高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——4.5函数的应用（二）A（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：）
A． B． C． D．
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数在区间上有定义，则“在区间上有零点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
二、多选题
7．设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下：
0 1 2
3
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ）A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44
8．已知函数，若存在，使得成立，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是_____台．
10．已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
11．现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.
12．若是函数的一个零点，是函数的一个零点，已知函数，则关于的方程的解集是___________.
四、解答题
13．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lg A－lg A0．其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
（1）假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
14．函数在区间上是否存在零点？若存在，有几个零点？
15．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为产量的函数.
（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；
（3）产量为多少时，企业所得利润最大？
16．汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据：
v 0 40 60 80 120
F 0 10 20
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，，.
（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.
（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C【分析】根据对数的换底公式运算可得结果.
【详解】.
故选：C．
2．B【解析】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解，观察图象可得结果.
【详解】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解.
而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点.
另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点.
根据二分法的理论依据选项B不能用二分法求图中函数零点，
故选：B.
【点睛】本题考查二分法求函数零点，关键是理解零点两侧函数值的正负问题，是基础题.
3．B【分析】根据变号零点能用二分法求近似值，不变号零点不能用二分法求零点近似值求解.
【详解】由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近似值.
故选：B
4．D【分析】利用特例法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】已知函数在区间上有定义，
若在区间上有零点，不妨取，则，
即“在区间上有零点”“”；
另一方面，若，不妨取，
则在上无零点，
即“在区间上有零点”“”.
故“在区间上有零点”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5．B【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.
【详解】解：函数的零点个数，即的解得个数，等价于与的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数有一个零点,
故选：
【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.
6．C【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
7．BC【分析】f(x)在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间﹒
【详解】与都是上的单调递增函数，
是上的单调递增函数，
在上至多有一个零点，
由表格中的数据可知：
，
在上有唯一零点，零点所在的区间为，
即方程有且仅有一个解，且在区间内，
，
内的任意一个数都可以作为方程的近似解，
，
符合要求的方程的近似解可以是和1.43﹒
故选：BC﹒
8．AC【分析】采用数形结合可知，，，然后简单计算可知，，，故可知结果.
【详解】如图：
可知，，，则，
且，所以，即.
因为，所以，.
故选:AC.
9．150【分析】首先应该仔细审题分析成本y与产量x的关系以及以及获利与产量的关系，再结合企业不亏本即收入要大于等于支出即可得到关于x的一元二次不等式解之．
【详解】解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出，
又因为总收入为：25x，
总支出为：3000+20x﹣0.1x2
∴25x≥3000+20x﹣0.1x2
解得：x≥150或x≤﹣200
又x∈（0，240）
∴，
∴生产者不亏本时的最低产量为150台，
故答案为：150．
10．【分析】画出的图象，由与的图象有两个交点来求得的取值范围.
【详解】画出的图象如下图所示，
，
即与的图象有两个交点，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
11．【分析】设红豆有粒，白豆有粒，由两轮的结果可构造方程组，根据的范围可计算求得，加和即可得到结果.
【详解】设红豆有粒，白豆有粒，
由第一轮结果可知：，整理可得：；
由第二轮结果可知：，整理可得：；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：，，
即红豆和白豆共有粒.
故答案为：.
12．【分析】根据题中条件，得到分别是直线与函数 函数图象交点的横坐标的值，再由和图象关于对称，求出，进而可求出对应方程的解.
【详解】依题意，是方程的解，是方程的解，
因此分别是直线与函数 函数图象交点的横坐标的值，
又和图象关于对称，则由，所以，
则方程，即为，解得或
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于根据互为反函数的两函数的对称性求出；先由题中条件，将题中条件转化为分别是直线与函数 函数图象交点的横坐标的值，再由与互为反函数，即可求出.
13．（1）4级；（2）1000倍．【分析】（1）将最大振幅和最小振幅代入 即可求得．
（2）将里氏震级和 分别代入 后，两式相减变形即可求得．
【详解】（1）M＝lgA－lgA0＝＝＝4．即这次地震的震级为4级．
（2），＝3，＝1 000，
即我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．
【点睛】本题考查了函数的应用，属基础题．
14．存在，函数在区间上有三个零点．【分析】借助于计算器首先考察区间的两个端点的函数值的符号是否相异，若为异号，则该区间上必有零点；若为同号，则再考察区间中间点的函数值的符号是否与区间两端点的函数值异号，经过几次这样的考察，即可得到本题的答案．
【详解】因为，，
所以在区间上至少有一个零点．
取区间的中点；
取区间的中点；
取区间的中点．
因为，所以在区间上至少有一个零点；
因为，所以在区间上至少有一个零点；
因为，所以在区间上至少有一个零点．
又由于函数是三次函数，最多有三个零点，
所以，函数在区间上有三个零点．
【点睛】本题考查零点存在性定理，利用二分法确定零点所在的区间，考查数形结合思想，属于基础题.
15．（1）；（2）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本；（3）年产量为475台时，企业所得利润最大.【分析】（1）依题意对与分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可；
（2）要使企业不亏本，则，根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；
（3）根据二次函数的性质计算可得；
【详解】解：（1）设利润为y万元，当时，，当时，
综上可得 ；
（2）要使企业不亏本，则.
即或
得或，即.
即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.
（3）显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为475台时，企业所得利润最大.
16．（1）选择函数,（2）这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少【解析】（1）根据表中数据分析可知，所选模型必须满足定义域为，且在上为增函数，故选，在代入数据计算可得.
（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：，根据二次函数的性质求出最值.
【详解】解：（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上为增函数；
函数在是减函数，所以不符合题意；
而函数的，即定义域不可能为，也不符合题意；
所以选择函数.
由已知数据得：
解得：
所以，
（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：
因为，所以，当时，y有最小值30.
所以，这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30L.
【点睛】本题考查给定函数模型解决问题，利用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，属于中档题.
答案第1页，共2页
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