高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——2.2基本不等式B（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
5．设实数满足，函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
6．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，设，，则下列说法正确的是（ ）
A．M有最小值，最小值为1 B．M有最大值，最大值为
C．N没有最小值 D．N有最大值，最大值为
三、填空题
9．函数取得最小值时的取值为__________．
10．若正数、满足，则的最小值为________.
11．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为8的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏（如图所示）.要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25.设三个宣传栏的面积之和为S（单位：），则S的最大值为___________.
12．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC的周长为8，，则该三角形面积的最大值为___________.
四、解答题
13．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？
（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？
14．已知正数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值．
15．已知关于一元二次不等式的解集为.
(1)求函数的最小值；
(2)求关于的一元二次不等式的解集.
16．正数x，y满足.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当，即时取等号.
所以的最大值为.
故选：C
2．B【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，可得，
则有，解得，
当且仅当，取到最小值.
故选：B.
3．C【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】因为，，由基本不等式可得，，
上述两个不等式当且仅当时成立，故ABD选项错误，C选项正确.
故选：C.
4．C【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
【详解】因为，，，所以，
∴，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.
故选：C
5．A【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：由题意，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
6．D【分析】令，则，由权方和不等式和基本不等式得，即可求解．
【详解】由得
因为，，则
令
则化为恒成立，
由权方和不等式得
当且仅当，得即时等号成立．
所以
故选：D
7．BCD【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于C：因为，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，故D正确；
故选：BCD
8．BC【解析】令，得，，利用的情况即可说明.
【详解】令，
，
，当且仅当，即时等号成立，，
故M有最大值，故B正确，
没有最大值，故M没有最小值，故A错误；
同理，故D错误，没有最小值，故C正确.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是变换形式，将转化为关于的式子求解.
9．【分析】将函数化为，根据“一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.
【详解】，当且仅当时取“=”.
故答案为：.
10．【分析】由可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】已知正数、满足，则，
所以，，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查了的妙用，考查计算能力，属于基础题.
11．【分析】根据题意设矩形展示区的长为，则宽为，进而结合题意得，再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：设矩形展示区的长为，则宽为，
因为该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏，要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以S的最大值为
故答案为：
12．【分析】计算得到，，，根据均值不等式得到，代入计算得到答案.
【详解】，，，，，
当时等号成立.
.
故答案为：.
13．（1）当时，取得最小值14；（2）当时，取得最大值36【解析】（1）设，，，然后利用基本不等式求得的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得的值.
（2）设，，，然后利用基本不等式求得的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得的值.
【详解】（1）设，，，由均值不等式，得，
当且仅当时，取等号．
由得，即当时，取得最小值14．
（2）设，，，由均值不等式，得．
当且仅当时，取等号．由得．即当时，取得最大值36.
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
14．（1）4；（2）25．【分析】（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（），展开后结合基本不等式即可求解；
（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求．
【详解】（1）因为a、b是正数，
所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．
（2）由
因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，
则，
当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，解不等式求出的取值范围，再利用基本不等式求的最小值；
（2）不等式化为，比较和的大小，即可得出不等式的解集.
(1)
因为关于一元二次不等式的解集为，
所以，化简可得：，解得：，
所以，
所以，
当且仅当即，的最小值为.
(2)
不等式，可化为，
因为，所以，
所以该不等式的解集为.
16．(1)36；(2)【分析】(1)由基本不等式可得，再求解即可；
(2)由，再求解即可.
【详解】解：(1)由得xy≥36，当且仅当，即时取等号，
故xy的最小值为36.
(2)由题意可得，
当且仅当，即时取等号，
故x＋2y的最小值为.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了拼凑法构造基本不等式，属中档题.
答案第1页，共2页
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