高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——4.4.2对数函数的图像与性质A（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为N，则的整数部分为（ ）
A．2566 B．2567 C．2568 D．2569
4．已知，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（多选）设集合，，则下列关系中不正确的有
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．函数的定义域是____________．
10．若函数（且）有最大值，则的取值范围是___________.
11．函数的单调递增区间为______.
12．已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；
四、解答题
13．求函数的定义域．
14．已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断在内的单调性，并证明你的结论；
15．已知函数.
（1）求函数的反函数，并求出反函数的定义域；
（2）判断并证明的单调性.
16．已知函数.
（1）当时，求；
（2）求解关于的不等式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C【分析】对数型函数定义域为真数大于0，求解即可.
【详解】函数需满足，解得，所以函数的定义域为.
故选：C.
2．D【分析】根据幂指对函数和一次函数的性质进行判定.
【详解】由幂函数的性质，可知A中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B中函数为增函数，由对数函数性质可知C中函数为增函数，由指数函数性质，可知D中函数为单调减函数，
故选：D.
3．B【分析】由题意，得到，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案.
【详解】由题可知，．
因为，所以，
所以的整数部分为2567．
故选：B.
【点睛】本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力．
4．A【解析】由题知，做出相应函数图象，根据图象即可得答案.
【详解】解：由，可知，
又，作出图象如图所示，
结合图象易知，∴.
故选A.
5．D【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.
【详解】，，
令，解得：，
根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知函数单调递增，在区间函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是.
故选：D
6．A【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
7．BC【分析】先化简集合，根据集合间的基本关系，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，，.
故选BC
【点睛】本题主要考查集合间的包含关系，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.
8．CD【分析】由条件可知，再利用函数的单调性，判断选项.
【详解】因为，
A：故，A错误；B：为减函数，故B错误；C：幂函数在上为减函数，故C正确；D：函数为减函数，故D正确.
故选：CD
9．【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．【分析】因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数，由此可列出不等式组求解.
【详解】因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数,所以， 解得
故答案为：
11．【分析】根据复合函数的单调性及定义域解答即可.
【详解】由题意，，解得或，
所以的定义域为.由二次函数的图象与性质，知函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
12．8【分析】根据条件可得在，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出的范围．
【详解】当时，．
因为的值域为，则当时，．
当时，，
故在，上单调递增，
，即，
解得，即的最大值为8．
故答案为：8．
13．当时，定义域为；当时，定义域为．【分析】根据对数的真数大于零建立不等式后解不等式即可.
【详解】
当时，定义域为；
当时，定义域为．
14．（1）；（2）在内单调递减，证明见解析.【分析】（1）本题可根据对数函数的性质以及解分式不等式得出结果；
（2）本题可通过定义法以及对数的运算法则证出在内单调递减.
【详解】（1）因为，
所以，即，解得或，
故函数的定义域为.
（2）在内单调递减，
证明：任取、且，
则，
因为，所以，
则，，，
在内单调递减.
15．（1），定义域为；（2）在区间上单调递增，证明见解析.【分析】（1）利用反函数的定义以及函数值域的求法即可求解.
（2）利用函数的单调性定义即可求解.
【详解】（1）解析：∵，开平方得，
整理得，
∴，定义域为.
（2）在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
，
因为，，，
所以，即
16．（1）；（2）当时，的解集为，当时；（3）.【分析】（1）将直接代入解析式计算即可.
（2）将整理为，解得或，再对讨论即可解不等式.
（3）将问题转化为，分别分和讨论，求最小值，令其大于，即可求解.
【详解】（1）当时，
（2）由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为
（3）由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为
【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题.
答案第1页，共2页
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