高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——第二章章末检测A（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，则等于（ ）
A．1 B．0 C．2 D．-1
3．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数f(x)=1-的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
6．我们把形如的函数称为“囧函数”，因其函数图像类似于汉字“囧”字，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．与命题“函数的定义域为”等价的命题不是（ ）
A．不等式对任意实数恒成立
B．不存在，使
C．函数的值域是的子集
D．函数的最小值大于0
8．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数的值域是，则函数的值域为
B．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
C．若，则
D．函数的定义域是，则函数的定义域为
10．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象过原点 B．是奇函数
C．在区间上单调递减 D．是定义域上的增函数
11．已知定义在R上的函数满足，且函数为偶函数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．的图像关于直线对称
C．为奇函数 D．为偶函数
12．若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
三、填空题
13．已知函数的对应关系如表，函数的图象如图所示的曲线，其中，，，则的值为______．
1 2 3
2 3 2
14．已知定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围为___________.
15．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系．已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是 _____________ ；
16．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______
四、解答题
17．某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润.
18．已知函数，且．
（1）求m；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．
19．已知函数，，．
（1）在图中画出函数，的图象；
（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
20．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数，k∈R．
(1)若为偶函数，求k的值；
(2)若有且仅有一个零点，求k的取值范围；
(3)求在区间[0,2]上的最大值．
22．已知函数.
（1）当时，求的单调增区间；
（2）判断的奇偶性，并证明；
（3）当时，的最大值为，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A【分析】由基本函数的性质逐个分析判断
【详解】解：对于A，是过原点，经过一、三象限的一条直线，在上为增函数，所以A正确，
对于B，是一次函数，且，所以上为减函数，所以B错误，
对于C，是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在上是减函数，所以C错误，
对于D，是二次函数，对称轴为轴，开口向下的抛物线，在上是减函数，所以D错误，
故选：A
2．C【分析】根据函数解析式，先求，再根据其值大小球即可.
【详解】 故，.
故选：C.
【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，属简单题.
3．C【分析】结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【详解】义在R上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上单调递减，且，
或，
故或，
故选：C
4．A【分析】利用反比例型函数值域求法求解.
【详解】解：函数f(x)=1-的定义域为，
所以，则，
所以函数f(x)=1-的值域为，
故选：A
5．A【分析】首先计算，由此将题目所给已知条件，转化为，再利用导数求得函数是减函数，由此得到，解不等式可求得的取值范围.
【详解】因为，所以，所以对任意的均成立，因此不等式，即，因为恒成立，所以在上单调递减，
所以由可得，即，故选A．
【点睛】本小题主要考查函数不等式，考查利用导数判断函数的单调性，以及化归与转化的数学思想方法.通过观察可以发现，这个部分是一个奇函数，由此可以想到是一个常数，通过计算出这个常数，和题目所给的不等式中的常数恰好吻合，这是本题的突破口.
6．B【分析】根据题意，求得“囧点”坐标，当“囧圆”与在x轴上方曲线相切时，可得圆心到函数图象的最小距离，进而可求得“囧圆”的面积，当“囧圆”与图象的下支相切时，可得切点坐标，即可求得“囧圆”的面积，分析即可得答案.
【详解】当时，，
令，解得，则“囧点”为，作出图象，如下图所示：
当“囧圆”与在x轴上方曲线相切时，不妨设在第一象限的切点为，
则其到“囧点”的距离
=，
当，即时，解得或（舍），
所以当时，，此时 “囧圆”的面积，
当“囧圆”与图象的下支相切时，且切点为，
此时半径，此时 “囧圆”的面积，
所以所有的“囧圆”中，面积的最小值为.
故选：B
【点睛】解题的关键是理解题意，通过“囧函数”、 “囧点”、 “囧圆”的定义，考查函数图象与性质、圆的性质等知识，遇到新定义问题时，需耐心读题，分析特点，按照新定义所给信息进行分析，计算，属中档题.
7．D【分析】利用等价命题的定义进行分析判断即可.
【详解】因为函数的定义域为，
不等式对任意实数恒成立；
不存在，使；
函数的值域是的子集；
函数的最小值大于等于；
故选：D.
8．B【分析】在原等式中把与互换后用解方程组的方法求得．
【详解】∵，①，
∴，②
①②联立方程组可解得（）．
故选：B．
【点睛】本题考查求函数解析式，解题方法是方程组法．
9．BCD【分析】根据函数的性质，以及集合的性质，逐项判断，即可得出结果；
【详解】由与的值域相同知，A错误；
设，且，是关于原点对称的区间，则既是奇函数又是偶函数，由于有无数个，故有无数个，即B正确；
由得，，从而，即C正确；
由得，即函数的定义域为，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题主要考查函数概念及性质的应用，以及集合交集与并集的性质，属于基础题型.
10．AC【分析】作出的图像，根据图像逐一判断即可.
【详解】解：，
将的图像向右平移一个单位，然后向上平移1个单位即可得到，图像如下：
观察图像可得A,C正确，
故选:AC.
