高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——第二章章末检测B（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数满足：①；②；③在上的表达式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知集合M={-1，1，2，4}，N={1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A．y= B．y=x+1 C．y=2|x| D．y=x2
10．已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．定义域为
C． D．是奇函数
11．对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的有（ ）
A． B． C． D．
12．对于定义在D函数f(x)若满足:
①对任意的xD，f(x)+f(-x)=0;
②对任意的，存在D，使得=.
则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数______
14．已知定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围为___________.
15．当时，则的值域是____________
16．设函数，函数，若存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题
17．某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润.
18．已知函数.
（1）求；
（2）若，求的值.
19．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理 施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
20．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
21．已知函数.
（1）判断在上的单调性，并用定义法证明；
（2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值.
22．已知，函数．
(1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值
【详解】解：设，则，得，
所以，
所以，
故选：D
2．A【分析】令幂函数且过 (2,)，即有，进而可求的值
【详解】令，由图象过(2,)
∴，可得
故
∴
故选：A
【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题
3．B【分析】化简各选项中的函数解析式，利用函数奇偶性的定义以及特殊值法可得出结论.
【详解】由题意可得，
对于A，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，，，函数不是偶函数；
对于B，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，函数为偶函数；
对于C，，
设，对任意的，，函数的定义域为，
，，，函数不是偶函数；
对于D，，
设，对任意的，，
，，则，函数不是偶函数.
故选：B.
4．C【分析】利用函数的奇偶性可将不等式转化为，再利用单调性去掉，解不等式即可求解.
【详解】因为为奇函数，且，所以，
所以等价于，
由函数在上单调递减，可得，
解得：，
所以满足的的取值范围是，
故选：C.
5．B【分析】根据题意，化简整理，可求得的周期，代入特殊值，即可求得a，b的值，即可得的解析式，代入所求，化简整理，即可得答案.
【详解】由题意得，，
所以①，
所以②，
①②联立可得：，即的周期为4，
又，，
所以且，解得，，即
所以.
故选：B
6．C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
7．D【分析】先根据知函数的对称中心和对称轴，再分别画出和的部分图象，由图象观察交点的个数．
【详解】因为，，
图象的对称中心为，图象的对称轴为，
由，，得，为单位圆的，
结合画出和的部分图象，如图所示，
据此可知与的图象在上有个交点．
故选：D.
8．D【分析】根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求出，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数a的取值范围.
【详解】解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称
∴时，的最小值为，最大值为，
可得值域为
又∵，，
∴为单调增函数，值域为
即
∵，，使得，
∴
故选：D.
【点睛】本题着重考查了函数的值域，属于中档题.解题的关键是将问题转化为值域的包含关系问题.
9．CD【分析】根据函数的定义即可判断．
【详解】在A中，当x=-1时，y=-1 N，故A错误；
在B中，当x=-1时，y=-1+1=0 N，故B错误；
在C中，任取x∈M，总有y=2|x|∈N，故C正确；
在D中，任取x∈M，总有y=x2∈N，故D正确．
故选：CD．
10．BC【分析】根据函数的解析式逐个判定即可.
【详解】对A, 的值域为,故A错误.
对B, 定义域为.故B正确.
对C,当是有理数时也为有理数,当是无理数时也为无理数,
故成立.故C正确.
对D, 因为,故D错误.
故选：BC
【点睛】本题主要考查了新定义函数性质的判定,属于基础题.
11．BC【分析】根据函数的新定义，确定函数的单调性，根据定义域计算值域，确定的解的个数，依次计算每个选项得到答案.
【详解】易知单调递增，故，，
解得，故不满足；
取，在上单调递减，故，
，故满足.
，易知函数单调递增，故，，
设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，，，，故函数有两个零点，故满足.
在上单调递增，故，，
设，则，函数在上单调递增，在上单调递减.
故，故函数只有一个零点，不满足；
故选：.
【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的计算能力，阅读能力和综合应用能力.
12．ABC【分析】对于四个选项中的函数，分别验证是否满足题干中的两个条件，特别是条件②，A选项，对任意的，存在满足要求；B选项，对任意的，则存在满足要求；C选项，对任意的，存在满足要求.
