高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——4.1.2无理数指数幂及其运算性质A（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，化简（ ）
A． B． C． D．
3．设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
4．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则
5．已知，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
6．已知函数f（x）满足：对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（ ）
A．0 B．2n C．n D．-n
二、多选题
7．下列根式 分数指数幂的互化中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列运算结果中，一定正确的是　　
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知，化简________.
10．设函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________.
11．已知实数且，，则__________；
12．若对任意恒成立，则正数a的取值范围为________.
四、解答题
13．已知，且，求下列代数式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
（注：立方和公式）
14．化简下列各式：
(1)；
(2).
15．计算：．
16．已知函数，．
（1）证明：是奇函数；
（2）分别计算，的值，由此概括出涉及函数和对所有不等于0的实数都成立的一个等式，并证明．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A【分析】利用指数式与根式的互化以及指数的运算性质即可求解.
【详解】原式.
故选：A
【点睛】本题考查了指数式与根式的转化、指数的运算性质，需熟记指数的运算性质，属于基础题.
2．C【分析】将根式转化为分数指数幂，然后利用幂的运算性质即可求解.
【详解】解：，
故选：C．
3．A【分析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得．
故选：A.
4．B【分析】先利用特殊点求出函数解析式为，再利用指数函数的性质即可判断出正误．
【详解】解：图象可知，函数过点，
，
函数解析式为，
浮萍每月的增长率为，故选项A正确，
函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，
当时，，故选项C正确，
对于D选项，，，，，
又，，故选项D正确，
故选：B．
5．A【分析】推导出，再由立方差公式得，从而求出结果．
【详解】解：∵，
，
由立方差公式得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查根式的化简、求值，考查有理数指数幂、根式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
6．C【分析】根图象的对称性可得的值.
【详解】因为任意的，故的图象关于对称.
又，
设，则的定义域为且，
故为奇函数，故其图象关于原点对称，而，
故图像关于对称.
故函数与图像的诸交点关于对称，
不妨设，则，
且，其中，
故，所以，
故，
故选：C.
7．ABD【分析】利用根式 分数指数幂的运算法则即可得出．
【详解】．，因此不正确；
．，因此不正确；
．，因此正确；
．，因此不正确．
故选：ABD．
8．AD【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算．
【详解】解：选项，正确；
选项，错误；
选项当时，，当时，，错误；
选项，正确．
故选：．
【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．
9．【分析】由幂的运算法则即可求解.
【详解】解：因为，
所以由幂的运算法则得，
故答案为：.
10．【分析】分析可得，结合函数解析式可求得结果.
【详解】由已知条件可得.
故答案为：.
11．【分析】根据指数幂的运算法则计算可得；
【详解】解：因为
所以
故答案为：
12．【分析】两边取自然对数，将不等式转化为一次函数的恒成立问题，即可得答案；
【详解】对任意恒成立，
，
故答案为：.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得，结合平方差公式求得正确答案.
（2）结合指数运算求得正确答案.
（3）结合指数运算以及立方和公式求得正确答案.
（1）
因为，且，所以.
.
（2）
.
（3）
.
14．(1)
(2)
【分析】（1）把根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即得；
（2）利用分数指数幂的运算性质运算即得.
(1)
；
(2)
原式.
15．【分析】利用指数运算的性质化简求值即可.
【详解】原式
．
16．(1)证明见解析；(2)，；，证明见解析.【分析】(1) 根据函数的奇偶性定义，只需计算，判断其与的关系即可；
(2) 根据函数，的解析式，利用分数指数幂的运算，分别求出和的值，然后根据等式的规律得出结论，并进行证明即可.
【详解】（1）函数的定义域，关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数.
（2），
，
由此概括出对所有不等于零的实数有：，证明如下：
，
因此，等式成立.
答案第1页，共2页
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