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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第四章：图形的相似
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．若y﹣2x＝0，则x：y等于（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
2．已知，，且，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，DEFGBC．若，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点D、E位于的两边上，下列条件能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，点O是四边形ABCD内一点，、、、分别是OA、OB、OC、OD上的点，且，若四边形的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2
6．如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线同一平面内），图中相似而不全等的三角形有几对（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在中，，分别是边上的中线与高，，的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（ ）个
①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
10．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．如图所示，若∠AED＝∠B，且：4：21，则AD：AC＝_______．
12．如图，路灯A与地面的距离米，身高1.6米小明与路灯底部的距离米，则小明影子长_______米．
13．图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．
14．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．
15．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，则＝________________，＝________________．
三、解答题：（共55分）
16．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD=4DF，连接EF、BE，求证BE=2EF．
17．（8分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知，且．
(1)在边上求作点，使；
(2)在边上求作点，使，且与为对应点．
18．（8分）如图在中，D为AB边上一点，且．
(1)求度数；
(2)如果，求CD的长．
19．（8分）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
(1)求证：△ABP∽△PCD；
(2)若PC=2，求CD的长．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且，连接DE．
(1)求证：△ABD∽△ADE；
(2)若CD＝3，CE＝2，求AE的长．
21．（9分）如图，在中，，，为上一点，连接，分别过点、作，．
(1)求证：；
(2)若点满足：：，求的长；
(3)如图2，若点为中点，连接，求证：．
22．（9分）在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝2，点E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF．
(1)当BE＝EF时．
①求证：FH＝AE；
②当DEF的面积是时，求线段DE的长；
(2)如图2，当BE＝EF，且射线FE经过CD的中点时，请直接写出线段FH长．
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第四章：图形的相似
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．若y﹣2x＝0，则x：y等于（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
解：，
，
，
故选：A．
2．已知，，且，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴4c＝3d，所以A选项不符合题意；
∵，且b+d≠0，
∴＝，所以B选项符合题意；
∵，∴，
∴＝＝，所以C选项不符合题意；
∵，
∴＝＝，所以D选项不符合题意．
故选：B．
3．如图，DEFGBC．若，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
解：∵DB=4FB，
，
，
，
故选B．
4．如图，点D、E位于的两边上，下列条件能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵AD CE＝AE BD，
∴，
∴DEBC，
故选：C．
5．如图，点O是四边形ABCD内一点，、、、分别是OA、OB、OC、OD上的点，且，若四边形的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2
解：∵OA′：A′A＝OB′：B′B＝OC′：C′C＝OD′：D′D＝2：1，
∴OA′：OA＝OB′：OB＝OC′：COC＝OD′：DO＝2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为：4：9，
∵四边形A′B′C′D′的面积为12cm2，
∴四边形ABCD的面积为：27cm2．
故选：B．
6．如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当AB2＝AP AC时，则＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、当AB BC＝AC BP时，
则＝，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
7．将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线同一平面内），图中相似而不全等的三角形有几对（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：图中相似而不全等的三角形有：△ADE∽△BAE，△CDA∽△ADE，△BAE∽△CDA．
∵△BAC和△AGF都是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠FAG＝45°，
∴∠BAE＝∠ADE＝45°+∠BAD；
∵△EAD和△EBA中，∠AED是公共角，
∴△ADE∽△BAE；
同理，可得△CDA∽△ADE．
∴△BAE∽△CDA．
故选：C．
8．如图，在中，，分别是边上的中线与高，，的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵S△ABC= =24， AE=8，
∴BC=6，
∵AD是BC上的中线，
∴CD=BC=3．
