数学人教A版2019选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程（共28张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版2019选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程（共28张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 44.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-06 21:32:31 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
3.2.1双曲线及其标准方程
Conic Section
第三章 圆锥曲线的方程
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷.却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.
本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
目录
CONTENTS
1
2
3
4
探究双曲线的轨迹及定义
双曲线的标准方程
典型例题及课堂练习
课后小结与预习
壹
第一部分
探究双曲线的轨迹及定义
我们知道，平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的.轨迹是椭圆.一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么 下面我们先用信息技术探究一下.
第一部分
探究 如图3.2-1，在直线[上取两个定点A，B, P是直线l上的动点。在平面内，取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2| <|AB|， 那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆;如果|F1F2| >|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.
图3.2-1
第一部分
探究如图3.2-2,在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件 两圆的交点M的轨迹是什么形状
图3.2-1
第一部分
当点M靠近定点F1时
|MF2|- |MF1|=|AB|
总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|< |F1F2|).这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，
当点M靠近定点F2时
|MF1|- |MF2|= |AB|
第一部分
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola). 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
1. 双曲线的定义:
第一部分
2. 双曲线的绘制方法:
贰
第二部分
双曲线的标准方程
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程
第二部分
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2,是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2,的垂直平分线为y轴，建立如图3.2-3所示的平面直角坐标系Oxy.设M(x, y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1, F2的坐标分别是(-c,0),(c, 0)，又设| |MF1|- |MF2| | =2a (a为大于0的常数).
图3.2-3
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合:
P= {M |||MF1|-|MF2||=2a, 0<2a<|F1F2|}.因为
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合:
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得
第二部分
图3.2-3
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，其中b>0，代人上式，得
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x, y)都是方程②的解;以方程②的解为坐标的点(x, y)与双曲线的两个焦点F1(-c，0)，F2(c, 0)的距离之差的绝对值都为2a,即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1 (-c，0)，F2 (c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
第二部分
图3.2-4
x
y
O
M(x,y)
思考： 类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么
如图3.2-4，双曲线的焦距为2c,焦点分别是F1(0，-c),F2(0，c), a, b的意义同上，这时双曲线的方程是
这个方程也是双曲线的标准方程.
F1
F2
第二部分
双曲线两种标准方程的特点
如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
叁
第三部分
典型例题及课堂练习
例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.
第三部分
x
F1
F2
y
O
P(x,y)
第三部分 课堂练习
第三部分 课堂练习
证明:
第三部分 课堂练习
第三部分 课堂练习
解:
∴爆炸点P的轨迹是以A, B为焦点的双曲线的右支.因此x≥340
例2 已知A, B两地相距800m, 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s, 且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：如图3.2-5示建立直角坐标系xOy, 使A, B两点在x轴上, 并且点O与线段AB的中点重合，
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
第三部分
x
A
B
y
O
P(x,y)
设炮弹爆炸点P的坐标为(x ,y),则
如图3.2-5
利用两个不同的观测点A,B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线的方程，如果再增设一个观测点C ,利用B , C(或A , C) ，两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点P所在另一双曲线的方程。解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置，这是双曲线的一个重要应用.
第三部分
x
A
B
y
O
x
y
O,
C
P(x,y)
探究 如图3-2.6, 点A, B的坐标分别是(-5, 0), (5, 0), 直线AM, BM相交于点M, 且它们的斜率之 积是 , 试求点M的轨迹方程, 并由点M的轨迹方程判断轨迹的形式, 与3.1例3比较, 你有什么发现
解：
由方程可知，点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线.
x
A
B
y
O
M(x,y)
4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么 为什么
解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
直线AM的斜率为
直线BM的斜率为
第三部分 课堂练习
x
y
B
M
O
A
肆
第四部分
课后小结与预习
第四部分 小结
焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.
焦点在y轴的椭圆y2项系数为正.
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
c2-a2=b2
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
01
02
03
04
05
3.1.1椭圆及标准方程
3.1.2椭圆的简单几何性质
3.2.1双曲线及标准方程
3.2.2双曲线的简单几何性质
3.3.1抛物线及标准方程
06
3.2.2双曲线的简单几何性质
第四部分 预习
3.2.1双曲线及其标准方程
Conic Section
第三章 圆锥曲线的方程
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷.却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.
