CE，根据三角形的周长公式计算．
38．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F，若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【答案】解：∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB=180°﹣∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=40°．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据四边形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠A+∠B=70°，由∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，计算即可．
39．如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．
（1）若∠ACP=24°，求∠ABP的度数；
（2）若∠ACP=m°，∠ABP=n°，请直接写出m，n满足的关系式： ．
【答案】（1）解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP，
∵∠A=60°，∠ACP=24°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣24°，
∴3∠ABP=120°﹣24°，
∴∠ABP=32°
（2）m+3n=120
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： （2）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，
∵∠A=60°，∠ACP=m°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣m°，
∴3∠ABP=120°﹣m°，
∴3n°+m°=120°，
故答案为：m+3n=120．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（2）运用（1）中的方法，即可得出m，n满足的关系式．
40．在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E．
（1）若∠ABE=38°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为36cm，一边为13cm，求△BCE的周长．
【答案】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= =71°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=71°﹣38°=33°
（2）解：当BC=13cm时，AB=AC=11.5cm，
∵AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=13cm+11.5cm=24.5cm；
当AB=AC=13cm时，则BC=10cm，
∵AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10cm+13cm=23cm；
即△BCE的周长为24.5cm或23cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案；（2）求出AC和BC的值，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，求出△BCE的周长=AC+BC，代入求出即可．
41．如图，△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）如果BC=10，求△DAF的周长．
【答案】（1）解：设∠B=x，∠C=y．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴110°+∠B+∠C=180°，
∴x+y=70°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，
∴DA=BD，FA=FC，
∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．
∴∠DAF=∠BAC﹣（x+y）=110°﹣70°=40°
（2）解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，
∴DA=BD，FA=FC，
∴△DAF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA=FC，则∠EAD=∠B，∠FAC=∠C，得出∠DAF=∠BAC﹣∠EAD﹣∠FAC=110°﹣（∠B+∠C）求出即可．（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案．
42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
【答案】解：DE=BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，
∴∠ABC=67.5°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE=BF，∠CED=∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠CED+∠CBF=90°，
∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD，求出∠CBD=45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．
43．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于点D、E若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的大小．
【答案】解：∵DE垂直平分斜边AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B，
∴∠AEC=2∠B，
∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，
解得，∠B=20°，
∴∠AEB=140°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到EA=EB，根据三角形的外角的性质计算即可．
44．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．
（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为14cm，AC=6cm，求DC长．
【答案】（1）解：∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∴∠C=∠CAE，
∵∠BAE=40°，
∴∠AED=70°，
∴∠C= ∠AED=35°
（2）解：∵△ABC周长14cm，AC=6cm，
∴AB+BE+EC=8cm，
即2DE+2EC=8cm，
∴DE+EC=DC=4cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出2DE+2EC=8cm，即可得出答案．
45．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．
【答案】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= =70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．
1 / 1初中数学北师大版八年级下册1.3线段的垂直平分线练习题
一、选择题
1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，若AC=6，BC=10，则△ACD的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
2．如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB D．以上结论都不正确
3．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点
4．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
5．如图，△ABC的周长为24，BC=10，BC边的垂直平分线交BC、AB于点D、E，则△AEC的周长是（ ）
A．16 B．10 C．19 D．14
6．如图，已知△ABC中，∠ABC=50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．115° D．无法确定
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=1，则BE的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．6
8．（2017八上·十堰期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G.下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，AG=3DG，其中不正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点，交BC于点D，若△ADC的周长为17cm，AC=5cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
10．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
11．如图，∠A=80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
12．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60°，∠ACP=24°，则∠ABP是（ ）
A．24° B．30° C．32° D．36°
13．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条角平分线的交点
14．（2017·黄石港模拟）如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（ ）
A．8 B．4 C．12 D．16
15．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
二、填空题
16．点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA= ．
17．如图，已知△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为8cm，则△ADE的周长为 ．
18．已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC= ．
19．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、NBC上，则∠EAN= ．
20．（2016八上·安陆期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
21．（2017八上·大石桥期中）如图，∠BAC=105°，若MP、NQ分别垂直平分AB、AC，则∠PAQ=
