高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——4.4.3不同函数增长的差异（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是
A． B． C． D．
2．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数定义域为，若满足①在内是单调函数；②存在使在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则的取值范围为
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的图象大致是
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则.
8．某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数如图，下列四种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，产量增长的速度越来越快 B．前三年中，产量增长的速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产 D．第三年后，年产量保持不变
三、填空题
9．下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________.
①；②；③；④
10．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
11．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
12．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .
四、解答题
13．已知函数，分别计算这两个函数在区间上的平均变化率，并比较它们的大小.
14．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量（万件）之间的关系如下表所示：
x 1 2 3 4
4.00 5.58 7.00 8.44
若近似符合以下三种函数模型之一：，，．
（1）判断你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；
（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．
15．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
16．某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元时，按利润进行奖励，且奖金y随利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y=0.2x，y=log5x，y=1.02x，其中哪个模型符合该商场的要求
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D【分析】根据函数特点可得后，各个函数对应函数值的大小关系，从而确定结果.
【详解】当时，
即的增长速度最快 最终在最前面的物体具有的函数关系为
故选
【点睛】本题考查不同函数的增长速度差异，关键是能够明确指数函数为几何级数增长，增长速度最快.
2．D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
3．D【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
4．C【分析】由是“成功函数”，知在其定义域内为增函数，，故，由此能求出的取值范围.
【详解】∵是“成功函数”，
∴在其定义域内为增函数，，
∴，，
令，∴有两个不同的正数根，
∴，解得，故选C.
【点睛】本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“成功函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
5．B【分析】由定义可判断函数是奇函数，且，故可采用排除法选出正确答案.
【详解】函数的定义域为，
又，
所以函数是奇函数，故排除A，C；
又因为，故排除D.
故选：B
【点睛】本题考查函数图象的判断与应用，考查函数的特殊值的计算，是中档题.已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质.
6．B【分析】通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.
【详解】当时，，函数有意义，可排除A；
当时，，函数无意义，可排除D；
又∵当时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；
故选B.
【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.
7．ACD【分析】由函数图像经过点(4,2)求得,再根据对数函数的性质逐个选项分析即可.
【详解】由题,故.
对A,函数为增函数正确.
对B, 不为偶函数.
对C,当时, 成立.
对D,因为往上凸,故若，则成立.
故选：ACD
【点睛】本题主要考查了对数函数的图像与性质,属于基础题型.
8．BC【解析】利用函数的图象，结合问题的实际意义，即可求解.
【详解】由函数图象可知,
在区间[0，3]上，图象凸起上升的，表明年产量增长速度越来越慢；
在区间(3，8]上，如果图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0.
B、C正确
故选：BC
【点睛】本题主要考查了函数图象的应用，考查了数形结合的思想，属于中档题.
9．①【分析】根据函数模型的增长速度，即可得答案；
【详解】由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，
更为有前途的生意，
故答案为：①.
【点睛】本题考查函数模型的增长速度快慢问题，属于基础题.
10．1.75【详解】由已知得，解得.
∴y＝－20.5x＋2.
当x＝3时，y＝1.75.
故答案为1.75.
11．【分析】求出函数的定义域，根据复合函数的单调性求出的单调递增区间，然后由集合的包含关系列不等式组即可求解.
【详解】由可得，解得，
函数是由和复合而成，
又对称轴为，开口向下，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，
所以的单调增区间为，
因为在区间内单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：．
12．【详解】由于对数函数y=lnx在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x，所以函数y＝x2比函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快，填.
13．，在区间上的平均变化率比的小【解析】在区间上的平均变化率为，同理可得在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率比的在区间上的平均变化率小
【详解】在区间上的平均变化率为.
在区间上的平均变化率为.
由于，故在区间上的平均变化率比的小.
【点睛】本题考查两个函数在同一区间上的平均变化率，并比较大小，属于基础题.
14．（1）答案见解析；（2）9.1万件．【分析】（1）根据给定的函数模型，结合表格中的数据，进行判定，即可求解；
（2）由（1）中的函数模型，代入，求得预计年产量，进而求得实际年产量.
【详解】解：（1）符合条件的是，
①若模型为，则由，得，即，
此时，，，与已知相差太大，不符合．
②若模型为，则是减函数，与已知不符合．
由①②可得，以上两个函数模型都不能选取，所以选择函数，
由，解得，所以．
（2）由（1）知函数模型为，
可得2021年预计年产量为，所以．
所以2021年的年产量为9.1万件．
15．（1），；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.【详解】试题分析：（1）由图可知，点在曲线上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得.同理在曲线上，将其代入曲线的方程可求得.（2）设投资甲商品万元，乙商品万元，则利润表达式为，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品万元，乙商品万元时，所获得的利润最大值为万元.
试题解析：
（1）由题知，在曲线上，
则，
解得，即.
又在曲线上，且，则，
则，所以.
（2）设甲投资万元，则乙投资为万元，
投资获得的利润为万元，则
，
令，
则.
当，即（万元）时，利润最大为万元，此时（万元），
答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.
16．符合商场的要求.【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x，y=log5x，y=1.02x的图象，根据奖金y随利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元来选择.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x，y=log5x，y=1.02x的图象如图所示：
观察图象可知，在区间[5，100]内，函数y=0.2x，y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方，
只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方，
这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合商场的要求.
【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数的增长的比较，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页