高二上入学考试数学试题答案
一、选择题 (每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．)
BADDC BCBBB AD
二、填空题 (本大题共 4小题，每题 5分，共 20分，把答案填在题中的横线上.)
5，n= 1
13 a = 14 10 15 1． n n-1, ≥ ； ． ； ． 7 ； 16. 5 2.4 5 n 2
三．解答题
a(5- a) = 2
( a= 2 a= 317.【解答】Ⅰ)由 3
- b =- 3 b=
或
9 .b= 9
3
(Ⅱ)由-2a2+ 10a- 12+ b< 0 b< 2a2- 10a+ 12对任意的 a∈R恒成立,
2
又 2a2- 10a+ 12= 2 a- 52 -
1
2 ≥-
1
2 .所以实数 b的取值范围是 -∞,-
1
2 .
18.解 (1) ∵ {an}为各项都不相等的等差数列，
a6= a1+ 5d= 6，a6= 6，且 a 21，a2，a4成等比数列．∴ a1+ d = a1 a1+ 3d ，d≠ 0，
解得 a1= 1，d= 1，∴数列 {an}的通项公式 an= 1+ (n- 1) × 1=n.
(2)由 (1)知，bn= 2n+ (-1)nn，记数列 {bn}的前 2n项和为T2n，
则T2n= (21+ 22+ +22n) + (-1+ 2- 3+ 4- +2n)．
记A= 21+ 22+ +22n，B=-1+ 2- 3+ 4- +2n，
= 2 1- 2
2n
则A 1- 2 = 2
2n+1- 2，B= (-1+ 2) + (-3+ 4) + +[- (2n- 1) + 2n]=n.
故数列 {bn}的前 2n项和T2n=A+B= 22n+1+n- 2.
19.解：(1)设底面宽为 ym，则由 3xy= 4800 y= 1600，得 x ，
∴ f(x) = 150× 48003 + 120 2× 3x+ 2× 3×
1600
x = 240000+ 720 x+
1600
x (0< x≤ a)． 6分
(2) [- 2,1]
(3) t(x) = x+ 1600令 x (0< x≤ a)
由 t(x)≥ 2 x 1600x = 80，当且仅当 x= 40时取“=”．
当 a≥ 40时，在 x= 40时 f(x)min= 297600； 8分
当 0< a< 40时，设任意 x1，x2∈ (0,a]，且 x1< x2，
∴ ( ) ( )= + 1600 + 1600 = ( - )+ 1600(x2- x1) = (x1- x2) (x1x2- 1600)t x1 t x2 x1 x x2 x1 x21 x2 x1x2 x1x2
由 0< x1< x2≤ a< 40，得 0< x1x2< 1600，x1 x2< 0，x1x2 1600< 0，
∴ t(x1) t(x2)> 0，即 t(x1)> t(x2)．∴ t(x)在 (0,a]单调递减．
∴在 x= a时，f(x) 1600min= 240000+ 720 a+ a ． 11分
答:(1) f(x) = 240000+ 720 x+ 1600x (0< x≤ a)；
·5·
(2)当 a≥ 40时，f(x)min= 297600，当 0< a< 40时，f(x)min= 240000+ 720 a+ 1600a . 12分
20.解：(1)四棱柱ABCD A1B1C1D1是长方体，且其长、宽、高分别为 5、4、3，其直观图如下图：
D1 C1
A1 B1
D C
A B
(2)长方体的对角线长即为外接球面直径，设为 2R，
则外接球面的面积为S＝ 4πR2＝ π（52+ 42+ 32）= 50π
(3)四面体ACB1D1的体积为V＝V长方体－ 4V三棱锥B1－ABC＝ 60 40= 20
21.解：(1)f(x) = (cos2x+ sin2x) (cos2x sin2x) sin2x= cos2x sin2x= 2sin 2x+ 3π4
∴ f(x) 2π的最小正周期T= 2 = π．
2kπ π ≤ 2x+ 3π ≤ 2kπ+ π ,k∈ Z kπ 5π由 2 4 2 得 8 ≤ x≤ kπ
π
8 ,k∈ Z
∴ f(x)的单调递增区间为 kπ
5π π
8 ,kπ 8 (k∈ Z) 6分
(2) f A由 2 = 2sin A+
3π
4 = 0
π
，由A为锐角，得A= 4．
由余弦定理 a2= b2+ c2- 2bccosA，得 4= b2+ c2 2bc≥ 2bc 2bc．
∴ bc≤ 4+ 2 2，当且仅当 b= c时等号成立．
∴S = 1ΔABC 2 bcsinA≤ 2+ 1．∴△ABC面积的最大值为 2+ 1． 12分
22. 解：(Ⅰ)因为数列 {an}的前n项和Sn= 3n 1，
所以 a =S S = (3n 1) (3n 1n n n 1 1) = 2.3n 1(n≥ 2).
