高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——4.1.2无理数指数幂及其运算性质B（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)
2．已知函数是上的奇函数，当时，，则（ ）
A．8 B．2 C．-8 D．-2
3．已知，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
4．定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．若，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数f（x）满足：对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（ ）
A．0 B．2n C．n D．-n
二、多选题
7．如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是（ ）
A．蓝藻面积每个月的增长率为
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6个月时，蓝藻面积就会超过
D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有
8．对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．设为方程的两个根，则________．
10．化简___________.
11．已知函数的图象关于点成中心对称，则点的坐标为________．
12．化简：________.
四、解答题
13．计算：
（1）______；
（2）______．
14．已知求的值.
15．（1）；
（2）已知，求和的值.
16．已知函数，．
（1）证明：是奇函数；
（2）分别计算，的值，由此概括出涉及函数和对所有不等于0的实数都成立的一个等式，并证明．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A【分析】令，即可求出定点坐标；
【详解】当，即时，，为常数，
此时，即点P的坐标为(－1，5).
故选：A.
【点睛】本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.
2．D【分析】利用奇偶性，直接将代入计算即可.
【详解】
故选：D.
3．A【分析】推导出，再由立方差公式得，从而求出结果．
【详解】解：∵，
，
由立方差公式得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查根式的化简、求值，考查有理数指数幂、根式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
4．B【分析】根据函数的奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．
【详解】解：奇函数恒满足，
，即，则，即，即是周期为4的周期函数，
所以，
故选：B．
5．A【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系.
【详解】因为在上单调递减，所以，即，
又因为在上单调递增，所以，即，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数当时在上单调递增.
6．C【分析】根图象的对称性可得的值.
【详解】因为任意的，故的图象关于对称.
又，
设，则的定义域为且，
故为奇函数，故其图象关于原点对称，而，
故图像关于对称.
故函数与图像的诸交点关于对称，
不妨设，则，
且，其中，
故，所以，
故，
故选：C.
7．ACD【解析】由函数图象经过可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可．
【详解】解：由图可知，函数图象经过，即，则，∴；
∴不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为，A对、B错；
当时，，C对；
若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，，则，即，则，D对；
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于基础题．
8．ACD【解析】由指数幂的运算性质判断A，B，由指数函数的单调性判断C，由指数幂和根式的互化结合基本不等式判断D．
【详解】对于A，，，，正确；
对于B，，，，错误；
对于C，在定义域中单调递增，，正确；
对于D，，又，则，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查指数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将指数幂形式化为根式，即，利用指数幂的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
9．8【分析】由已知可得，再由指数幂的运算法则可求.
【详解】为方程的两个根，，
.
故答案为：8.
10．【解析】根据分数指数幂的运算法则计算可得；
【详解】解：
故答案为：
11．．【分析】设，可知上任意一点关于的对称点也在上，由此可整理得到的表达式，利用表达式相同可构造方程组求得，由此得到结果.
【详解】设，图象上任意一点，
则点关于点的对称点也在上，
，即，
，
与为同一个表达式，
，解得：，点的坐标为.
【点睛】思路点睛：本题考查函数图象对称中心的求解，解决此类问题可通过设点的方式，根据对称的特点可知其关于对称中心对称的点也在函数图象上，由此构造方程求得对称中心.
12．【分析】对于第一、二两括号中的项适当结合，逆用平方差公式进行运算化简，再与第三个括号同样利用平方差公式，结合分数指数幂的运算化简得到.
【详解】.
【点睛】本题考查指数幂的运算，关键是灵活使用平方差公式以简化运算，属中等题.
13． 1 3【分析】根据指数幂的运算性质可得（1）（2）计算结果.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
14．23【分析】对两边同时平方整理可得答案.
【详解】由两边同时平方得x+2+x-1=25，整理，得x+x-1=23，则有=23.
【点睛】本题主要考查了指数的运算，属于基础题.
15．（1）0；（2）.【分析】（1）由幂的运算性质直接求解；
（2）利用完全平方公式即可求解.
【详解】（1）原式
（2）
∵，
∴由得.
16．(1)证明见解析；(2)，；，证明见解析.【分析】(1) 根据函数的奇偶性定义，只需计算，判断其与的关系即可；
(2) 根据函数，的解析式，利用分数指数幂的运算，分别求出和的值，然后根据等式的规律得出结论，并进行证明即可.
【详解】（1）函数的定义域，关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数.
（2），
，
由此概括出对所有不等于零的实数有：，证明如下：
，
因此，等式成立.
答案第1页，共2页
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