22．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=28°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
23．如图，已知AD是BC的垂直平分线，垂足为D，△ABC的周长为32，△ACD的周长为24，那么AD的长为 ．
24．如图，在△ABC中，DM、EN分别是AB、AC的垂直平分线，交BC于点D、E，若△ADE的周长是10cm，则线段BC的长是 cm．
25．如图，DE垂直平分△ABC的边BC，CE平分∠ACB，∠BAC=75°，则∠B的度数为 ．
26．如图，MP、NQ分别垂直平分AB、AC；且BC=6，则△APQ的周长为 ．
27．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D、E，若∠CAE=∠B+15°，∠AEC= °．
28．（2016八上·宁阳期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是 ．
29．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D；已知AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为 ．
30．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 ．
三、解答题
31．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；
（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．
32．如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
33．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
（1）求AB的长度；
（2）求CE的长．
34．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．
求证：∠CAB=∠AED．
35．已知如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．
（1）若BC=15，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC=128°，求∠DAE的度数．
36．如图，已知∠BAC=60°，∠B=80°，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于E．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB=10，BC=12，求△ABD的周长．
37．如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC=9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．
38．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F，若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
39．如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．
（1）若∠ACP=24°，求∠ABP的度数；
（2）若∠ACP=m°，∠ABP=n°，请直接写出m，n满足的关系式： ．
40．在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E．
（1）若∠ABE=38°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为36cm，一边为13cm，求△BCE的周长．
41．如图，△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）如果BC=10，求△DAF的周长．
42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
43．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于点D、E若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的大小．
44．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．
（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为14cm，AC=6cm，求DC长．
45．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=6，BC=10，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+10=16．
故选A．
【分析】由AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，继而可得△ACD的周长为：AC+BC，则可求得答案．
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：AC=AD，BC=BD
根据线段垂直平分线的性质可得：
AB垂直平分CD
故选B．
【分析】由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得．
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，
∴点P一定是三角形三条垂直平分线的交点．
故选B．
【分析】由三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．即可求得答案．
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，BC=4cm，
∴△DBC的周长是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）．
故选D．
【分析】由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，又由AC=5cm，BC=4cm，即可求得△DBC的周长．
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的周长为24，BC=10，
∴AB+AC=14，
∵DE是BC边的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴△AEC的周长=AE+EC+AC=AE+EB+AC=AB+AC=14，
故选：D．
【分析】根据三角形的周长公式求出AB+AC，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，根据三角形的周长公式计算即可．
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，
∴∠BAC+∠ACB=130°，
∵若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM=PM，PN=CN，
∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，
∵∠APC=180°﹣∠APM﹣∠CPN=180°﹣∠PAC﹣∠ACP，
∴∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP= 130°=65°，
∴∠APC=115°，
故选C．
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB=130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM，PN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，推出∠MAP+∠PCN=∠PAC+∠ACP= 130°=65°，于是得到结论．
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：已知∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB．
故∠B=∠EAB=22.5°，
所以∠AEC=45°．
又∵∠C=90°，
∴△ACE为等腰三角形
所以CE=AC=1，
故可得BE= ．
故选B．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】根据角平分线的性质定理可得DE=DF，利用HL定理可证得Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得∠ADE=∠ADF ，所以AD平分∠EDF，③正确； 根据等腰三角形的三线合一可得AD垂直平分EF，①正确，②错误；由∠BAC=60°可得∠EAD=30°，根据在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半可得2DG=DE，2DE=AD，所以AD=4DG，即可得AG=3DG，所以④正确，故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质定理可判断选项③的正误，根据等腰三角形的三线合一可判断①②的正误根据在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半可判断④的正误。
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的中垂线，
∴DB=DA，
∵△ADC的周长为17cm，
∴AD+DC+AC=17cm，
∴BD+DC+AC=17cm，即BC+AC=17cm，
∴BC=17﹣5=12cm，
故选：C．
【分析】根据垂直平分线的性质得到DB=DA，根据三角形的周长公式计算即可．
10．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边的垂直平分线的交点．
故选A．
【分析】用线段垂直平分线性质判断即可．
11．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=80°，
∴∠OBC+∠OCB=100°﹣80°=20°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO=10°，
故选：D．
【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=100°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OB，OA=OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°．
故选：C．
【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可．
13．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：
∵到两个顶点的距离相等的点在该边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是三条边的垂直平分线的交点，
故选B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可求得答案．
14．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA=DB，EA=EC，
则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，
故答案为：A．
【分析】利用中垂线性质可转化DA=DB，EA=EC，把周长转化为BC长.
