高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——3.2.2奇偶性A（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
2．若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
3．函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
4．偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的图象关于直线对称
C．是奇函数 D．的图象关于点对称
二、多选题
7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
8．已知不恒为0的函数满足对任意，则（ ）
A．
B．
C．为奇函数
D．若当时，，则当时，
三、填空题
9．已知函数（）是偶函数，则实数_____.
10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， __________.
11．已知偶函数在上单调递增，且1是它的一个零点，则不等式的解集为______．
12．若函数的图像关于原点成中心对称，则实数a的值为______．
四、解答题
13．已知是定义在上的偶函数，且时，．
(1)求函数的表达式；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性．
14．已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)判断并证明在的单调性.
15．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
16．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对上，都有成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
2．C【解析】根据函数是定义在上的奇函数，可得，再根据周期为4，即可得到答案；
【详解】解：根据题意，若是定义在上的奇函数，则，
又由，则有，
则，
故选：C.
3．D【分析】化简函数解析式，利用解析式即可判断函数图像.
【详解】根据题意，的定义域为，排除C选项;
，，是奇函数，排除A、B选项；
又，的图像是选项D中的图像.
故选：D
4．B【分析】由题知在单调递减，在单调递增，由，得，计算得解.
【详解】偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，所以在单调递减，在单调递增，因为，所以，所以，化简得，又因为a为正实数，所以.
故选：B.
5．B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
6．C【分析】由周期函数的概念易知函数的周期为2，根据图象平移可得的图象关于点对称，进而可得奇偶性.
【详解】由可得2是函数的周期，
因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
所以，，所以是奇函数，
故选：C.
7．BC【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断.
【详解】对于A项，函数是奇函数，但是在或上单调递减，
在定义域上不具有单调性，故A项错误；
对于B项，函数可化为其图象如图：
故既是奇函数又是减函数，故B项正确；
对于C项，函数既是奇函数又是减函数，正确；
对于D项，是偶函数，故D项错误.
故选：BC.
8．AD【分析】令求得，再令求得，判断AB，令，，推理后判断C，令得出关系式，然后由D中条件推理判断D．
【详解】令得，，A正确；
再令得，，，B错；
令，，则，是偶函数，C错；
对选项D，令，则，
所以，
当时，，，所以，D正确．
故选：AD
9．2【分析】因为函数（）是偶函数，则其对称轴为y轴，且，再由二次函数的对称轴构建方程即可求得答案.
【详解】因为函数（）是偶函数，则其对称轴为y轴，且
又因为该二次函数的对称轴为，所以，故.
故答案为：2
【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题.
10．【解析】根据奇函数的定义，即可求解.
【详解】当时，，
是奇函数，，
.
故答案为:
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性，求函数的解析式，属于基础题.
11．【解析】根据零点的定义，结合偶函数的性质进行求解即可.
【详解】因为1是函数的一个零点，所以，
因为函数是偶函数，所以，
所以由，可得，
又因为函数在上单调递增，
所以有，解得.
故答案为：
12．##【分析】由已知得，可求得a的值，再代入验证即可.
【详解】解：令，因为函数的图像关于原点成中心对称，所以，即，解得，
当时，，，满足图像关于原点成中心对称，
则实数a的值为，
故答案为：.
13．(1)
(2)单调减函数，证明见解析
【分析】（1）设，则，根据是偶函数，可知，然后分两段写出函数解析式即可；
（2）利用函数单调性的定义，即可判断函数的单调性，并可证明结果．
（1）
解：设，则，，
因为函数为偶函数，所以，即，
所以．
（2）
解：设，，
∵，∴，，
∴，∴在为单调减函数．
14．(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减，证明过程见解析.(1)
【分析】（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；
（2）根据函数的单调性的定义进行判断证明即可.
（1）
因为是奇函数，所以，
因为，所以是奇函数，因此；
（2）
在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
设是上的任意两个实数，且，
，
当时，
，
所以在上单调递增，
当时，
，
所以在上单调递减.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；
（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.
（1）
设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
（2）
作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
16．（1），；（2）函数在上是增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）利用和即可求得和的值；
（2）利用用定义证明单调性的步骤，取值、作差、定号、下结论即可证明；
（3）由奇函数可得，利用单调性脱掉转化为不等式组即可求解.
【详解】（1）因为，函数是定义在上的奇函数 ，
所以得，
又因为，所以，
（2）由（1）可知，设
所以
=
因为，所以，
所以，，即，
所以，函数在上是增函数
（3）由（2）可知函数在上是增函数，且是奇函数
要使“对上，都有成立”
即
则 不等式组对恒成立，
所以对恒成立，
所以
因为，所以，
，所以，
，所以，
所以，
所以实数的取值范围是.
答案第1页，共2页
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