【巩固练习】
1．若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，不存在实数使得；
B．若，存在且只存在一个实数使得；
C．若，有可能存在实数使得；
D．若，有可能不存在实数使得；
2．若是方程的解，是 的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．函数在区间上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．直线与函数的图象的交点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．若方程有两个实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
8．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为( )
A．a<－1 B．a>1
C．－1
9.若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根
11.若已知，则下列说法中正确的是( )
A.在上必有且只有一个零点 B.在上必有正奇数个零点
C.在上必有正偶数个零点
D.在上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点
12.函数在区间内的函数值( )
A.大于等于0 B.小于等于0 C.大于0 D.小于0
13.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
14.三次方程在下列连续整数____________之间有根.
①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与3
15.函数的零点是__________.
16．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点.
17．已知函数（为实数，，）．
（1）当函数的图像过点，且方程有且只有一个根，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数的
取值范围；
（3）若 当，，，且函数为偶函数
时，试判断能否大于？
【参考答案与解析】
1.C 对于A选项：可能存在；对于B选项：必存在但不一定唯一
2.C 作出的图象，
交点横坐标为，而
3.C 是函数的递减区间，
4.B
5.A 作出图象，发现有个交点
6．A 作出图象，发现当时，函数与函数有个交点
7.C 解法一：本题考查了函数的零点定理和导数．
∵f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，
又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
解法二：∵f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e1－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故f(x)＝ex＋x
8.B f(x)＝2ax2－x－1
∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a－2
∴由f(1)>0得a>1，又当f(1)＝0，即a＝1时，
2x2－x－1＝0的两根为x1＝1，x2＝－不适合题意．故选B.
9.B 由方程的判别式小于0，可得，故选B.
10.C 在[-1，1]上是增函数且
在上有唯一实根
在[-1，1] 上有唯一实根.故选C.
11.D 若不连续则可能没有零点，若在该区间有二重零点则可能有正偶数个零点.故选D.
12.D 的两个零点是1和2，在1和2之间函数值同号.又，故选D.
13.B 用二分法只能求变号零点，选项B中的零点为不变号零点，不宜用二分法求解.故选B.
14.①②④
解析：令
x -2 -1 0 1 2 3
f(x) -1 1 -1 -1 7 29
在内均有根.
15. 提示：由得，所以函数的零点是.
16.解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根.
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，
∴2x＝1，x＝0符合题意.
当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，
t2＋mt＋1＝0有一正一负根，
即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾.
∴这种情况不可能.
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为＝0.
17．解：（1）因为，所以.
因为方程有且只有一个根，所以.
所以. 即，.所以.
（2）因为=．
所以当 或时，即或时，是单调函数．
（3）为偶函数，所以. 所以.
所以
因为，不妨设，则.又因为，所以.
所以. 此时.
所以．
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第2页 共4页函数与方程
【考纲要求】
1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。
【知识网络】
【考点梳理】
1．函数零点的理解
（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数．
（2）变号零点与不变号零点
①若函数在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点．
②若函数在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点．
③若函数在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a，b）内有零点的充分不必要条件．
要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。
2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题
（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．
（2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根．
要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。
3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．
（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点即为方程的根．
【典型例题】
类型一、判断函数零点的位置
例1.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：∵f(0)＝1>0，f(－1)＝<0，∴选B.
答案：B
点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
举一反三：
【变式】已知函数，当时，函数的零点,则 ．.
解：用数形结合法
作出 及的图象，
作出 及
由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．
类型二、确定函数零点的个数
例2.二次函数中，，则函数的零点的个数是( )
A.1 B.2 C.0 D.无法确定
解法1：
∴方程有两个不相等的实数根
∴函数有两个零点，选B.
解法2：
，
不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.
点评：可以利用函数图象或方程的判别式.
举一反三：
【变式】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
解析：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：
显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝π－时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝π－<4，有交点，故选A.
答案：A
例3. 求方程的解的个数．
解析：
方法一：作出函数和的图象，
且时，，，有（如图）
由图象可以知道：函数和的图象的交点的个数为3，
即方程的解的个数为3.
方法二：令，则 ，
由即得或，从而
极大 极小
在及上为增函数，在 上为减函数。
作出函数的示意图(如图)，
∵，，∴在上恰有一个零点；
同理∵，，∴在上恰有一个零点；
∵，，∴在上恰有一个零点；
综上所述，函数的零点个数为3，
即方程的解的个数为3.
举一反三：
【变式1】若方程在内有惟一解，求实数m的取值范围．
解析：原方程可变形为：，即
设曲线和直线，图象如图所示．
由图可知：
①当时，有惟一解；
②当1≤l—m<4时，有惟一解．
∴m=1或一3【变式2】已知函数，.若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围。
解析：方法一：（）的图象是圆心为，半径的半圆，
、的图象如下：
设圆心到直线距离为, 则直线与圆相切时，，解得，
由上图知：当时，二者相交于两个公共点，当时，二者只有一个公共点，
∴实数的取值范围：.
类型三、用二分法求函数的零点的近似值
例4.求函数的一个正数零点(精确到0.1).
解：由于，可取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
区间 中点 中点函数值
[1，2] 1.5 -2.625
[1.5，2] 1.75 0.2344
[1.5，1.75] 1.625 -1.3027
[1.625，1.75] 1.6875 -0.5618
[1.6875，1.75] 1.71875 -0.1709
由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.
点评：应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.
举一反三：
【变式1】用二分法求函数的一个正零点（精确到）
解：⑴由，可知函数的一个正零点在区间中；
⑵取的区间中点；
⑶计算；
⑷由于，则有零点的新区间为
⑸取的区间中点；
⑹计算；
⑺由于，则有零点的新区间为；
⑻取的区间中点；
⑼计算；
⑽由于，则有零点的新区间为；
⑾取的区间中点；
⑿计算；
⒀由于，则有零点的新区间为；
⒁取的区间中点
⒂计算；
⒃由于，则有零点的新区间为；
⒄取的区间中点；
⒅计算；
⒆由于，
⒇由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数的一个正零点为：2.24.
类型四、函数与方程综合应用
例5.定义域为R的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝lnx－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰有5个不同的实数解．
(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；
(2)求实数a的取值范围．
解析：(1)设x<0，则－x>0，
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax(x<0)．
(2)∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝0的根关于x＝0对称，又f(x)＝0恰有5个实数根，则5个根有两正根，两负根，一零根，且两正根与两负根互为相反数，
∴原命题可转化为：当x>0时，f(x)的图像与x轴恰有两个不同的交点．
下面就x>0时的情况讨论．
∵f′(x)＝－a，
∴当a≤0，f′(x)>0，f(x)＝lnx－ax在(0，＋∞)上为增函数，
故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个实根．
a>0时，令f′(x)＝0，x＝.
当00，f(x)递增，
当x>时，f′(x)<0，f(x)递减，
∴f(x)在x＝处取得极大值－lna－1，则要使f(x)在(0，＋∞)有两个相异零点，如图．
∴只要：－lna－1>0，即lna<－1，
得：a∈.
举一反三：
【变式】已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解析：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，
f(x)有两个零点或无零点不合题意．
∴这种情况不可能．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
函数与方程
函数的零点
二分法
函数与方程的关系
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