高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——3.4函数的应用（一）B（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）＝（ ）
A． B．4 C． D．
2．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（ ）
A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤
3．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在R上为单调增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
8．符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数是增函数
C．方程有无数个实数根 D．的最大值为1，最小值为0
三、填空题
9．某小区有居民1000户，去年12月份总用水量为8000吨．今年开展节约用水活动，有800户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水x吨，使得今年1月份该小区居民用水总量低于6000吨．则x满足的关系式为________．
10．已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为______.
11．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如表：
2019年1月1日后个人所得税税率表
全月应纳税所得额 税率（%）
不超过3000元的部分 3
超过3000元至12000元的部分 10
超过12000元至25000元的部分 20
超过25000元至35000元的部分 25
个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是_____元.
12．2018年“平安夜”前后，某水果超市从12月15日至1月5日（共计22天，12月15日为第1天，12月16日为第2天，…，1月5日为第22天），某种苹果的销售量y千克随时间第x天变化的函数图象如图所示，则该超市在12月20日卖出了这种苹果_____千克.
四、解答题
13．某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
(2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
14．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
15．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.
（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大 并求出最大利润.
16．某学习小组在暑期社会实践中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数），该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天）
（个）
已知第天该商品日销售收入为元.
(1)求的值；
(2)给出以下两种函数模型：①，②.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
17．求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D【解析】利用待定系数法求出函数的解析式，再代入求值即可.
【详解】设f（x）＝xa，因为幂函数图象过（4，2），
则有2 ，∴a，即，
∴f（2）
故选：D
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，考查了求函数值，属于基础题.
2．C【解析】设总共持金斤,再根据题意列式求解即可.
【详解】设总共持金斤,再根据过5关后剩 斤列式计算即可.
由题得.
即
故选：C
【点睛】本题主要考查了方程列式求解的方法,属于基础题型.
3．C【解析】根据条件需满足，，对称轴即可求出m的取值范围.
【详解】关于x的一元二次方程的两根均大于2，
则,
解得.
故选：C.
【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布，属于基础题.
4．D【解析】由已知得出函数的单调性，利用其单调性建立不等式组，可得选项.
【详解】∵函数在上单调递减，在上为常数1，
所以由得，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数的不等式求解问题，关键在于得出分段函数的单调性，属于中档题.
5．D【分析】根据各段函数单调性以及结合点处函数值大小列方程组，解得结果.
【详解】因为函数在R上为单调增函数，
所以
故选：D
【点睛】本题考查分段函数单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.
6．C【解析】先利用导数判断出函数在区间上为增函数，再解不等式，，即得解.
【详解】由题得在区间上恒成立，
所以函数在区间上为增函数，
所以，，
可得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．BC【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
8．AC【分析】作出函数的图象，结合函数的图象对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可．
【详解】作出的图象如图：
对于A，由题意可知，所以A正确；
对于B，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，函数在定义域上是周期函数，不是增函数，所以B错误；
对于C，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程有无数个根，所以C正确；
对于D，由图可知，函数无最大值，最小值为0，所以D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是画出函数的图象，意在考查学生数形结合的数学思想的运用. 函数的图象是研究函数的一个重要手段，要在解题中灵活运用.
9．x【解析】由已知求出1户居民去年12月份的用水量，然后求出今年1月份该小区居民用水总量，再由题意可得（8﹣x）×800+8×200＜6000，化简得答案．
【详解】1000户居民去年12月份总用水量为8000吨，
则1户居民去年12月份的用水量为8吨．
1户居民安装了节水龙头后一个月的用水量为（8﹣x）吨，
则今年1月份该小区居民用水总量为（8﹣x）×800+8×200．
∴（8﹣x）×800+8×200＜6000，解得x．
∴x满足的关系式为x．
故答案为：x．
【点睛】本题考查一次函数模型的应用，属简单题，只需认真理解题意即可.
10．1【解析】根据定义得到，然后利用分段函数的性质求解.
【详解】由题意得：，
当或时，，
当时，，
综上：函数的最小值为1，
故答案为：1
11．9720【分析】按题意从最低纳税额开始计算最高纳税，同时考虑到专项附加扣除后可得．
【详解】设他的工资是元，
工资是8000元时纳税为，由于他有专项附加扣1000元，因此他工资是9000元时，纳税90元，，，纳税后收入为9900－180＝9720（元）．
故答案为：9720．
【点睛】本题考查函数的应用，解题时根据分段函数的意义分段计算纳税额即可得．解题关键是正确理解题意，弄懂工资收入与纳税额之间的关系．
12．21.【分析】计算得到直线方程为，当时计算得到答案.
【详解】当时，设直线方程为，
将点，代入直线解得 ，故
当时，
故答案为：
【点睛】本题考查了根据图像求解析式，意在考查学生的应用能力.
13．(1)
(2)
(3)元
【分析】（1）根据实际出厂单价恰好为元列出求解；
（2）根据题意求分段函数解析式；
（3）根据利润公式及分段函数入代求解即可.
(1)
解：设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个，
则.
(2)
当时，；
当时，；
当时，.
(3)
设工厂获得的利润为元，则，
即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元.
14．（1）；（2）分钟.【分析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；
(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.
【详解】（1）由题意知，（k为常数），
因，则，
所以；
（2）由得，
即，
①当时，，当且仅当等号成立；
②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
15．（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.
（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.
【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.
所以，
解得，
当时， ，
当时， .
所以
（2）①当时， ，所以；
②当时， ，由于，
当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.
综合①②知，当，取得最大值为6104万美元.
【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
(1)；
(2)；
(3)．
【分析】小问1：由第10天该商品的日销售收入为，求解的值；
小问2：由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②，再由，，联立关于的方程组，求出的值，从而可求出函数解析式；
小问3：分段写出，得到，再由函数的单调性分段求出最小值即可.
(1)
依题意知第10天该商品的日销售收入为
，解得；
(2)
由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②.
，，可得，解得：
；
(3)
由（2）知
∴
当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增，
所以当时，取得最小值，且；
当时，是单调递减的，所以当时，取得最小值，且，
综上所述，当时，取得最小值，且．
故该商品的日销售收入的最小值为121元．
答案第1页，共2页
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