高中数学人教A版（2019）必修第一册 1.2集合的基本关系教案

1.2集合间的基本关系
一、内容和内容解析
1.内容
集合之间的包含与相等的含义；子集、真子集与空集的概念；集合的Venn图表示．
2.内容解析
教科书关于集合安排了三节内容，第一节引入新的数学对象——集合，第二、三节研究这个数学对象．研究一个新对象时，类比已有的学习经验是一个好方法．本节类比实数，发现和提出“集合是否像实数一样具有相等关系、大小关系”的问题，抽象概括出包含关系，并从子集角度再认识相等关系．
包含关系是集合的基本关系，包含关系和相等关系也都是从元素与集合之间的关系定义集合之间的关系．也就是说，当我们判断集合间关系时，其实是回归到了元素与集合的关系．明确了这一点，对于辨析属于关系、包含关系及理解其符号表示都是很有帮助的．如“A B”就是“对于任意，”．
符号化是数学的重要特征．在集合的学习中，需要建立符号表示和数学意义之间的联系，Venn图则是梳理集合间的关系以及后面所学的运算的直观且有效的工具．通过各种问题，建立自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）之间的联系，有利于表示数学问题，也有助于提升学生数学抽象素养．
结合以上分析，确定本节课的教学重点：集合间包含与相等的含义．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解集合之间的包含与相等的含义；
（2）能识别给定集合的子集，了解空集含义；
（3）能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）会通过类比实数间关系，发现和提出需要研究的问题；能从元素与集合间关系的角度，分析两个集合之间的包含与相等关系，并用符号语言、图形语言表示这些关系；体会到研究数学新对象的基本方法．
（2）对于具体的集合，能写出集合的子集；能判断一个集合是否是另一个集合的子集；知道空集也是一个集合，以及空集与其他集合的关系．
（3）在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）的转换，熟悉符号语言和图形语言的表述方式，并能有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学抽象经验．
三、教学问题诊断分析
学生在义务教育阶段数学学习中，已经接触过集合，对于数集、点集等有了一定的感性认识.从初中到高中，从直观到抽象，了解集合的含义及其性质，并不困难．难点在于两种关系的识别——元素与集合、集合与集合，特别是符号语言的表述，提升了这部分内容学习的抽象度，例如，｛a｝ A与，A B与B A，A B等．
此外，对于空集这个特殊的集合，由于其本质特征“不含任何元素”无法用列举法或描述法直观地表达出来，所以用一个单独的符号“”来标记．看不见、摸不着，这也是让学生感到困难的原因．另外，空集也容易和一些集合混淆，比如集合“｛0｝”，“｛0｝”是含有一个元素的集合，集合中的元素是“0”，而是不含任何元素的，因此与｛0｝之间的关系是 ｛0｝． Comment by cws: Comment by yue kang: 解决
本节课的教学难点是集合基本关系的符号表述及识别，对空集的了解．
四、教学过程设计
（一）概念的引入
问题1：上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题？用什么方法研究？
师生活动：学生独立思考、讨论交流．
教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“实数”；然后指引学生回顾实数研究了哪些内容，如实数间的关系、实数的运算等；最后确定集合的研究问题：集合间的关系，集合的运算．
设计意图：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法，通过类比实数关系、特别是因数这样的关系，联想集合关系，提出要研究的问题．
问题2：阅读教科书第7页“观察”，类比实数之间的相等关系、大小关系，集合与集合之间有哪些关系？
师生活动：学生独立观察，充分思考，交流讨论．
根据学生交流讨论情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问．
追问：（1）你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？（从元素与集合之间的关系来分析每组两个集合间的关系．）
（2）请用集合的语言归纳概括上述三个具体例子的共同特点．（在每组的两个集合中，第一个集合中的任何一个元素都是第二个集合中的元素．）
（3）上述三组集合中，前两组的两个集合间的关系与第三组的两个集合间的关系有什么不同之处？（不同之处是前两组集合中，集合B中有的元素属于集合A，有的元素不属于集合A；第三组集合中，集合A中的任何一个元素都属于集合B，反过来，集合B中的任何一个元素也都属于集合A．）
师生活动：教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括成数学定义，介绍子集、包含关系和相等关系．
设计意图：让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论．这是一个提升学生数学抽象素养的时机．
（二）概念的理解
问题3：阅读教科书第7页观察之后至第8页思考之前的内容，你有什么疑问？
师生活动：让学生独立阅读这段内容，然后分别提出自己感到困惑的问题．
教师根据学生的回答情况，可以选择以下问题进行追问．
追问：（1）举几个具有包含关系、相等关系的集合，并用符号语言和Venn图表示．
（2）子集和真子集的区别与联系是什么？
（3）什么是空集？举几个空集的例子．
（4）与实数中的结论“若，且，则”相类比，你对集合间的基本关系有什么体会？根据实数关系的其他结论，你还能猜想出哪些集合间关系的结论？
师生活动：根据学生举例的情况，教师可以补充一些例子，帮助学生提升对概念的理解，比如集合“｛0｝”是否为空集等例子．根据追问的问题（4），教师可以引导学生获得教科书第8页的两个结论．
设计意图：对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，通过阅读，熟悉自然语言、符号语言和图形语言，并建立它们之间的对应关系；通过阅读，提出自己的困惑，学会质疑，深入理解概念；通过举例子，抽象概念具体化，深入理解概念．
（三）概念的巩固应用
例1 写出集合｛a，B｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范．
设计意图：巩固子集和真子集的概念和性质，体会分类的原则和方法，为保证不重不漏，要按照一定顺序写出子集，比如可以根据子集中元素的个数分类．
例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
（1）A=｛1，2，3｝，B=｛x|x是8的约数｝；
（2）A=｛x|x是长方形｝，B=｛x|x是两条对角线相等的平行四边形｝．
师生活动：学生判断，教师给出解答示范．
设计意图：检验学生对子集概念的掌握情况，进一步明确判断两个集合之间关系的基本方法——定义法．
练习：
1．若｛1，2，3｝ A ｛1，2，3，4，5｝，则满足条件的集合A的个数为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：让学生理解集合的个数与元素的关系。
2．已知集合A=｛x|1≤x＜6｝，B=｛x|x+3≥4｝，则A与B的关系是（ ）．
A．A B B．A=B C．B A D．B A
【答案】A
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：检验学生对于子集的理解．
课堂检测：
1．集合A=｛x|(x3)(x+)=0｝，B=｛x|=0｝，则A与B的关系是（ ）．
A．A B B．A=B C．A B D．B A
【答案】D
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：检验学生对集合和子集的理解．
2．已知集合A=｛x|5＜x＜2｝，B=｛x|2a3＜x＜a2｝．
（1）若a=1，试判断集合A，B之间是否存在子集关系；
（2）若A B，求实数a的取值范围．
【答案】（1）B是A的真子集．
（2）a≥1．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
设计意图：这题相对有一定难度，考察学生对于空集的理解，估计很多学生会忽略空集的情况，这也是今后学习时一个重要的考虑情况．
（四）归纳总结、布置作业
教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：
（1）两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？
（2）你是如何研究集合间基本关系的？
（3）包含关系与属于关系有什么区别？比如{a} A与a∈A？
设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．
布置作业：教科书习题1.2第1，2，3，4．