2022-2023学年北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似同步练习（Word版含答案）

第四章 图形的相似
一、选择题：（共10小题）
1.在比例尺是1:38 000的黄浦江交通游览图上,某隧道长约7cm,它的实际长度约为( )
A.266 km B.26.6km C.2.66km D.0.266km
2.如图,已知都与垂直,垂足分别是,且,那么的长是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设的面积为，的面积为.则( )
A. B. C. D.
4.如图,在中,,,则的长为
( )
A.6 B.8 C.10 D.12
5.如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，则等于( )
A.0.618 B. C. D.2
6.如图,和是以点E为位似中心的位似图形,已知点,点,点,则点D的对应点B的坐标是( )
A.(4,2) B.(4,1) C.(5,2) D.(5,1)
7.如图,小明为了测量一凉亭的高度(顶端A到水平地面的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶米,三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得米,然后沿直线后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得米,小明身高米,则凉亭的高度约为( )
A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米
8.如图,D是等边边上的一点,且,现将折叠,使点C与点D重合,折痕为,点分别在和上,则的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在剧场中，坐在小明（AB）前面一排的女士（CD）戴着高帽子（m），此时小明的眼睛B，帽顶E以及舞台上方横梁的某点H在同一条直线上；女士发现帽子挡住了小明的视线，于是摘掉帽子，此时小明的眼睛B，女士头顶D以及舞台下方地面上某点F在同一条直线上.已知舞台的高m，A、C、F在同一条直线上，F、G、H在同一条直线上， m， m，则舞台横梁到舞台的距离GH为( )
A.3.2m B.3 m C.2 m D.2.2 m
10.如图,中,,正方形的顶点在内,顶点分别在上,,则点F到的距离为( )
A.1 B.2 C. D.
二、填空题（共10小题）
11.如图,在中,分别为边上的点,,点F为边上一点,添加一个条件:____________,可以使得与相似.(只需写出一个)
12.如图，在平面直角坐标系中，与的顶点都在格点（网格线的交点）上，且与关于点P位似，若平移平面直角坐标系，使得原点与点P重合，则平移后点A的坐标为_____________.
13.如图,在中,,点D在边上,于点E,连接,则的面积等于________.
14.如图，，点在上，与交于点，，则的长为__________.
15.如图,在中,,点F在边上,且,点E为边上的动点,将沿直线翻折,点C落在点P处,则点P到边距离的最小值是_________.
三、解答题（共6小题）
16.如图,已知是直角坐标系平面上三点.
(1)把向右平移4个单位再向下平移1个单位,得到.画出平移后的图形,并写出点A的对应点的坐标;
(2)以原点O为位似中心,将的周长缩小为原来的一半,得到,请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形.
17.如图，在平行四边形中，F是边的中点，延长，与延长线相交于点E，连接.
（1）求证：；
（2）若平分，请判断并证明四边形的形状.
18.如图,在相对的两栋楼中间有一堵墙,甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙,视线如图1所示.根据实际情况画出平面图形如图2(),甲从点C可以看到点G处,乙从点E可以看到点D处,点B是的中点,墙高5.5米,米,米,求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差(结果精确到0.1米).
19.如图，已知四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交于点F，.
(1)求证:;
(2)若，求的值.
20.根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.
(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).
(ⅰ)各边成比例的两个凸四边形相似；(_________命题)
(ⅱ)三个角分别相等的两个凸四边形相似；(________命题)
(ⅲ)两个大小不同的正方形相似；(_________命题)
(2)如图①，在四边形ABCD和四边形中，，，.求证:四边形ABCD与四边形相似；
(3)如图②，四边形ABCD中，，AC与BD相交于点O，过点O作分别交AD，BC于点E，F.记四边形ABFE的面积为，四边形EFCD的面积为，若四边形与四边形EFCD相似，求的值.
21.问题提出
如图（1），在中，，D是AC的中点，延长BC至点E，使，延长ED交AB于点F，探究的值.
问题探究
（1）先将问题特殊化.如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
问题拓展
如图（3），在中，，D是AC的中点，G是边BC上一点，（），延长BC至点E，使，延长ED交AB于点F.直接写出的值（用含n的式子表示）.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设隧道的实际长度是,根据题意得,解得,.
2.答案：C
解析：都与垂直,
,
,
.
同理,
，
,故选C.
3.答案：B
解析：在中，D、E分别为线段BC、BA的中点，DE为的中位线，，，，，，即，故选：B.
4.答案：C
解析：,四边形是平行四边形,,,故选C.
5.答案：C
解析：由题意得，且，，即，.故选C.
6.答案：C
解析：设点B的坐标为.
和是以点E为位似中心的位似图形,
,
解得点B的坐标为(5,2).故选C.
7.答案：A
解析：由题意可知.
又,
，
,
，
米，
(米).
8.答案：B
解析：由折叠可知,
所以.
在中,因为,
所以,
所以.
又因为,
所以,
所以.
设,
则,
则,
取,可得,①
取,可得,②
①+②得,即,
由比例的基本性质可得.故选B.
9.答案：D
解析：由题意知，AB，CE，FH都垂直于地面AF，，，.，，.m，m， m， m，，（m），（m）.故选D.
10.答案：D
解析：如图,过点A作于点M,交于点N,延长交于点H.
,
.
.
,
,
,
.
∵四边形是正方形,
,
.
,
,
,
,
,
，
.
11.答案：(答案不唯一)
解析：,
，
∴当时,,
.
12.答案：
解析：如图，连接，，交点P就是位似中心，则由题意可知平移后点A的坐标是.
13.答案：78
解析：在中,于,点E,
.
又,
故,
.
,
.
14.答案：
解析：，
，
，
，
，解得.
15.答案：1.2
解析：如图,延长交于点M,当时,点P到的距离最小,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
∴点P到边距离的最小值是1.2.
16.答案：(1)(0,1)
(2)
解析：(1)如图所示,其中的坐标为(0,1).
(2)符合条件的有两个,如图所示.
17.答案：证明：（1）∵四边形是平行四边形，
且，
，点F是的中点，
（2）四边形为菱形.
理由如下：.
∴四边形为平行四边形.
∴四边形为菱形.
18.答案：20.7
解析：由题意可知.
又为公共角,
.
米,点B是的中点,
米.
米,米,
,
米.
又为公共角,
，
米,米.
答:甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米.
19.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明:∵四边形是平行四边形,
.
.
又.
(2)∵四边形是平行四边形,
,即,
，
,
,
∵四边形是平行四边形,,
,
,
,
,
即.
20.答案：(1)(ⅰ)假.(ⅱ)假.(ⅲ)真.
(2)证明:如图，连接BD，.
，且，
，
，，.
，，
，
，
，
，，，
，，
又，，，
四边形ABCD与四边形相似.
(3)四边形与四边形EFCD相似，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，.
21.答案：问题探究（1）
（2）证明见解析
问题拓展
解析：（2）证明：如图（1），取BC的中点H，连接DH.
是AC的中点，，.
，，.
，.
,
,
,.
,,
，即，
，故（1）中结论仍然成立.
另解1：证明，得也可求解.
另解2：取AB的中点M，证明也可以求解.
问题拓展如图（2），过点D作交BC于点M.
（2）设，则，.
点D为AC的中点，,
,
.
同（2）可证，
,
,.
,
,
,
.