【点睛】思路点睛：本题考查函数的性质的判断，如果能画出函数图像，根据图像观察则快速而准确.
11．ABC【分析】由函数的等量关系可得、判断A、B的正误，进而判断的奇偶性.
【详解】由，知：，A正确；
由，知：，即的图像关于直线对称，B正确；
由上知：，即为奇函数，C正确，D错误.
故选：ABC
12．BC【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】函数的图象如图所示：
因为函数在上的值域为，结合图象可得，
结合a是正整数，所以BC正确.
故选： BC.
13．1【分析】由函数的对应关系求出的值，结合的图象可得的值．
【详解】解：根据题意，由的表格可得：，则，
故答案为：1．
【点睛】本题考查根据函数的图象和函数列表法表示，求函数值，考查运算求解能力，属于基础题.
14．.【分析】由题意，得到，且在区间上单调递减，在区间为单调递减函数，把，转化为，结合单调性，即可求解.
【详解】因为函数是上的奇函数，所以，
又由在区间上单调递减，所以在区间也是单调递减函数，
又因为不等式，即，
即，
可得，即，解得，
即实数m的取值范围为.
15．50辆【分析】根据题意，先求摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足的二次函数，将题目条件转化为关于x的不等式，解不等式即可解得答案．
【详解】由题意，设摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数,又，故，则，解得，
故答案为50辆
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查二次不等式求解，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．【分析】利用基本不等式求出的最小值，解不等式求出实数的取值范围.
【详解】因为，，所以，，所以，.
要使恒成立，只需恒成立.
因为，所以，
所以
.
当且仅当，即时取等号.
所以，解得：.
即实数的取值范围是.
17．（1）3≤x≤10；（2）x＝6时，最大利润610万元.【分析】（1）由题意直接列不等式求解即可；
（2）生产120千克该产品所用时间为小时，而每小时可获得的利润是万元，从而可得获得的利润为万元，然后整理换元可求出其最大值.
【详解】（1）由题意可知，2≥30.
所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，
所以或.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
（2）易知获得的利润，x∈[1，10]，
令，则y＝120(－3t2＋t＋5).
当，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元.
【点睛】此题考查了利用函数解决实际问题，考查分析问题的能力，属于基础题.
18．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.【分析】（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】（1）根据题意，函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知，其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以是奇函数；
（3）在上是单调递增函数．
证明如下：
设，则，
因为，
所以，，则，即，
所以在上是单调递增函数．
19．（1）图象见解析；（2）；图象见解析.【分析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；
（2）根据定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.
【详解】（1），的图象如下图所示：
（2）当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述：.
图象如下图所示：
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；
（2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围．
(1)
因为函数为定义域上的奇函数，所以，
当时，，所以，
因为是奇函数，所以，
所以，
所以
(2)
作出在区间上的图象，如图：
可得函数在上为减函数，所以的最小值为，
要使对所有，恒成立，
即对所有恒成立，
令，，
则，即，
可得：，
所以实数的取值范围是.
21．(1)；
(2)；
(3)当时最大值为；当时最大值为0.
【分析】（1）由为偶函数有，即可求k的值；
（2）由题意有且仅有一个解，显然x＝1是该方程的解．则(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且(x＜1)无解，从而求得实数k的取值范围；
（3）当x∈[0,2]时求出的分段函数的形式，其最大值只可能是其中之一，再由，可得函数的最大值．
(1)
∵为偶函数，
∴，即，解得k＝0，经检验k＝0符合题意；
(2)
由题意得，方程有且仅有一个解，显然，x＝1已是该方程的解，
当x≥1时，方程化为；当x＜1时，方程化为；
∴(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且(x＜1)无解，
又x＝1时，k＝2，此时x＝3也是方程的解，不合题意，
∴关于x的方程(x≥1)、(x＜1)均无解，可得k＜2且k≤2，
综上，k≤2，即实数k的取值范围为(∞,2]．
(3)
当x∈[0,2]时，，
∵在 [0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛物线开口均向上，
∴最大值只可能是其中之一，
又，，，显然，
∴当k＜3时，所求最大值为；当k≥3时，所求最大值为．
22．（1）增区间：和；（2）答案见解析；（3）.【分析】（1）根据绝对值的性质化简函数的表达式，根据二次函数的单调性进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可；
（3）根据的正负性，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
因为的对称轴为，当时，此时函数单调递增，
因为对称轴为，当时，此时函数单调递增，
所以增区间：和；
（2）时，，因为
所以为奇函数；
时，因为，，
所以既不是奇函数，也不是偶函数，
（3），
①若，则，；
②若，则
（i）当时，即，所以，
因为，所以舍去；
当时，，
（ii）当时，即当时，
，符合题意；
（iii）当时，即当时，.，所以无解，不符合题意，
综上：.
【点睛】关键点睛：根据函数的对称轴和给定区间的位置关系进行分类讨论是解题的关键.
答案第1页，共2页
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