高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——4.2.2指数函数的图像与性质A（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对任意实数且关于x的函数图象必过定点( )
A． B． C． D．
2．函数（，且）的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
3．函数y＝的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，0] B．[0，＋∞）
C．（－∞，] D．[，＋∞）
4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
5．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
6．偶函数关于点中心对称，且当时，，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
二、多选题
7．设，则大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．函数f(x)=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点_____________.
10．写出一个同时具有下列性质①②③的函数________.
①定义域为；②值域为；③对任意且，均有.
11．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是___________.
12．若函数，则不等式的解集为___________.
四、解答题
13．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．
(1)求f（x）的解析式；
(2)若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
14．（1）已知，求在，上的值域；
（2）已知是一次函数，且满足，求的值域及单调区间．
15．已知定义域为的函数.
（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
16．已知函数.
（1）当时，求；
（2）求解关于的不等式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C【分析】根据指数函数过定点(0，1)可求解.
【详解】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数是指数函数，过定点(0，1)，则过定点(0，5).
故选：C.
2．D【分析】令得到定点的横坐标，再把横坐标代入函数求出定点的纵坐标得解.
【详解】令.
当时，.
所以函数的图象必经过点.
故选：D
3．B【分析】由复合函数的单调性即可求解.
【详解】解:函数y＝u在R上为减函数，
欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，
而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞），
故所求单调递减区间为[0，＋∞）.
故选:B
4．C【分析】判断出，，的大小关系即可得出答案.
【详解】，．∵．∴．
又∵，，∴．
∴有．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
5．D【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可
【详解】由函数（其中）的图象可得，
所以，所以排除BC，
因为，所以为增函数，所以排除A，
故选：D
6．B【分析】偶函数关于点对称，则是周期为4的函数，计算出、，再利用周期可得．
【详解】偶函数关于点对称，则，，
令，则，
故，
是周期为4的函数，
，，
又，
，
，
．
故选：B.
7．CD【分析】根据指数函数的单调性，即可比较大小.
【详解】根据指数函数的单调性可知：，
根据指数函数的单调性可知：，
∴
故选：CD
8．BC【分析】对分类讨论，结合指数函数的单调性，求得函数的最大值和最小值，列出方程，即可求解.
【详解】当时，函数在区间上为单调递增函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以；
当时，函数在区间上为单调递减函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以.
综上可得，实数的值为或.
故选：BC
9．【解析】由解析式可直接得出.
【详解】由解析式可得当时，，
恒过定点.
故答案为：.
10．（答案不唯一）【分析】直接按要求写出一个函数即可.
【详解】，定义域为；，，值域为；
是增函数，满足对任意且，均有.
故答案为：（答案不唯一）.
11．【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为，列式求实数a的取值范围.
【详解】当时，，当时，，
因为函数的值域为，所以，解得：.
故答案为：
12．【分析】作出函数的图像，进而可得，然后利用图像解不等式即可
【详解】函数的图像如图中的“实线”所示.
从而的图像如图中的“实线”所示，为解不等式，需观察图像，易解得与的交点为和.
故不等式的解集为，即.
故答案为：
13．(1)
(2)
【分析】（1）将点（2，4）代入函数解析式即可；
（2）根据函数的单调性，即可求出m的取值范围.
(1)
将点（2，4）代入 ，得 ，
故 ；
(2)
， 是增函数，
，即 ，
， ；
综上，，.
14．（1），；（2）值域为：，，；单调增区间为：和．【分析】（1）根据函数的定义，求解出函数的解析式，再求其在[0，1]上的值域；
（2）依次求出的解析式，进而写出 的值域和单调区间.
【详解】（1）令，可得，
，
即有:，根据指数函数的性质可得： 在，上为单调增函数，
由得:，，
所以在[0，1]上的值域为，
（2）设，由得：
，
，，解得，，
，
在和上都为单调增函数
从而求得的值域为：
所以值域为，，；单调增区间为和无单调减区间.
15．（1）函数在上单调递减，证明见解析；（2）.【分析】（1）由单调性的定义证明（可根据复合函数的单调性判断）；
（2）再确定函数的奇函数，然后由奇函数性质变形不等式，由单调性化简转化为一元二次不等式恒成立，从而易得参数范围．
【详解】（1）函数在上单调递减.
证明如下：任取，且，
，
因为，所以，，，
即，故函数在上单调递减.
（2）因为，
故为奇函数，
所以，
由（1）知，函数在上单调递减，
故，即对于任意恒成立，
所以，令，则，
因为，所以，
所以，
即实数的取值范围是.
16．（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.【分析】（1）将直接代入解析式计算即可.
（2）将整理为，解得或，再对讨论即可解不等式.
（3）将问题转化为，分别分和讨论，求最小值，令其大于，即可求解.
【详解】（1）当时，
（2）由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为
（3）由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为
【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题.
答案第1页，共2页
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