高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——3.3幂函数B（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且
3．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
6．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（　 ）
A． B．恒过定点
C．若时，关于轴对称 D．若时，
8．若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为R上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
三、填空题
9．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
10．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
11．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
12．若，且函数与的图象恰有两个交点，则满足条件的不同集合有________个
四、解答题
13．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上函数值随着x的增大而减小.
（1）求m值.
（2）若满足，求a的取值范围.
14．已知函数是图象经过点的幂函数，函数是定义域为的奇函数，且当时，.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求当时函数的解析式，并在给定的坐标系中画出（）的图象
（Ⅲ）写出函数（）的单调区间.
15．已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
16．已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
故选：B
2．C【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，
故选：C.
3．C【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标求得参数即得函数解析式后可得函数值．
【详解】设，由题意，，，．
故选：C．
4．C【分析】分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.
【详解】由题意得，，故；
，
因，根据对勾函数得，因此；
由勾股数可知，又因且，故；
因此.
故选：C.
【点睛】指数式、对数式的大小比较，常利用函数的单调性或中间值进行比较，要根据具体式子的特点，选择恰当的函数，有时还需要借助幂函数比较.对于比较的式子，要先化简转化，再比较大小.
5．C【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，
所以，解得，或.
故的取值范围为.
故选：C.
6．C【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
7．ABC【分析】根据为幂函数，可求得a值，即可判断A的正误；根据幂函数性质，可判断B的正误；当时，根据偶函数的定义及性质，可判断C的正误；根据m的范围，可得范围，根据幂函数的性质，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得，故A正确；
则，故恒过定点，故B正确；
当时，，，
所以为偶函数，则关于轴对称，故C正确；
当时，，则在上为增函数，
所以，故D错误.
故选：ABC
8．ABD【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.
【详解】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；
对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；
对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．
故选：ABD．
9．【分析】先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.
【详解】由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
故答案为：
11．【分析】根据题意得，再根据函数图象平移与幂函数的单调性即可求解.
【详解】解：根据题意得，
所以函数的图象向左平移两个单位得到函数图像，再将函数的图象向上平移个单位即可得到函数的图像，
因为函数在上单调递减时，，即.
所以函数平移后函数在区间上单调递减，
所以.
故实数的取值范围是
故答案为：
12．4【分析】列举出所有两个不同函数的交点个数，筛选出符合题意的函数即可得结果.
【详解】图象与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点；
图象与、、的图象有1个、1个，1个交点；
图象与、的图象有2个、2个交点；
图象与的图象有3个交点，
综上可得，满足函数与的图象恰有两个交点的集合有4个：
，
故答案为：4
【点睛】本题主要考查幂函数的图象与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
13．（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知为负偶数，且，即可求得m值；
（2）将所求不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为函数在上单调递减，
所以，
解得.
又因为，所以，；
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，故.
（2）由（1）可知，，所以得，解得或，
即a的取值范围为.
14．（1）；（2）当时，；在上的图象见解析；（3）的单调递增区间为和，递减区间为【分析】（1）设出幂函数的解析式，把点代入即可求出函数解析式；
（2）利用奇函数的性质可以直接写出当时，的解析式，并画出图像；
（3）利用的图象写出单调区间即可
【详解】（1）设，
则
（2），
当时
设则，
是上的奇函数
即当时，
图象如下图所示：
（3）由在上的图象可知：
的单调递增区间为和，递减区间为
15．(1)；
(2).
【分析】（1）解方程再检验即得解；
（2）令，再求函数的值域即得解.
（1）
解：由题得或.
当时，在上为增函数，符合题意；
当时，在上为减函数，不符合题意.
综上所述.
（2）
解：由题得，
令，
抛物线的对称轴为，所以.
所以函数的值域为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于轴对称进行求值；
（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解.
（1）
解：因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，
又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；
综上所述，.
（2）
解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，
即，即，解得，
所以满足的实数的取值范围为.
答案第1页，共2页
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