因为n= 1时，a1=S1= 2，也适合上式， 所以 a = 2.3n 1n (n∈N *). 3分
(Ⅱ) (ⅰ)证明：当n≥ b b b b2时，b = 3b n-1n n-1+ 2× 3 ，将其变形为 n = n-1 + 2，即 n n 1 = 2，3n-1 3n-2 3n 1 3n 2
b b
数列 n 1 n 1 是首项为 0 = 1，公差为 2的等差数列. 6分3 3
( bⅱ)解：由 (ⅰ)得， nn 1 = 1+ 2(n 1) = 2n 1，所以 bn= (2n 1) 3
n 1(n∈N *). 因为 T
3 n
= 1× 30+ 3× 31+ 5× 32+ +(2n 1) 3n 1，
所以 3Tn= 1× 31+ 3× 32+ 5× 33+ +(2n 1) 3n，
两式相减得 2Tn= 1 2(31+ 32+ +3n 1) + (2n 1) 3n，整理得Tn= (n 1) 3n+ 1(n∈N *). 12分
∴Tn-n 3n=-3n+ 1<-80，即 3n> 81．∴n≥ 5，nmin= 5．. 12分
·6·射洪市高 2021级 2022年下期入学考试
数 学 试 题
本试卷分第 I卷 (选择题)和第 II卷 (非选择题)两部分。总分 150分。考试时间 120分钟。
第Ⅰ卷 (选择题，满分 60分)
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形
码粘贴是否正确。
2．选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写在
答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
1.已知集合M= 2, 1,0,1,2 ，N= x (x+ 1) (x 2)< 0 ，则M∩N= ( )
A. 1,0 B. 0,1 C. 1,0,1 D. 0,1,2
2. cos20°cos70° sin160°sin70° = ( )
A. 0 B. 12 C.
3
2 D. 1
3.已知向量 a= 1，-2 ，b= m，3-m ，若 a b，则m= ( ) D
A. - 3 B. - 2 C. 1 D. 2
4.若 tanα= 3 π，则 tan α 4 = ( )
A. 2 B. 2 C. 12 D.
1
2
5.已知等比数列 an 满足 a1= 3，a1+ a3+ a5= 21，则 a3+ a7= ( )
A. 18 B. 24 C. 30 D. 42
6. 已知 log2a> log2b，则下列不等式一定成立的是 ( )
a b
A. 1 > 1 B. 1 < 1a 2 2 C. log
a-b
b 2 a- b > 0 D. 2 < 1
7.圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根
直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照
·1·
射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最 夏至正午阳光
冬至正午阳光
长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏 A
至.如图是根据蚌埠市（北纬 32.92°）的地理位置设计
圭面
的圭表的示意图，已知蚌埠市冬天正午太阳高度角 D B
南 北
C 圭
（即∠ABC）约为 80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间 夏至线 冬至线
的距离（即BD的长）为 7米，则表高（即AC的长）约为（已知 tan33.65° ≈ 23 ，tan80.51° ≈
29
5 ）
A. 4.36米 B. 4.83米 C. 5.27米 D. 5.41米
8.在△ABC中，已知 a= 2bcosC，且 sin2A= sin2B+ sin2C，则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D.等边三角形
9.等比数列 {an}的各项均为正数，且 a5a6+ a4a7= 16，则 log2a1+ log2a2+ +log2a10= ( )
A. 20 B. 15 C. 8 D. 3+ log25
10.已知△ABC的三边分别是 a，b，c，设向量m= (sinB- sinA， 3a+ c)，n= (sinC，a+ b)，且m∥ n，则
B的大小是 ( )
