高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——第二章章末检测A（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．已知实数均为正数，满足，，则的最小值是
A．10 B．9 C． D．
6．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B． C． D．
7．下列命题正确的个数是（ ）
①
②若，，则；
③不等式成立的一个充分不必要条件是或；
④若、、是全不为0的实数，则“”是“不等式和解集相同”的充分不必要条件．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．下列四个不等式中，解集为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．已知函数（）有且只有一个零点，则（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为（），则
D．若不等式的解集为（），且，则
12．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”.
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的必要条件.
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
三、填空题
13．的最小值为__________.
14．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.
15．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC的周长为8，，则该三角形面积的最大值为___________.
16．设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________
四、解答题
17．已知，比较与的大小.
18．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
19．已知，．
（1）当时，求；
（2）当时，若，求实数a的取值范围．
20．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
21．解关于x的不等式．
22．请回答下列问题：
(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.
(2)求关于的不等式的解集.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】作差法即可比较大小.
【详解】，
故，当时，.
故选：C.
2．C【分析】根据不等式的性质即可求出．
【详解】因为，所以，即的取值范围是．
故选：C．
3．B【分析】利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出与的大小关系.
【详解】因为、是正实数，且，则，
，因此，.
故选：B.
4．B【分析】由题意可得，，进而利用基本不等式，即可得出结论．
【详解】由题意，，，
可得，，
当且仅当时等号成立，
所以此三角形面积的最大值为12．
故选：．
5．B【分析】利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值．
【详解】，，，，当且仅当时，取等号．
则，
当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
6．B【分析】原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得的范围．
【详解】解：依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为．
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．
7．B【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；
【详解】解：对于①，当，时，当且仅当时取等号，若、满足，显然，故①错误；
对于②，若，，则，故，故，故②正确；
对于③，使不等式，整理得，故或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故③正确；
对于④，不等式与的解集都为，但是，
若，则不等式与的解集不相同，
故若、、是全不为0的实数，则“”是
“不等式和解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．
故选：B．
8．B【分析】两次应用基本不等式可得最值，注意等号成立的条件是一致的．
【详解】解：因为，则，
当且仅当且时取等号，即时取等号，
此时取得最小值3．
故选：B．
【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，本题两次应用了基本不等式，应强调两次应用基本不等式时等号成立的条件必须相同，即等号同时取到．
9．BD【解析】由一元二次不等式的性质，结合各一元二次不等式的判别式、函数开口方向即可判断各选项是否为空集.
【详解】A选项，，所以的解集不可能为空集；
B选项，，而开口向上，所以解集为空集；
C选项，的解集为，所以不为空集；
D选项，当且仅当 a = 2时等号成立，而开口向下，所以为空集；
故选：BD
10．ABC【解析】根据不等式的性质和反比例函数单调性可确定正确；通过反例可知错误.
【详解】对于，在上单调递减，当时，，正确；
对于，当时，；当时，，则时，；
综上所述：若，则，正确；
对于，若，则，，，正确；
对于，若，则，，不满足，错误.
故选：.
【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.
11．ABD【解析】因为（）有且只有一个零点，故可得，即，
再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.
【详解】因为（）有且只有一个零点，
故可得，即，
对A：等价于，显然，故正确；
对B：，故正确；
对C：因为不等式的解集为，
故可得，故错误；
对D：因为不等式的解集为，且，
则方程的两根为，，
故可得，
故可得，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.
12．BD【分析】根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题判断A,B选项，根据充分条件，必要条件的定义判断C,D选项.
【详解】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误；
对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；
对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；
对于D选项，关于x的方程有一正一负根,所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D选项正确.
故选：BD
【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定，充要条件的判断，考查逻辑推理能力，是中档题.本题D选项解题的关键在于根据韦达定理和判别式得等价条件，进而解不等式求得讨论即可.
13．【解析】由，化简，再根据基本不等式，即可得解.
【详解】由，
可得：，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了化简计算能力，属于基础题.
14．【分析】根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.
【详解】第一次操作后，利下的纯药液为，
第二次操作后，利下的纯药液为，由题意可知：
，
因为，所以，
故答案为：
15．【分析】计算得到，，，根据均值不等式得到，代入计算得到答案.
【详解】，，，，，
当时等号成立.
.
故答案为：.
16．【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，求出的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论.
【详解】设，其图象为抛物线，
对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，
因为0为其中一个解可以求得，
又，所以或，
则不等式为和，
可分别求得和，
因为位整数，所以和，
所以全部不等式的整数解的和为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中根据题设条件确定出实数的值，求出相应的一元二次不等式的解集是解答关键，推理与运算能力.
17．【解析】利用作差法，将作差比较大小即可.
【详解】解：
.
∵，，
∴，当且仅当时，取等号，
∴.
【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，重点考查了运算能力，属基础题.
18．（1）；（2）1；（3）【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【详解】（1），
当且仅当，即时，取等号.
故所求的值为.
（2）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（3）
.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.
19．（1）；（2）.【分析】（1）解不等式求得集合，由并集定义可求得结果；
（2）由并集结果可确定，根据包含关系可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）由得：，则；
当时，由得：，则；
；
（2）若，则，
当时，，又，
则，解得：，实数的取值范围为.
20．（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.
又，所以.
所以宽的最大值为16米.
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
21．答案见解析.【分析】将原不等式转化为ax2＋(a－2)x－2≥0．根据二次函数开口方向和方程根的大小，分a＝0，a＞0，a＜0，a＜－2，－2＜a＜0五种情况讨论求解.
【详解】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1．
②当a＞0时，原不等式化为 (x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1．
③当a＜0时，原不等式化为 (x＋1)≤0．
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1．
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为或；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查含参一元二次不等式的解法，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22．(1)、
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）不等式为，即，讨论，，，，，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
（1）
解：因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得；
（2）
解：不等式，即，即，
当时，原不等式解集为；
当时，方程的根为，，
①当时，，原不等式的解集为或；
②当时，，原不等式的解集为；
③当时，，原不等式的解集为；
④当时，，原不等式的解集为．
答案第1页，共2页
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