15．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理得到AB是线段CD的垂直平分线，得到答案．
16．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，
∴PA=PB=10．
故答案为：10．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出PA=PB，代入求出即可．
17．【答案】8cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∵边BC长为8cm，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8cm．
故答案为：8cm．
【分析】由△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=CE，继而可得△ADE的周长为BC的长．
18．【答案】160°
【知识点】线段垂直平分线的性质
19．【答案】32°
【知识点】线段垂直平分线的性质
20．【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故答案为19．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
21．【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MP、NQ分别垂直平分AB、AC，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，
∵∠BAC=105°，
∴∠B+∠C=75°，
∴∠BAP+∠CAQ=75°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=30°．
故答案为：30°．
【分析】由MP、NQ分别垂直平分AB、AC，根据线段垂直平分线的性质，可求得AP=BP，AQ=CQ，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得∠BAP+∠CAQ的度数，继而求得答案．
22．【答案】69°
【知识点】线段垂直平分线的性质
23．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
24．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
25．【答案】35°
【知识点】线段垂直平分线的性质
26．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
27．【答案】50
【知识点】线段垂直平分线的性质
28．【答案】（1）（2）（3）
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=72°﹣36°=36°，
∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴BD=BC；
（1）BD平分∠ABC正确；
（2）AD=BD=CD正确；
（3）△BDC的周长=BC+CD+BD
=BC+CD+AD
=BC+AC
=AB+BC，正确；
（4）AD=BD≠CD，所以D不是AC的中点，故本选项错误．
故正确的命题是（1）（2）（3）．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形ABC的顶角为36°，求出各角的度数，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．
29．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
30．【答案】19cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+CD=13cm，
即AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
故答案为19cm．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
31．【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，CN=BN，
∵△CMN的周长为18cm，即CM+CN+MN=18，
∴AM+BN+MN=AB=18cm．
∴AB=18cm
（2）解：∵DM垂直平分AC，
∴∠1=∠2，
∵EN垂直平分BC，
∴∠3=∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，
则2（∠1+∠4）=180°﹣50°=130°，
∠1+∠4═65°，
∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，可知AM=CM，CN=BN，可知△CMN的周长即为AB的长．（2）根据垂直平分线的性质可知，∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形的内角和定理，整体求出∠1+∠4的值，进而可得∠ACB的度数．
32．【答案】（1）解：DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴DE⊥DP
（2）解：连接PE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；（2）连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
33．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，
AB= =15
（2）解：设AE=x，则CE=12﹣x，
∴（12﹣x）2+92=x2，
解得：x= ，
∴AE= ，CE=AC﹣AE=
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）设AE=x，则CE=12﹣x，根据勾股定理列方程（12﹣x）2+92=x2，即可得到结论．
34．【答案】证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB．
∴∠EAB=∠B．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°．
又∵∠AED+∠EAB=90°，
∴∠CAB=∠AED
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论．
35．【答案】（1）证明：∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴BD=AD，CE=AE，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=15
（2）解：在△ABC中，
∵∠BAC=128°，
∴∠B+∠C=180°﹣128°=52°
∴∠ADE+∠AED=2（∠B+∠C）=104°，
∴∠DAE的度数是76
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）根据三角形的内角和即可得到结论．
36．【答案】（1）解：∵∠BAC=60°，∠B=80°，
∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B
=180°﹣60°﹣80°
=40°，
∵DE垂直平分AC
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=40°，
∴∠BAD=60°﹣40°=20°
（2）解：由（1）知DA=DC
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BC=10+12=22
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，求出∠DAC，计算即可；（2）根据DA=DC，三角形的周长公式计算．
37．【答案】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴BE+AE=CE+AE=AC=9cm，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB+BE+AE=16cm，
∴AB=7cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE=CE，根据三角形的周长公式计算．
38．【答案】解：∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB=180°﹣∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=40°．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据四边形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠A+∠B=70°，由∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，计算即可．
39．【答案】（1）解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP，
∵∠A=60°，∠ACP=24°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣24°，
∴3∠ABP=120°﹣24°，
∴∠ABP=32°
（2）m+3n=120
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： （2）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，
∵∠A=60°，∠ACP=m°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣m°，
∴3∠ABP=120°﹣m°，
∴3n°+m°=120°，
故答案为：m+3n=120．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（2）运用（1）中的方法，即可得出m，n满足的关系式．
40．【答案】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= =71°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=71°﹣38°=33°
（2）解：当BC=13cm时，AB=AC=11.5cm，
∵AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=13cm+11.5cm=24.5cm；
当AB=AC=13cm时，则BC=10cm，
∵AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10cm+13cm=23cm；
即△BCE的周长为24.5cm或23cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案；（2）求出AC和BC的值，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，求出△BCE的周长=AC+BC，代入求出即可．
41．【答案】（1）解：设∠B=x，∠C=y．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴110°+∠B+∠C=180°，
∴x+y=70°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，
∴DA=BD，FA=FC，
∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．
∴∠DAF=∠BAC﹣（x+y）=110°﹣70°=40°
（2）解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，
∴DA=BD，FA=FC，
∴△DAF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA=FC，则∠EAD=∠B，∠FAC=∠C，得出∠DAF=∠BAC﹣∠EAD﹣∠FAC=110°﹣（∠B+∠C）求出即可．（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案．
42．【答案】解：DE=BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，
∴∠ABC=67.5°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE=BF，∠CED=∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠CED+∠CBF=90°，
∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD，求出∠CBD=45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．
43．【答案】解：∵DE垂直平分斜边AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B，
∴∠AEC=2∠B，
∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，
解得，∠B=20°，
∴∠AEB=140°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到EA=EB，根据三角形的外角的性质计算即可．
44．【答案】（1）解：∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∴∠C=∠CAE，
∵∠BAE=40°，
∴∠AED=70°，
∴∠C= ∠AED=35°
（2）解：∵△ABC周长14cm，AC=6cm，
∴AB+BE+EC=8cm，
即2DE+2EC=8cm，
∴DE+EC=DC=4cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出2DE+2EC=8cm，即可得出答案．
45．【答案】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= =70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．
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