高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——3.2.1单调性与最大（小）值A（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
2．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．， B．，1 C．， D．1，
3．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数在上的最小值和最大值分别是（ ）
A． B． C． D．，无最大值
5．函数f(x)=在（ ）
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
6．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是上的增函数，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知函数在上单调递增，若，则满足的实数的取值范围是______
10．二次函数的最大值是，则_______.
11．已知函数，则不等式的解集为____________ ．
12．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题
13．判断函数的单调性,并证明.
14．设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
15．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.已知每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
16．定义在上的函数满足：①；②当时，；③对任意实数，都有.
（1）证明：当时，；
（2）判断在上的单调性；
（3）解不等式.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【解析】先判断出函数在单调递减，即可求出最大值.
【详解】在单调递减，
.
故选：C.
2．D【分析】根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
3．B【分析】首先求出函数的定义域，再将函数改写成分段函数，最后根据函数在上的单调性判断即可；
【详解】解：因为，所以定义域为，所以，当时，因为与在上单调递增，所以函数在定义域上单调递增，故排除A、C、D，
故选：B
4．A【分析】配方得对称轴，得函数的单调性后可得最值．
【详解】由题意知，函数的对称轴为，
在上，为减函数，在上，为增函数，
故当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为.
故选：A.
【点睛】本题考查求二次函数的最值，可求得函数图象的对称轴，得函数单调性，再求最值．
5．C【分析】分离函数得f(x)=-1，结合函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移即可判断.
【详解】f(x)的定义域为{x|x≠1}.
f(x)==-1=-1，
因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，
f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.
故选：C.
6．A【分析】分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围．
【详解】解：因为，所以，
当时，的最小值为；
当时，，，
由知，，
所以此时，其最小值为；
同理，当，时，，其最小值为；
当，时，的最小值为；
作出如简图，
因为，
要使，
则有．
解得或，
要使对任意，都有，
则实数的取值范围是．
故选：A．
7．AB【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数的单调性即可判断.
【详解】解：因为一次函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以选项A正确；
因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，所以选项B正确；
因为反比例函数在和上单调递减，所以选项C错误；
因为指数函数在上单调递减，所以选项D错误；
故选：AB.
8．BD【解析】由二次函数的性质及分段函数的单调性即可得，即可得解.
【详解】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为，
因为函数是上的增函数，
所以，解得.
所以实数的取值可以是，.
故选：BD.
9．【分析】由题意可得，再根据单调性去掉，解不等式即可.
【详解】因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，可得，
所以满足的实数的取值范围是，
故答案为：.
10．【分析】根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，由此可求得实数的值.
【详解】根据题意，二次函数的最大值是，则，解得.
故答案为：.
11．【分析】由的单调性可得结果.
【详解】因为是上的增函数，所以.
故答案为：.
12．【分析】去绝对值将转化为分段函数，求出其最大值，即可.
【详解】因为，不等式恒成立，则，
，
作出函数的图象如图：
由图知：的最大值为，
所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
13．增函数,见解析.【解析】令，利用单调性定义可证为增函数.
【详解】这个函数是增函数，证明如下:函数的定义域为.
任取且，则，，
又.
所以这个函数是增函数.
【点睛】本题考查函数单调性的证明，证明的基本步骤为取点、作差、定号，最后给出结论，定号时需将差分子有理化，以便于定号，本题考查了学生的推理论证能力，本题属于基础题.
14．(1)
(2)
【分析】根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；
（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.
（1）
解：依题意，解得，所以；
（2）
解：由（1）可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
即、，所以.
15．（1）88辆车；（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.【分析】（1）根据每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆可求出结果；
（2）根据题意求出租赁公司的月收益关于每辆车的月租金的函数解析式，再根据二次函数知识可求出结果.
【详解】（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益（单位：元）
，
整理得.
所以当时，最大，其最大值为.
所以当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
16．（1）证明见解析；（2）在上是增函数；（3）.【分析】（1）赋值法可直接求出结果；
（2）利用单调性得定义即可判断；
（3）根据题意原不等式等价于，然后利用函数得单调性解不等式即可.
【详解】（1）令，则，又，所以.
当时，，在中，令，
则，所以，又因为时，，故.
（2）设，且，则，所以且.
于是，故在上是增函数.
（3）由题意知，所以原不等式等价于.
由（2），在上是增函数得到，，，故此不等式的解集是.
答案第1页，共2页
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