第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质和判定
一、教学目标
【知识与技能】
掌握直角三角形的两个锐角互余。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
【过程与方法】
会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。
【情感态度与价值观】
让学生体会从一般到特殊的思想。
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。
【教学难点】
经历直角三角形性质的探索过程，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。能利用直角三角形的性质和判定解决一些简单问题，会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。
五、课前准备
教师：课件、三角尺、量角器等。
学生：三角尺、直尺、量角器。
六、教学过程
（一）导入新课
本节课开始之前，先给大家讲一个故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.（出示课件2）
（二）探索新知
1.探索直角三角形的性质
教师问1：三角形的内角和是多少度？
学生回答：三角形内角和为180°.
教师问2：我们学习过的三角形按角分类，分为哪些呢？
学生回答：所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
今天我们将要一块儿学习三角形里面特殊又别致的一个三角形，大家知道是什么吗？出示直角三角形的图形：
学生回答：直角三角形.
教师讲解：那么老师说它不一般，而且很特殊，那它到底有些什么样的特殊地方呢？下面我就请大家作为探宝者，把它的秘密都给发掘出来
教师问3：如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度
（出示课件4）
学生回答：30°+60°=90°，45°+45°=90°.
教师让同学们利用手里的工具（直尺、量角尺）,随意构建任何大小的直角三角形，等同学们画完以后，让同位互换所画的三角形.
教师问4：请同学们量出自己手中的直角三角形的两个锐角，计算一下它们的和是多少度？
学生回答：两个锐角的和是90°.
教师问5：如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？如何证明呢？（出示课件5）
学生回答：在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得
∠A +∠B+∠C=180°， 即 ∠A +∠B=90°.
教师问6：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
学生回答：直角三角形的两个锐角互余.
教师总结：（出示课件6）
直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
探究1：利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数
例1：（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？（出示课件7）
师生共同解答如下:
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.（出示课件8）
师生共同解答如下：
解：∠A=∠C.
理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
出示课件9，学生自主练习解答。
例2：如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？（出示课件10）
师生共同解答如下：
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90 °– ∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE=90 °– ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
总结点拨：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？（出示课件12）
基本图形：
∠A=∠D ∠A=∠C
2.活动探究直角三角形的判定方法
教师问7：我们知道，直角三角形的两锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
学生讨论后回答：有两个角互余的三角形是直角三角形.
教师问8：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？（出示课件13）
学生小组讨论给出证明如下：
在△ABC中， 因为 ∠A +∠B +∠C=180°，
又 ∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°.
即△ABC是直角三角形.
教师总结：（出示课件14）
直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．
探究2：利用直角三角形的判定定理识别直角三角形
例：如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？（出示课件15）
师生共同解答如下：
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2，
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
例：如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？（出示课件17）
师生共同解答如下：
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
（三）课堂练习（出示课件20-23）
1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.
2. 如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C， 若∠BOD=38°，则∠A=________.
3. 在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个锐角的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A–∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
6. 如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（ ）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD和∠A D．∠BCD
7. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．
参考答案：
1. 90°
2. 52°
3. 直角三角形
4.B
5.D
6.C
7. 证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
1．直角三角形的内角有什么关系？
答：直角三角形的两锐角互余．
2．目前已学的直角三角形的判定方法：
答：(1)有一个角是直角；(2)两边互相垂直；(3)有两个角互余．
（五）课前预习
预习下节课（11.2.2）的相关内容。
知道三角形外角的定义和三角形外角的性质及外角和的度数
七、课后作业
1、教材14页练习和教材16页第4题
2、如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．
八、板书设计：
11.2.1三角形的内角（第2课时）
直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC
例1：
例2：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．
例3：
例4：
九、教学反思：
老师根据本节课同学们的课堂表现，积极反思教学过程，对这样的教学方法做出改进。了解同学们的自主学习、探索能力，为以后教学提供经验。第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
一、教学目标
【知识与技能】
应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.
【过程与方法】
通过小组学习,经历得出三角形内角和等于180°的过程,进一步提高学生利用所学知识解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
经历猜想、归纳、证明等过程,学会研究问题的方法.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
1.了解三角形的内角和等于180°.
2.利用三角形的内角和等于180°解答简单的数学问题.
【教学难点】
1.利用所学知识证明三角形内角和等于180°.
2.认识辅助线，了解辅助线的作法及作用.