本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
目录
CONTENTS
1
2
3
4
探究双曲线的轨迹及定义
双曲线的标准方程
典型例题及课堂练习
课后小结与预习
壹
第一部分
探究双曲线的轨迹及定义
我们知道，平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的.轨迹是椭圆.一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么 下面我们先用信息技术探究一下.
第一部分
探究 如图3.2-1，在直线[上取两个定点A，B, P是直线l上的动点。在平面内，取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2| <|AB|， 那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆;如果|F1F2| >|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.
图3.2-1
第一部分
探究如图3.2-2,在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件 两圆的交点M的轨迹是什么形状
图3.2-1
第一部分
当点M靠近定点F1时
|MF2|- |MF1|=|AB|
总之，点M与两个定点F1, F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|< |F1F2|).这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
我们发现，在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，
当点M靠近定点F2时
|MF1|- |MF2|= |AB|
第一部分
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola). 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
1. 双曲线的定义:
第一部分
2. 双曲线的绘制方法:
贰
第二部分
双曲线的标准方程
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程
第二部分
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2,是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2,的垂直平分线为y轴，建立如图3.2-3所示的平面直角坐标系Oxy.设M(x, y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1, F2的坐标分别是(-c,0),(c, 0)，又设| |MF1|- |MF2| | =2a (a为大于0的常数).
图3.2-3
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合:
P= {M |||MF1|-|MF2||=2a, 0<2a<|F1F2|}.因为
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合:
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得
第二部分
图3.2-3
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0.类比椭圆标准方程的建立过程，令b2=c2-a2，其中b>0，代人上式，得
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x, y)都是方程②的解;以方程②的解为坐标的点(x, y)与双曲线的两个焦点F1(-c，0)，F2(c, 0)的距离之差的绝对值都为2a,即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1 (-c，0)，F2 (c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
第二部分
图3.2-4
x
y
O
M(x,y)
思考： 类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么
如图3.2-4，双曲线的焦距为2c,焦点分别是F1(0，-c),F2(0，c), a, b的意义同上，这时双曲线的方程是
这个方程也是双曲线的标准方程.
F1
F2
第二部分
双曲线两种标准方程的特点
如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
叁
第三部分
典型例题及课堂练习
例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.
第三部分
x
F1
F2
y
O
P(x,y)
第三部分 课堂练习
第三部分 课堂练习
证明:
第三部分 课堂练习
第三部分 课堂练习
解:
∴爆炸点P的轨迹是以A, B为焦点的双曲线的右支.因此x≥340
例2 已知A, B两地相距800m, 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s, 且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：如图3.2-5示建立直角坐标系xOy, 使A, B两点在x轴上, 并且点O与线段AB的中点重合，
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
第三部分
x
A
B
y
O
P(x,y)
设炮弹爆炸点P的坐标为(x ,y),则
如图3.2-5
利用两个不同的观测点A,B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线的方程，如果再增设一个观测点C ,利用B , C(或A , C) ，两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点P所在另一双曲线的方程。解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置，这是双曲线的一个重要应用.
第三部分
x
A
B
y
O
x
y
O,
C
P(x,y)
探究 如图3-2.6, 点A, B的坐标分别是(-5, 0), (5, 0), 直线AM, BM相交于点M, 且它们的斜率之 积是 , 试求点M的轨迹方程, 并由点M的轨迹方程判断轨迹的形式, 与3.1例3比较, 你有什么发现
解：
由方程可知，点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线.
x
A
B
y
O
M(x,y)
4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么 为什么
解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
直线AM的斜率为
直线BM的斜率为
第三部分 课堂练习
x
y
B
M
O
A
肆
第四部分
课后小结与预习
第四部分 小结
焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.
焦点在y轴的椭圆y2项系数为正.
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
c2-a2=b2
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
01
02
03
04
05
3.1.1椭圆及标准方程
3.1.2椭圆的简单几何性质
3.2.1双曲线及标准方程
3.2.2双曲线的简单几何性质
3.3.1抛物线及标准方程
06
3.2.2双曲线的简单几何性质
第四部分 预习