故选：B．
9．如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（ ）个
①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴，
∵，
∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误，
∵S△ACB=AC BC=AB CD，
∴BC AC=AB CD，故②正确，
∵△CBD∽△ABC，
∴，
∴，
∴BD=2或-10（舍弃），
在Rt△CDB中，CD=，故③正确，
故选：A．
10．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
解：设每个小正方形的边长为1，则
①△ABC的各边长分别为1、、．
②△ACD的各边长分别为1、、2 ；
③△ADE的各边长分别为2、2 、2 ；
④△AEF的各边长分别为2、2、6；
⑤△AGH的各边长分别为、2、；
∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH，
故选A．
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．如图所示，若∠AED＝∠B，且：4：21，则AD：AC＝_______．
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴
故答案为：
12．如图，路灯A与地面的距离米，身高1.6米小明与路灯底部的距离米，则小明影子长_______米．
解：根据题意得CDAB，
∴ EDC~ EBA，
∴，
∴，
∴DE=5米，
故答案为：5．
13．图，，直线、与、、分别相交于点A、、和点、、．若，，，则______．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为4．
14．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．
解∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
15．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，则＝________________，＝________________．
解：∵NF＝AN+FD，
∴，即，
根据翻折的性质可知BF＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴AD＝BF，
∴．
过点N做NG⊥BF交BF于点G，过点F做FH⊥BC交BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，FH⊥BC，
∴∠A＝90°，ADBC，AB＝CD＝FH，
∵BN是∠ABF的角平分线，NG⊥BF，
∴AN＝NG，AB＝BG，
∵ADBC，
∴∠NFG＝∠FBH，
∵∠NGF＝∠FHB＝90°，
∴△NFG∽△FBH，
∴
∴，
设AN＝m，NF＝n，则AB＝BG＝2m，BF＝2n，
由勾股定理AB2+AF2＝BF2，
则（2m）2+（m+n）2＝（2n）2，
化简得5m2+2mn﹣3n2＝0，
解得m＝n或m＝﹣n（舍去），
∴AB＝n，
而BC＝BF＝2n，
∴．
故答案为：，．
三、解答题：（共55分）
16．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD=4DF，连接EF、BE，求证BE=2EF．
解：设，
在正方形中，
，
，，
，
，
∴BE：EF=AB：DE=1：2，
∴BE=2EF．
17．（8分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知，且．
(1)在边上求作点，使；
(2)在边上求作点，使，且与为对应点．
（1）解：如图，点D为所作；
；
（2）解：如图，点E为所作．
18．（8分）如图在中，D为AB边上一点，且．
(1)求度数；
(2)如果，求CD的长．
（1）解：，
．
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
19．（8分）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
(1)求证：△ABP∽△PCD；
(2)若PC=2，求CD的长．
（1）证明：∵等边三角形ABC，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠CPD=120°，
在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，
由（1）得△ABP∽△PCD，
，
∴，
∴CD=．
答：CD的长为．
20．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且，连接DE．
(1)求证：△ABD∽△ADE；
(2)若CD＝3，CE＝2，求AE的长．
（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵AD2＝AE AB，
∴，
∴△ABD∽△ADE；
（2）解：∵△ABD∽△ADE，
∴∠ADB＝∠AED．
∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD．
又∵∠DCE＝∠ACD，△DCE∽△ACD，∴，
∴，∴AC＝，∴AE＝AC﹣CE＝．
21．（9分）如图，在中，，，为上一点，连接，分别过点、作，．
(1)求证：；
(2)若点满足：：，求的长；
(3)如图2，若点为中点，连接，求证：．
（1）证明：，，
，，
又∵，
，
，
又，
≌，
；
（2）解：，，
∽，
，
设，则，
由（1）知，，
，
，
（负值已舍去），
，，
，
；
（3）解：延长，相交于点，
为的中点，
，
，，
∴AN∥BM，
，，
≌，
，
又，，
，
，
，
．
22．（9分）在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝2，点E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF．
(1)当BE＝EF时．
①求证：FH＝AE；
②当DEF的面积是时，求线段DE的长；
(2)如图2，当BE＝EF，且射线FE经过CD的中点时，请直接写出线段FH长．
（1）①证明：∵EH⊥AE，
∴∠FEH+∠HFE=90°，
∵四边形BEFG为矩形，
∴∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠HFE，
在△FHE与△EAB中，
，
∴△FHE≌△EAB（AAS），
∴FH=AE；
②解：∵△FHE≌△EAB，
∴AE=FH，
∵AD=6，
设DE=x，AE=6－x，
∴，
可得：，
解得：，，
即线段DE的长度为：或；
（2）解：FH⊥AE，
∴∠FEH+∠HFE=90°，
∵四边形BEFG为矩形，∴∠FEH＋∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠HFE，∴△FHE∽△EAB，
∴，
∵，∴，∴HE=2，
延长EF交DC于点Q，如图所示，
∵Q是CD的中点，∴，
设FH为x，则，则，
∵∠DEQ=∠FEH，=90°，
∴△EDQ∽△EHF，
∴，
∴，
解得：，，
∴线段FH长为或．
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