高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——第二章章末检测B（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ）
A．25 B．50 C．20 D．
2．集合，，则等于（ ）
A．{，1，3} B．{1，3}
C．{0，1，2，3，4} D．
3．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知实数均为正数，满足，，则的最小值是
A．10 B．9 C． D．
6．已知，，，则的最小值为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．28
7．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
8．已知正实数，，若，，则的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若恒成立，则实数的取值范围为________.
10．设为常数，且，若不等式的解集是，则不等式的解集是__________.
11．已知，，且，则的最大值为____________．
12．已知全集,则的值为__________
三、解答题
13．某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶，若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满.若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余，设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.
14．用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
15．设函数
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值
16．已知不等式>0()．
（1）解这个关于 的不等式；
（2）若当 时不等式成立，求 的取值范围．
17．求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）若正数，满足，求的最小值.
18．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．
（1）求的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【分析】利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果.
【详解】由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50，
当且仅当m=n=±时等号成立.
所以mn的最大值是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用不等式m2+n2≥2mn求解是关键.
2．B【分析】根据交集的定义计算即可；
【详解】解：，，
．
故选：B．
3．B【分析】利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出与的大小关系.
【详解】因为、是正实数，且，则，
，因此，.
故选：B.
4．B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：B
5．B【分析】利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值．
【详解】，，，，当且仅当时，取等号．
则，
当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
6．C【分析】化简得到，变换，利用均值不等式得到答案.
【详解】因为，，，所以，
则，
当且仅当时，等号成立.
故选：.
【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换是解题的关键.
7．C【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知．
【详解】充分性：若，则2≤x≤3，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则，
∴，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C．
8．A【分析】可先对作变形处理，得，结合基本不等式进行放缩，可得，再进一步化简求值即可
【详解】由，得，化简得，解得，即的取值范围为，
故选A
【点睛】本题考查根据不等式求解参数取值范围问题，形如变形成这种式子，应作为解题模型之一，强化应试技巧
9．.【分析】根据命题恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由题意，命题恒成立，
可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
10．【分析】把不等式化为，求得或，即可求得不等式的解集.
【详解】因为 不等式的解集是，
所以不等式的解是或，
又不等式，可化为，
可得或，即或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
11．2【分析】根据基本不等式得，解之可求得答案．
【详解】因为，，且，所以，解得，当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．2【分析】要求a的值，需正确理解原集和补集的含义，由于参数a为未知数，此题应该进行分类讨论
【详解】由补集概念及集合中元素互异性知a应满足
分两种情况进行讨论：
在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去．
在B中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意．
答案为：2
【点睛】本题重点考查了集合的互异性，对于存在参数无法确定的元素，应根据分类讨论思想，按照集合中元素一一对应的关系来进行求解，在解出参数时，需将参数还原到集合中进行检验，排除不合理的答案
13．见解析【解析】根据已知写出满足的不等式组得解.
【详解】解：设A型号帐篷有x顶，则B型帐篷有顶，由题得
【点睛】本题主要考查不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
14．矩形的长、宽都为时，菜园的最大面积为.【分析】根据给定信息，设出矩形的长、宽，再建立与的关系，借助均值不等式求解作答.
【详解】设矩形菜园的长为，宽为，则，即，矩形菜园的面积为，
而，由，可得，当且仅当时取“=”，
所以，这个矩形的长、宽都为时，菜园的面积最大，最大面积为.
15．（1）；（2）9．【分析】（1）由不等式的解集．，3是方程的两根，由根与系数的关系可求，值；
（2）由，将所求变形为展开，整理为基本不等式的形式求最小值．
【详解】解析：（1）∵不等式ax2＋bx＋3>0的解集为(－1，3)，∴－1和3是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，
从而有 解得．
（2）∵a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝ (a＋b)= 5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值为9．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，运用基本不等式求最值，属于中档题．
16．（1）答案见解析；（2） ．【分析】（1）根据同号得正异号得负，转化为 ，讨论二次项系数，解出不等式的解集；
（2）根据不等式成立，得到关于 的不等式，求出 的范围.
【详解】解（1）原不等式等价于．
①当 时，由 ，得．
②当 时，不等式可化为 ，
解得 或 ．
③当 时，不等式可化为．
若 ，即 ，则 ；
若，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若，即a<－1，则．
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 ．
（2）∵当 时不等式成立，
∴ ，则 ，
∴ ，即 的取值范围为 ．
17．（1）；（2）5.【分析】（1）化为，再根据基本不等式可求出结果；
（2）化为，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】（1），当且仅当即时等号成立，
故函数的最小值为.
（2）由得，
则，
当且仅当,即，时等号成立，
故的最小值为5.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
18．（1）．（2）.最小值【分析】(1)根据是二次函数，且的解集是可设出的零点式,再根据在区间上的最大值在对称轴处取得为12即可算出对应的参数.
(2)由(1)求得后改写成顶点式,再根据对称轴与区间的位置关系,分情况进行讨论即可.
【详解】（1）是二次函数，且的解集是，
∴可设，
可得在区间在区间上函数是减函数，区间上函数是增函数．
∵，，，
∴在区间上的最大值是，得．
因此，函数的表达式为．
（2）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为，
①当时，即时，在上单调递减，
此时的最小值；
②当时，在上单调递增，
此时的最小值；
③当时，函数在对称轴处取得最小值，
此时，，
综上所述，得的表达式为，
当，取最小值
【点睛】本题主要考查二次函数的性质.遇到含参数的最值问题时,注意讨论对称轴与区间的位置关系,分别为对称轴在区间左侧,右侧与对称轴在区间内即可.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页