【详解】A选项，，若，则，则，同理，则，则，
对任意的，存在，使得，
对任意的，则存在，使得，
综上：满足条件①②，故是“等均值函数”，A正确；
B选项，，定义域为，，
对任意的，存在，使得，符合要求，故B正确；
C选项，，定义域为R，且，对任意的，存在，使得，C符合要求，故C正确；
D选项，，定义域为，不能使得对于任意的均有，故D选项不合题意，舍去
故选：ABC
13．【解析】由幂函数定义有，结合其单调性即可求m.
【详解】由是幂函数知：，解得或，
又∵在上单调递减，
∴，
故答案为：
14．.【分析】由题意，得到，且在区间上单调递减，在区间为单调递减函数，把，转化为，结合单调性，即可求解.
【详解】因为函数是上的奇函数，所以，
又由在区间上单调递减，所以在区间也是单调递减函数，
又因为不等式，即，
即，
可得，即，解得，
即实数m的取值范围为.
15．【分析】首先将函数转化为，再分别讨论和时，利用基本不等式求值域即可.
【详解】因为，且，
①当时，，
所以，
当且仅当，即时，取“”.
②当时，，，
所以，
因为，
所以，即.
当且仅当，即时，取“”.
综上所述值域为：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查基本不等式，同时考查了函数的值域问题，属于中档题.
16．【分析】先计算，解得或，分别讨论和两种情况，根据函数的单调性计算得到答案.
【详解】函数的图象的开口向上，且存在，使得成立
所以，解得或．
①当时，若存在，使得成立，则，
此时函数的图象的对称轴为直线，且
故函数在上单调递增．又，所以不成立．
②当时，若存在，使得成立，则
此时函数需满足，解得．
综上所述：实数的取值范围是．
故答案为
【点睛】本题考查了函数的取值范围，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
17．（1）3≤x≤10；（2）x＝6时，最大利润610万元.【分析】（1）由题意直接列不等式求解即可；
（2）生产120千克该产品所用时间为小时，而每小时可获得的利润是万元，从而可得获得的利润为万元，然后整理换元可求出其最大值.
【详解】（1）由题意可知，2≥30.
所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，
所以或.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
（2）易知获得的利润，x∈[1，10]，
令，则y＝120(－3t2＋t＋5).
当，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元.
【点睛】此题考查了利用函数解决实际问题，考查分析问题的能力，属于基础题.
18．（1）；（2）或.【分析】（1）利用函数的解析式由内到外逐层计算可得出的值；
（2）分、、三种情况解方程，综合可得出实数的值.
【详解】（1），所以，，，
因此，；
（2）当时，由，可得，舍去；
当时，由，可得；
当时，由，可得（舍）或.
综上所述，或.
19．(1)
(2)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）分段判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．
（1）
由已知
（2）
解：由（1）得
当时，；
当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，.
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.
20．（1）2；（2）a＝0，b＝1．【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值；
（2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解.
【详解】（1）为幂函数，
∴，解得或，
又在区间内的函数图象是上升的，
，
∴k＝2；
（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，
∴，即，
，∴a＝0，b＝1．
【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数最值的求法，是一道基础题.
21．（1）在上单调递增，证明见解析；（2）2.【分析】（1）令，作差通过运算判断符号得出结论；
（2）由（1）知函数在上单调递增，最大值为即
根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）函数在上单调递增.
证明如下：
令，
.
因为，所以，，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（2）由（1）知函数在上单调递增，
所以函数在上的最大值为，
即，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
22．(1)递增区间为，.
(2).
(3)
【分析】（1）当时，函数去绝对值，利用分段的形式写出函数的表达式，根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值.
（2）函数去绝对值，利用分段的形式写出函数，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出最小值的表达式；
（3）构造函数，只需即可，讨论的取值范围，求解函数的单调性，进而求出函数最大值即可.
(1)
解（1）当时，，
即，则，
故函数的递增区间为，递减区间为，.
(2)
由题可知，
当时，在上递减，在递增，则；
当时，在上递减，则，
综上：．
(3)
（3）令，只需，
当，且时，，在上单调递减，
∴，
当时，，在上单调递增，
∴；
当时，，在上递减，∴，
综上可知，，所以．
答案第1页，共2页
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