3.独立完成证明过程.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、量角器、三角形纸等。
学生：三角尺、量角器、三角形纸、剪刀。
六、教学过程
（一）导入新课
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.（出示课件2）
（二）探索新知
探究1.三角形的内角和
教师问1：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C等于多少度？
学生回答：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
教师问2：这个结论你是如何得出的？
学生回答1：可以利用拼接的方法，如下图：（出示课件4）
学生回答2：将三角形的每个内角剪下，拼成一个平角，或者用量角器进行测量.（出示课件5-6）
计算如下：600＋480＋720＝1800
教师问3：利用这些方法得出的结论准确吗？学生回答：不准确(或准确).
教师讲解：如何得到准确的答案呢？我们一起进入下面的环节：
2.思考证明三角形的内角和定理
师生互动，探究新知
1.观察三角形的构成，探索三角形的概念
教师问4：如何用剪拼的方法验证△ABC的内角和等于180°？
学生回答：将△ABC的三个内角分别剪下，再拼成一个平角.如图①、图②，（出示课件7）
图① 图②
教师问5：测量的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
学生回答：如果图上虚线l存在就好了。
学生问：在图①、图②中，直线l是存在吗？
教师答：它们不存在，我们可以画上它们，帮助我们做题.
教师问6：看一下，在图①、图②中，直线l有什么特点呢？
学生回答：图①中的直线l∥BC，图②中的直线l∥AB，我们自己画上帮助证明用的.
教师问7：这种原图形中不存在，我们为了解题需要而自己加上的线被称之为辅助线.利用图①，你能想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？
学生回答：利用平行的性质和平角的定义可以证明.
教师问8：证明三角形内角和定理“三角形内角和等于180°”.
学生回答：（出示课件8）
已知：△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明1：如图，过点A作直线l，使l∥BC.
∵l∥BC，∴∠1＝∠B(两直线平行，内错角相等).
同理，∠2＝∠C.
∵∠1，∠BAC，∠2组成平角，
∴∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角定义).
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)，
即∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
证明2：（出示课件9）
延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
教师问9:同学们还有其他的方法吗？
学生回答：有如下证明的方法：
（出示课件10）证明3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
学生问：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
教师答：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
还有下边的辅助线，同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.（出示课件12）
总结点拨：（出示课件13）
1.作辅助线
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
2. 思路总结
为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
探究2.利用三角形的内角和定力求角的度数
例1：如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
（出示课件14）
师生共同解答如下：
解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°–∠B –∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
出示课件15-17，完成练习
例2：如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D.
（出示课件18）
师生共同解答如下：
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.
出示课件19，完成练习
总结点拨：（出示课件20）
基本图形：
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
基本图形：
由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D.
探究3.方程的思想与三角形内角和定理的综合应用
例3：在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
师生共同解答如下：（出示课件21）
解: 设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°.
方法点拨： 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解.
出示课件22-24，学生自己思考解答
探究4.利用三角形的内角和定理解决实际问题（方位问题）
例4：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？（出示课件25）
师生共同解答如下：（出示课件26）
解： ∠CAB= ∠BAD– ∠CAD=80 °– 50°=30°.
由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °– ∠BAD=180°–80°=100°，
∠ABC= ∠ABE– ∠EBC=100°–40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB =180 °– ∠ABC– ∠ CAB
=180°–60°–30° =90°，
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
（三）课堂练习（出示课件30-34）
1.求出下列各图中的x值．
2. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=________．
3. 如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
4. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
5. 如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.
6. 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？
参考答案：
1. x=70 x=60 x=30 x=50
2. 100°
3. 280 °
4. 解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C）
=180°–（78°+60°）
=42°．
5. 解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°–∠B –∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°.
6. 解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°–60°=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°–（∠ABC+∠ACB）
=180°–（180°–∠A）
=90°+∠A ．
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
1.本节主要学习三角形内角和等于180°.
2.本节涉及的思想方法是整体思想.
3.师生共同总结本节课需要注意的问题.
（五）课前预习
预习下节课（11.2.1）教材P13-P14的相关内容。
知道直角三角形的性质定理和判定定理
七、课后作业
1、教材13页练习1,2
2、在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
八、板书设计：
九、教学反思：
本节主要证明三角形内角和等于180°，是一节探讨课.
本节的部分知识内容学生早在小学就已经学过了，而本节课是要对以前所学内容进行有理有据的推论，所以在教学过程中，教师不仅要引导学生发现以前所得结论的不严谨，还要让学生能够从已有的知识出发，对已知结论进行论证.在解决问题时，教师要留给学生充分的思考与交流的时间，让学生开阔思路，让学生能够经历得出结论的过程，培养学生的逻辑思维能力.
在教学设计上，不仅关注学生的思考过程，还要关注学生的思考习惯.本节的证明较多，所以教师要让学生养成先理清思路，再下笔证明的习惯.
