高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——2.2基本不等式A（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
3．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．若，，且，则的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．(多选题)下列不等式不一定成立的是（ ）
A．x＋≥2 B．≥ C． D．2－3x－≥2
三、填空题
9．已知正实数x，y满足，则最小值为______．
10．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________.
11．已知，，则二元函数的最小值为___________.
12．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
四、解答题
13．已知.
（1）已知x＞0，求y的最小值；
（2）已知x＜0，求y的最大值．
14．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
15．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？
16．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】解：，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
2．C【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
3．A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
4．B【分析】由题可得，根据展开利用基本不等式可求.
【详解】，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
5．D【分析】平均速度等于总路程除以总时间
【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
，，，
∴，，
故选:D.
6．C【分析】依题意，利用基本不等式求出的最大值，即可得解；
【详解】解：因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；
故选：C
7．CD【分析】将展开利用基本不等式求得最小值，再结合选项即可得正确选项.
【详解】,
当且仅当即时等号成立，所以，
由选项可知的可能取值为，不可能为，
故选：CD.
8．AD【分析】取可判断A；由可判断B；由基本不等式可判断C；取可判断D.
【详解】对于选项A：当x<0时，，故A错误；
对于选项B：＝≥，故B正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：变形为，当x取正数时不成立，故D错误．
故选：AD.
9．9【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.
【详解】正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：.
10．【分析】先分离参数，再运用基本不等式可求解.
【详解】因为对任意，恒成立，只需满足，
因为，所以，当且仅当，即时取等号.
故实数的取值范围是.
故答案为：
11．【分析】直接利用不等式： 化简即可．
【详解】根据均值不等式：
所以有
当且仅当 时取等号．
【点睛】直接利用不等式：化简．属于中档题
12．【分析】由题得ab＝a＋b＋3≥2＋3，解不等式即得解.
【详解】∵a，b是正数，
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当且仅当a＝b＝3时等号成立)，
所以，
所以，
所以或，
所以ab≥9.
故答案为：
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．（1）2；（2）－2.【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可
（2）由于x＜0，所以先对式子变形，然后再利用基本不等式即可
【详解】（1）因为x＞0，所以，当且仅当，即x＝1时等号成立．
所以y的最小值为2.
（2）因为x＜0，所以－x＞0.所以，当且仅当，即x＝－1时等号成立．
所以y的最大值为－2.
【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题.
14．（1）；（2）1；（3）【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【详解】（1），
当且仅当，即时，取等号.
故所求的值为.
（2）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（3）
.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.
15．宽为，长为.【分析】作出图形，设场地一边长为，则另一边长为，求出新墙的总长度，利用基本不等式可求得新墙的总长度的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出结论.
【详解】如图，设场地一边长为，则另一边长为．
因此新墙总长度．
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当堆料场的宽为，长为时，可使砌墙所用的材料最省．
16．（1）证明见解析（2）证明见解析.【分析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．
【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
均不为，则，．
［方法二］：消元法
由得，则，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知，又，故结论得证．
方式2：因为，
所以
．
即，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法四］：
因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，
不妨设则.
［方法五］：利用函数的性质
方式1：，令，
二次函数对应的图像开口向下，又，所以，
判别式，无根，
所以，即．
方式2：设，
则有a，b，c三个零点，若，
则为R上的增函数，不可能有三个零点，
所以．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设，因为，所以，
则．故原不等式成立．
［方法二］：
不妨设，因为，所以，且
则关于x的方程有两根，其判别式，即．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．
【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．
答案第1页，共2页
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