A. π B. 5π C. π D. 2π6 6 3 3
11.在锐角三角形中，abc分别是内角ABC的对应边，设A= 2C 2c，则
c+ 的取值范围是 ( )b
A. 2 1 B. 13 ， 2 ，1 C. 1，+∞ D.
1
2 ，+∞
12.△ABC满足 AB AC = 2 3，∠BAC = 60 °，设 M是 △ABC内的一点（不在边界上），定义 f M =
x，y，z ，其中 x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若 f M = x，y 3，2
1
，则 x +
9
y 的最小
值为 ( )
A. 24 B. 9 C. 16 D. 323
第Ⅱ卷 (非选择题，满分 90分)
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题 (本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分.)
13.数列 {an}前n项和为Sn，其中Sn是首项为 5，公比为 5的等比数列，则 an=______
14.已知向量 a与 b的夹角为 45°,|a| = 2,|b| = 4, 则 |a- b| =________.
15.设 α为锐角，若 cos α+ π6 =
3 π
5 ，则 tan α- 12 =___________.
16.将函数 f x = 4cos π
2
x 的图像与直线 g x = x- 1的所有交点从左至右依次记为A1，A2，A3， An，
若P 0，1 ，则 PA1+PA2+ +PAn =________.
·2·
三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17. (10分)已知函数 f(x) =-3x2+ a(5- a)x+ b.
(Ⅰ)当不等式 f(x)> 0的解集为 (-1,3),求实数 a,b的值；
(Ⅱ)若对任意的实数 a,若不等式 f(2)< 0恒成立,求实数 b的取值范围.
18. (12分)已知各项都不相等的等差数列 {an}，a6= 6，又 a1，a2，a4成等比数列．
(Ⅰ)求数列 {an}的通项公式；
(Ⅱ)设 bn= 2an+ (-1)nan，求数列 {bn}的前 2n项和T2n.
19. (12分)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 4800m3，深为 3m，如果池底每平方米的造价
为 150元，池壁每平方米的造价为 120元．设长方体底面长为 xm，由于地形限制,0< x≤ a，水池总造价为 f
(x)元．
(Ⅰ)求 f(x)的解析式；
(Ⅱ)求 f(x)的最小值．
·3·
20. (12分)如图，是四棱柱ABCD A1B1C1D1的三视图. 5 4
(Ⅰ)判定四棱柱是何种几何体，并画出其的直观图；
3
(Ⅱ)求四棱柱ABCD A1B1C1D1的外接球面的面积
( ) 正视图 侧视图Ⅲ 求四面体ACB1D1的体积；
俯视图
21. (12分)已知函数 f(x) = cos4x 2sinxcosx sin4x．
(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ)求函数 f(x)在区间 0,
π
2 上的值域
(Ⅲ)在锐角ΔABC A中，角A、B、C的对边分别为 a，b，c，若 f 2 = 0，a= 2，求ΔABC面积的最大值．
22. (12分)已知数列 {an}的前n项和S = 3nn 1，其中n∈N *.
(Ⅰ)求数列 {an}的通项公式；
(Ⅱ)若数列 {bn}满足 b1= 1，bn= 3bn 1+ an(n≥ 2)，
( bⅰ)证明：数列 n n 1 为等差数列；3
(ⅱ)设数列 {bn}的前n项和为Tn,求Tn-n 3n<-80成立的n的最小值.
·4·
