高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——3.2.2奇偶性B（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
2．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．( D．
6．定义在上的奇函数满足且在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有（ ）
A．(-1，1) B．(0，2)
C．(-2，0) D．(2，4)
8．若函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（　　）
A．m＝1 B．m＝2 C．fmin（x）＝2 D．fmax（x）＝6
三、填空题
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.
10．已知函数是奇函数，则_____．
11．定义：对于函数，若定义域内存在实数满足：，则称为“局部奇函数”．若是定义在区间上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是________．
12．函数是定义在上的奇函数，当时，，则______．
四、解答题
13．已知函数，且.
(1)求实数的值并判断该函数的奇偶性；
(2)判断函数在（1，+∞）上的单调性并证明.
14．已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)判断并证明在的单调性.
15．若函数对任意实数x y都有，则称其为“保积函数”.
（1）请写出两个“保积函数”的函数解析式；
（2）若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明；
（3）对于（2）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集.
16．已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
2．C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
3．B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
4．D【分析】分析可知函数在上为增函数，且有，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数是偶函数且在上单调递减，则该函数在上为增函数，
且，
由可得，
所以，，可得或，解得或.
因此，不等式的解集为.
故选：D.
5．C【分析】根据奇偶性求分段函数的解析式，然后作出函数图象，根据单调性解不等式即可.
【详解】因为当时，，且函数是定义在上的奇函数，
所以时，，
所以，作出函数图象：
所以函数是上的单调递增，
又因为不等式，所以，即，
故选：C.
6．B【分析】根据条件及函数奇偶性，可得函数周期性，然后利用函数的周期性，奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可.
【详解】解：
，
即函数的周期是8，
则，
，
，
为奇函数，且在上是增函数，
则在上是增函数，
，
即.
故选：B.
7．CD【分析】由偶函数的性质以及f(-2)=f（2）=0画出函数f(x)的草图，由xf(x)<0 或，结合图象得出解集.
【详解】根据题意，偶函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(-2)=0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(-2)=f（2）=0，函数f(x)的草图如图
又由xf(x)<0 或
由图可得-22
即不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞).
故选：CD
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由偶函数的性质画出函数f(x)的草图，由图象得出解集.
8．BCD【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12），分析可得m的值，结合二次函数的性质分析可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数，
则有f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）
必有m﹣2＝0，即m＝2，
则f（x）＝x2+2，为开口向上的二次函数，对称轴为
当﹣1≤x≤2时，其最小值为f（0）＝2，最大值f（2）＝6，
故选：BCD
9．12【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.
【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，
.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.
10．2【分析】利用奇函数的定义，求出时的表达式即可作答.
【详解】当时，，，
又为奇函数，，而当时，，
所以．
故答案为：2
11．【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数是定义在上的“局部奇函数”，只需解决方程有解即可．
【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：
若函数是的“局部奇函数”，
则方程有解，即有解；
变形可得，
即有解即可.
设，，易知为偶函数且在上单调递增，
所以可得，所以有解时，．
故答案为：．
12．11【分析】根据奇函数性质求出函数的解析式，然后逐层代入即可.
【详解】，，当时，，
即，
，，．
故答案为：11.
13．(1)，函数为奇函数
(2)在上是增函数，证明见解析
【分析】（1）根据，代入函数解析即可求解；
（2）利用函数单调性的定义证明即可.
(1)
∵，且，
∴；
所以，定义域为关于原点对称，
∵，
∴函数为奇函数.
(2)
函数在上是增函数，
证明：任取，设，则
∵，且，
∴，
∴，即，
∴在上是增函数.
14．(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减，证明过程见解析.(1)
【分析】（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；
（2）根据函数的单调性的定义进行判断证明即可.
（1）
因为是奇函数，所以，
因为，所以是奇函数，因此；
（2）
在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
设是上的任意两个实数，且，
，
当时，
，
所以在上单调递增，
当时，
，
所以在上单调递减.
15．（1），(答案不唯一)﹔（2）偶函数，证明见解析；（3）.【解析】（1）根据“保积函数”的定义写出两个函数即可；
（2）利用赋值法令，代入即可证明；
（3）先证明当时，利用“保积函数”的定义可得，再证明在在是单调递增函数且是偶函数，即可脱掉得即可求解.
【详解】（1）若，则，，可得符合
“保积函数”的定义，
若，则，，可得符合
“保积函数”的定义，
所以两个“保积函数”的函数解析式可以是，(答案不唯一)﹔
（2）函数是偶函数，
令，则对任意实数x y都成立，
所以“保积函数”满足，则是偶函数；
（3），
因为
所以，
设任意的，则，
所以，
所以，
所以在是单调递增函数且是偶函数，
所以不等式等价于，
可得，解得，
所以不等式的解集为
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数在证明奇偶性和求函数值是通常采用赋值法，证明单调性通常需要利用单调性的定义结合奇偶性构造出与可以比较大小的形式.
16．（1）偶函数，证明见解析；（2）在上单调递增，证明见解析.【解析】（1）取结合得出，再由证明函数的奇偶性；
（2）由奇偶性得出，再由函数单调性的定义结合证明函数在上的单调性.
【详解】解：（1）依题意，.
∴
∴，
又因为的定义域为，所以函数为偶函数.
（2）由④知，
，
∵，，，∴，
∴
即在上单调递增.
【点睛】关键点睛：在证明奇偶性时关键是利用求出，再由定义证明函数为偶函数；在证明单调性时，关键是由，结合，证明在上单调递增.
答案第1页，共2页
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