高中数学人教A(2019)必修第一册同步检测——4.5函数的应用（二）B（Word含答案）

2022年9月5日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A． B． C． D．
2．某手机生产线的年固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本万元，当年产量不足80千台时，(万元)；当年产量不小于80千台时，(万元).每千台产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.当年产量为（ ）千台时，该厂当年的利润最大？
A．60 B．80 C．100 D．120
3．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是（ ）
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
5．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．是偶函数
C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为
8．已知函数若存在，使得，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的最大值为4
C．的取值范围是
D．的取值范围是
三、填空题
9．函数在区间上的零点为______.
10．汽车紧急避险安全距离包括刹车距离和驾驶员反应时间内汽车行驶的距离(驾驶员发现紧急情况至踩下制动踏板的这段时间称之为反应时间，在这段时间内汽车保持原速率不变).已知通常情况下，驾驶员的反应时间为0.5，刹车距离与汽车速率的平方成正比，且当速率为时刹车距离是20.依据上述信息推断，一辆汽车以的速率行驶在我市绕城高速路(五环线)上时，其紧急避险安全距离为__________.
11．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．
12．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．
四、解答题
13．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求及的值；
（2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
14．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
15．已知函数．
(1)用单调性的定义证明：在定义域上是减函数；
(2)证明：有零点；
(3)设的零点在区间内，求正整数n．
16．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D【分析】根据指对幂函数的增长速度即可判断.
【详解】当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快．
故选：D.
2．C【解析】求得当年的利润的解析式，结合二次函数的性质、基本不等式求得正确选项.
【详解】设年产量为x千台，当年的利润为y万元，
则由已知有，
即，
当时，由二次函数的性质可知当时y取最大值950，
当时，.
当且仅当时，y取得最大值1000，
又，所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润取得最大值1000万元.
故选：C
3．C【分析】转化为两个函数交点问题分析
【详解】即
分别画出和的函数图像，则两图像有4个交点
所以，即
故选 ：C
4．D【分析】由题意可得a＝x－(x＞0), 令g(x)＝x－，求出g(x)的值域为(－1，＋∞)即得解.
【详解】由题意可得a＝x－(x＞0).
令g(x)＝x－，
因为都是增函数，
所以该函数在(0，＋∞)上为增函数（增函数+增函数=增函数），
所以，
可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，
故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．D【分析】函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以有解，但方程组无解，然后利用判别式即得.
【详解】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，
所以有解，但方程组无解，
由，得有解，
所以，解得
由得
两式相减，得，
因为，所以，
消去，得，
因为方程无解或仅有两个相等的实根，
所以，解得，
故a的取值范围是
故选：D.
6．A【分析】由题意得，函数与函数有三个不同的交点，结合图象可得出结果.
【详解】解：由题意可得，直线与函数至多有一个交点，
而直线与函数至多两个交点，
函数与函数有三个不同的交点，
则只需要满足直线与函数有一个交点
直线与函数有两个交点即可，
如图所示，与函数的图象交点为，，
故有.
而当时，直线和射线无交点，
故实数的取值范围是.
故选：A.
7．AD【分析】根据函数的解析式，分别从定义域、奇偶性、零点、最值考察即可求解.
【详解】对A，由解析式可知的定义域为，故A正确；
对B，因为，可知是奇函数，故B不正确；
对C,，得，故C不正确；
对D, 当时，，当且仅当时取等号，
故D正确.
故选：AD
8．AD【分析】根据函数性质得，是方程的两根，再运用数形结合的思想逐项验证选项可得出答案.
【详解】由题意可知，且，则，
因为，所以，故选项A正确，选项B错误；
作出的图象，如图所示，由图可知的取值范围是，选项错误；
因为，所以，又
则的取值范围是，选项D正确.
故选：AD.
9．##【分析】直接解方程即可得答案.
【详解】方程的两个根分别为，，
所以函数在区间上有1个零点，为.
故答案为：
10．【分析】设避险安全距离为，速度为，刹车距离为，则、，依题意求出，得到函数关系式，再代入计算即可，需注意速度单位的转化；
【详解】解：设避险安全距离为，速度为，刹车距离为，则，，因为当时，，所以，解得，
所以，即
因为，所以当时，
故答案为：
11．【分析】作出函数的图象，令，结合图象可得，方程在内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；
【详解】作出函数的大致图象，
令，因为恰有6个不同的实数解，
所以在区间上有2个不同的实数解，
，
解得，
实数的取值范围为．
故答案为：．
12．7【分析】确定函数解析式，解不等式，即可得到结论．
【详解】设二次函数y=a(x-6)2+11，
又过点(4，7)，
所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.
解y≥0，得6-≤x≤6+，
所以有营运利润的时间为2.
又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年.
故答案为：7
13．（1），；（2）【解析】（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解；
（2）由已知只需时，有两个解的即可.
【详解】（1）是定义在上的偶函数，
且当时，，
；
（2）函数是定义在上的偶函数，
关于的方程有四个不同的实数解，
只需时，有两个解，
当时，，
所以
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.
14．(1)
(2)70万盒
【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
（1）
当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为
（2）
当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)10
【分析】（1）设，则结合对数的运算法则可证得，则，由此可得证.
（2）结合函数的解析式有，，且在区间上连续不断，由零点存在定理可得证.
（3）结合函数的解析式可得，由此可得答案.
（1）
因为的定义域为，设，是内的任意两个不相等的实数，且，则，
因为，，
所以，，
所以，
故在定义域上是减函数．
（2）
因为，，
所以，
所以有零点．
（3）
，
，
所以，
又在上为减函数，
所以的零点在区间内，故n＝10．
16．（1）f(x)＝；（2）475件．【分析】（1）根据年需求量为500件，由05时，产品只能售出500件和固定成本0.5万元，每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元求解.
（2）根据（1）的结果，分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域，再取并集.
【详解】（1）当05时，产品只能售出500件．
所以,
即f(x)＝.
（2）当0所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781 25(万元)．
当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
【点睛】方法点睛：（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本题．（2）求函数最值常利用基本函数法，基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的值域时，应先求每一段上的值域，然后取并集．
答案第1页，共2页
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