高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——4.3.1对数的概念B（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下对数式中，与指数式等价的是（ ）
A． B． C． D．
2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
3．已知，，则（ ）
A． B． C．10 D．1
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，小熊座星的星等是，则太阳与小熊座星的亮度的比值为（ ）
A． B． C． D．
5．数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题.根据香农公式，式中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是数据传送速率的极限值，单位是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位（如：，即信号功率是噪声功率的1000倍），讨论信噪比时，常以分贝为单位即（信噪比，单位为）.在信息最大速率不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽的方法来维持或提高通信的性能.现在从信噪比的环境转到的环境，则信号带宽大约要提高（ ）
（附：）
A．10倍 B．9倍 C．2倍 D．1倍
6．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列命题正确的是（ ）
A．， B．是的充分不必要条件
C．, D．若，则
8．已知，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
10．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.
11．定义区间，，，的长度均为，函数的定义域为，值域为，则区间长度的最小值为______.
12．已知，则的值为___________．
四、解答题
13．将下列指数式改写为对数式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)解不等式．
15．已知，试比较x，y，z的大小．
16．已知函数.
（1）若在上的最大值为，求的值；
（2）若为的零点，求证：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A【解析】根据指数式和对数式的关系即可得出.
【详解】根据指数式和对数式的关系，等价于.
故选：A.
2．B【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误．
【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
3．B【分析】依题意首先求出，再根据指数与对数的关系计算可得；
【详解】解：因为，，
所以，
因为
则．
故选：B．
4．B【分析】将题目中数据代入,计算可得.
【详解】依题意得, 太阳的星等,小熊座星的星等,
设太阳和小熊座星的亮度分别为:,
则,
所以,
所以,
所以太阳与小熊座星的亮度的比值为.
故选B
【点睛】本题考查了对数式化指数式,属于基础题.
5．B【分析】依题意，分别求出，，进而可得.
【详解】，
，
所以，
，
所以，所以，即大约提高9倍.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：在求时，是解决本题的一个关键.
6．A【分析】先转化对数式为指数式，求解，再转化，再利用中间值2，可比较的大小，即得解
【详解】依题意，，故；而，故，
所以，
所以，
因为，，
所以
故选：A
【点睛】本题考查了指数式对数式大小的比较，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
7．AC【分析】逐一分析探讨各选项在满足给定的条件时，对应结论是否成立，再作出判断并作答.
【详解】对于A选项：时，，即命题，正确，A正确；
对于B选项：时，或，即有，却不一定有，B不正确；
对于C选项：因，当且仅当x=0时取“=”，而，即命题,正确，C正确；
对于D选项：因，则，即命题若，则不正确，D不正确.
故选：AC
8．ACD【分析】由对数与指数的互换公式可得，由作差法结合对数的换底公式可判断选项A，由对数运算可判断B；由均值不等式结合由选项B推出的结论可判断选项C,D.
【详解】由，则，则，
所以，所以A正确；
，所以B不正确；
由，因为，故等号不成立，则，故C正确；
因为，故等号不成立，故D正确.
故选：ACD.
9． 【分析】利用指对数的等价关系即可得出.
【详解】.
故答案为：，，，.
10．【分析】从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x的值
【详解】∵log7[log3(log2x)]＝0，
∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，
∴23＝x，
∴.
故答案为
【点睛】利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数，属于基础题．
11．##【分析】令得到或，再数形结合求解.
【详解】由题得或，
所以或.
令.
因为，
所以区间长度的最小值为.
故答案为：
12．【分析】由题得，再化简代入即得解.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
13．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）利用指数式和对数式互化公式将指数式改写为对数式.
（2）利用指数式和对数式互化公式将指数式改写为对数式.
（3）利用指数式和对数式互化公式将指数式改写为对数式.
（4）利用指数式和对数式互化公式将指数式改写为对数式.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，属于基础题.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）利用偶函数的定义可求得函数在上的解析式，综合可得出函数的解析式；
（2）令，则所求不等式可变为，求出的取值范围，可得出关于的不等式，解之即可.
(1)
解：因为数是定义在R上的偶函数，当，，
则当时，，.
因此，对任意的，.
(2)
解：由（1）得，
所以不等式，即，
令，则，于是，解得，
所以，得或，
从而不等式的解集为．
15．．【分析】对于形如的方程，由外向内逐层求解，即逐步脱去对数符号，从而建立关于的方程，求出的值，即可得到、、，再根据幂函数的性质判断可得；
【详解】解：由，
得，，即；
同理，．
∵，，
∴．
又，，
∴，∴．
16．（1）2；（2）详见解析.【解析】（1）易知函数和在上递增， 从而在上递增，根据在上的最大值为求解.
（2）根据为的零点，得到，由零点存在定理知，然后利用指数和对数互化，将问题转化为，利用基本不等式证明.
【详解】（1）因为函数和在上递增，
所以在上递增，
又因为在上的最大值为，
所以，
解得；
（2）因为为的零点，
所以，即，
又当时，，当 时，，
所以，
因为，
等价于，
等价于，
等价于，
而，
令，
所以，
所以成立，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题关键是由指数和对数的互化结合，将问题转化为证成立.
答案第1页，共2页
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