高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——4.3.1对数的概念A（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函数则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
5．若函数f(x)满足f（2x）＝x，则f（5）＝（ ）
A．25 B．52 C．log52 D．log25
6．若，则（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
7．下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
8．已知函数若，则实数的值（ ）
A． B． C．2 D．
三、填空题
9．在中，实数的取值范围为______.
10．计算：______．
11．已知且，若，，则______．
12．已知函数，若，则________．
四、解答题
13．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
（1）；
（2）；
（3）．
14．设函数，且．
（1）求函数的解析式及其定义域；
（2）讨论函数的单调性，并求函数的值域．
15．若，求的值.
16．已知函数.
（1）若在上的最大值为，求的值；
（2）若为的零点，求证：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】根据解析式，直接代入求的值.
【详解】根据函数解析式可知.
故选：C
2．D【分析】根据的值代入相应的解析式可得答案.
【详解】由已知
.
故选：D.
3．A【分析】利用对数与指数的互化，指数的运算性质可求得结果.
【详解】因为，则，所以，，故.
故选：A.
4．D【分析】由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论.
【详解】由题知，，，所以，，可得，
所以，，.
故选：D.
5．D【分析】由求出后代入可得结论．
【详解】．∴，∴，
故选：D．
6．A【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解.
【详解】由题意
根据指数式与对数式的转化可得
由换底公式可得
由对数运算化简可得
故选:A
【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.
7．ABD【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案.
【详解】A选项，，正确.
B选项，，正确.
C选项，，C错误.
D选项，，正确.
故选：ABD
8．AC【分析】根据分段函数解析式，分类讨论分别计算可得；
【详解】解：因为且，所以解得，或解得，或解得（舍去），综上可得或
故选：AC
9．【分析】根据对数的概念与性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，要使式子有意义，则满足，
解得或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
10．0【解析】结合指数幂的运算公式、对数的运算公式，对数式与指数式的恒等式直接求解即可.
【详解】原式
.
故答案为：0
【点睛】本题考查了对数的运算公式，考查了指数幂的运算公式，考查了对数式与指数式的恒等式，考查了数学运算能力.
11．##4.5【分析】根据指数幂与对数的互化，求得，再结合指数幂的运算公式，即可求解.
【详解】由，，可得，
所以.
故答案为：.
12．-7【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
13．（1）；（2）；（3）．【分析】直接利用指数和对数的关系实现对指互化.
【详解】（1）由可得；
（2）由得；
（3）由可得．
14．（1）；；（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减，.【分析】（1）根据，和对数的运算法则，可得，注意函数的定义域，即，再利用指数和对数的互化即可求得求的解析式，定义域；
（2）根据复合函数的单调性进行判断，外函数是增函数，内含式在上单调递增，在上单调递减，从而求得函数的单调性，并根据单调性求得函数的值域．
【详解】解：（1），
，
即；
（2）由（1）知，；
令在，上单调递增，在上单调递减，
而是增函数，
在，上单调递增，在上单调递减，
，当时，取最大值．
的值域为，．
15．【分析】根据，利用指数和对数互化得到求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
16．（1）2；（2）详见解析.【解析】（1）易知函数和在上递增， 从而在上递增，根据在上的最大值为求解.
（2）根据为的零点，得到，由零点存在定理知，然后利用指数和对数互化，将问题转化为，利用基本不等式证明.
【详解】（1）因为函数和在上递增，
所以在上递增，
又因为在上的最大值为，
所以，
解得；
（2）因为为的零点，
所以，即，
又当时，，当 时，，
所以，
因为，
等价于，
等价于，
等价于，
而，
令，
所以，
所以成立，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题关键是由指数和对数的互化结合，将问题转化为证成立.
答案第1页，共2页
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