高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——4.2.2指数函数的图像与性质B（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．函数在区间上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则
A． B． C． D．
4．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，5] B． C．[2，3] D．
5．定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列运算结果中，一定正确的是　　
A． B． C． D．
8．已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A． B．在上单调递减
C．关于直线对称 D．的最小值为1
三、填空题
9．已知函数的图像恒过定点，则的坐标为_____________.
10．已知函数，的图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________．
11．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③.
12．已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
13．已知函数
（1）在给出的坐标系中画出函数的图象．
（2）根据图象写出函数的单调区间和值域．
14．已知函数.
(1)若，求的值域；
(2)若在区间上的最小值为1，求m的值.
15．已知的图象关于坐标原点对称．
(1)求a的值；
(2)若存在，使不等式成立，求实数b的取值范围．
16．设函数．
（1）若，求的值；
（2）若，设，求在上的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可
【详解】∵，，
∴．
故选：C．
2．C【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；
【详解】解：∵，∴是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B选项；
∵，∴在上不单调，排除D选项．
故选：C
3．B【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
4．A【解析】利用的奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A，由二次函数的单调性求出在上的值域B，由题意知，列出不等式组求解即可.
【详解】当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，记，
，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
即当时，，记，
对于任意，存在，使得等价于，
所以，解得.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查函数方程（不等式）恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
5．B【分析】依题意可得为偶函数，且在上单调递减，根据奇偶性及单调性可得对任意的恒成立，两边平方即可得到，再对分类讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解；
【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，，则当时函数在定义域上单调递减，，当时，函数在上单调递减，且当时，所以函数在上单调递减，当时函数图象如下所示：
因为对任意的，不等式恒成立，即恒成立，即，平方可得；
①当，即时，即，对任意的，所以，即，所以；
②当，即时，显然符号题意；
③当，即时，即，对任意的，所以，即，与矛盾；
综上所述，，即实数的最大值为；
故选：B
6．A【分析】由不等式可知，或，结合图象，分析可得的取值范围.
【详解】当时，，得，，不能满足都有解；
当时，，得或，
如图，当或时，只需满足或，满足条件.
所以，时，满足条件.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查根据不等式成立，求参数的取值范围，本题的关键是利用数形结合理解，分析，.
7．AD【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算．
【详解】解：选项，正确；
选项，错误；
选项当时，，当时，，错误；
选项，正确．
故选：．
【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．
8．ACD【分析】通过题目信息求出的解析式，然后利用函数性质进行判断.
【详解】由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得.
对于A：，故A正确；
对于B：由，，所以不可能在在上单调递减，故B错误；
对于C： 为偶函数，关于轴对称，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确；
对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确.
故选：ACD
9．【解析】由过定点（0,1），借助于图像平移即可.
【详解】过定点（0,1），
而可以看成的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，
所以函数的图像恒过定点
即A
故答案为：
【点睛】指数函数图像恒过（0,1），对数函数图像恒过（1,0）.
10．.【解析】根据和两种情况讨论，令，得出不等式，即可求解.
【详解】当时，令，可得，此时不等式的解集为空集，（舍去）；
当时，令，可得，即，即实数的取值范围，
综上可得，实数的取值范围.
故答案为：.
11．（答案不唯一）【分析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答.
【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得，
由于单调递增，则，又，解得，取，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
12．（-∞，2）∪（4，+∞）【分析】根据函数解析式作出函数图像，对参数a分类讨论，数形结合求得函数有2个零点时满足的参数范围.
【详解】作出函数图像，易知与有3个交点，其中，是其两个交点的横坐标，
①当时，函数的图像为：
由图知，存在实数b，使函数有两个零点；
②当时，函数的图像为：
由图知，函数单调递增，不存在实数b，使函数有两个零点；
③当时，函数的图像为：
或
由图知，存在实数b，使函数有两个零点；
综上所述，存在实数b，使函数有两个零点的参数a的范围为
故答案为：
13．（1）图见解析；（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为.【解析】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出所求分段函数的图象；
（2）根据图象观察可知即可得出结果.
【详解】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数的图象为：
（2）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为
单调递减区间为，
函数的值域为
14．(1)
(2)-2
【分析】（1）换元法令，，即可求解；
（2）换元法分类讨论考虑函数的最小值情况即可得解.
（1）
，，
令，，
则，
所以的值域；
（2）
令，，
则，
考虑函数，
当时，单调递增，最小值不合题意，舍去；
当时，单调递减，最小值，解得，不合题意，舍去；
当时，单调递减，单调递增，所以最小值，，
所以
15．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可知函数为上的奇函数，则，由此可求得的值，再代入检验即可；
（2）问题转化为存在，使得成立，令，，则只需即可，利用二次函数的性质可得解；
（1）
解：由题意知，是上的奇函数，则，解得，所以，则，即符合题意．
故实数的值为1；
（2）
解：设，
由题设知，存在，使得成立，即存在，使得成立，
亦即存在，使得成立，
令，，则存在，，使得成立，则只需即可，
令，，，由二次函数的性质可知，在，上单调递增，
，
，即实数的取值范围为；
16．(1)；(2) .【分析】(1)由可得，两边平方后进行配方可求出的值.
(2)由可求出，从而可得的解析式，由在上单调递增，可设，通过讨论对称轴和区间的三种位置关系，结合二次函数的单调性即可求出函数的最小值.
【详解】(1)解:因为，所以，则，即，
即，因为 ，
因为，所以，即.
(2)因为，整理得，解得或(舍去)，
所以，
在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递增，当时，，当时，，
令，则，对称轴为，抛物线开口向上，
当时，在上单调递增，此时当时，；
当时，在上单调递减，此时当时，；
当时，在先减后增，此时当时，；
综上所述，在上的最小值
【点睛】关键点睛:
本题第二问的关键是利用换元法，通过讨论二次函数对称轴和区间的三种位置关系:对称轴在区间左侧，对称轴在区间内，对称轴在区间右侧，从而确定函数的单调性，进而求出最小值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页