1.1.2菱形的性质与判定 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
北师大版九年级上册
第一章
特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定(二)
一、复习回顾
回顾：菱形有什么性质？
菱形的性质
轴对称 既是中心对称图形又是轴对称图形
边 1.对边平行且相等；2.四条边都相等
角 1.对角相等，邻角互补
2.每条对角线平分一组对角
对角线 互相垂直平分
计算 周长=边长的四倍
A
D
C
B
二、探究新知
思考：菱形是特殊的平行四边形，请问当平行四边形满足什么条件时，会变成菱形吗？
A
B
C
D
平行四边形ABCD
A
B
C
D
菱形ABCD
定义法—有一组邻边相等的平行四边形是菱形
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=BC,
∴ 四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
菱形的判定方法一：
在一个平行四边形中，绕着对角线的中点，转动两条对角线，当两条对角线转动到什么位置时，这个平行四边形变成菱形
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
探究活动一
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知：如图,在□ ABCD中,对角线AC与BD交于点O，
AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又 ∵AC⊥BD
∴BD是线段AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定方法二
探究活动二
请准备好四根长度相等的木条(或笔芯)，首尾相接摆放在一起。观察所摆放的四边形是什么样的四边形？由此你能得到什么结论？
猜想：四条边相等的四边形是菱形
A
B
C
D
证明：在四边形ABCD中,AB=CD，BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
求证：四条边都相等的四边形是菱形
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
菱形的判定方法三
定理：四条边相等的四边形是菱形
几何语言：
∵四边形ABCD中
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
1. 已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个以AC 为对角线的菱形ABCD吗？
议一议：
小皓同学的做法：
分别以A,C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B,D，依次连接A,B,C,D，则四边形ABCD为菱形
你能说说这样做的道理吗？
四条边相等的四边形是菱形
2.你能用折纸方法得到一个菱形吗？动手试试
议一议：
小鹏同学的做法：先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到一个菱形
你能说说这样做的道理吗？
四条边相等的四边形是菱形
总结归纳
菱形的判定方法 几何语言
定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵□ABCD， AB=BC,
∴ 四边形ABCD是菱形
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵□ABCD， AC⊥BD,
∴ 四边形ABCD是菱形
定理 四条边相等的四边形是菱形 ∵四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
证明：在△AOB中.
∵AB= , OA=2，OB=1.
∴AB2=AO2+OB2.
∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).
例1：已知：如图，在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，AB= ,OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
三、典提精析
例2:已知：如图，在□ ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形BCFD是菱形
B
A
D
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴ ∠ ABD= ∠BDC
∵ BD平分∠ABC
∴ ∠ ABD= ∠CBD
∴ ∠BDC= ∠CBD
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形．
三、典提精析
四、巩固练习
1. 如图，要使□ ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
AC=AD
B. BA=BC
C. ∠ABC=90°
D. AC=BD
B
四、巩固练习
2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.BA=BC
B.AC，BD互相平分
C.AC=BD
D.AB∥CD
B
四、巩固练习
3.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （ 　）
A. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
B. AB=BC=CD=DA
C. AB=BC，AD=CD，AC ⊥BD
D. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
A
B
C
O
D
C
4.如图，在△ABC中，AB= AC ，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，连接DE， DF.
求证：四边形AEDF是菱形．
四、巩固练习
C
A
B
D
E
F
证明：∵点D，E分别BC，AB的中点，
∴DE = AC，DE ∥ AF
同理， DF = AB，DF ∥ AE
∴四边形AEDF是平行四边形
∵ AC=AB
∴ DE = DF
∴四边形AEDF是菱形．
四、巩固练习
C
A
B
D
E
F
C
A
B
H
E
F
证明：∵ AB=AC， AH⊥BC
∴BH= HC
∵ FH=EH
∴四边形EBFC是平行四边形
又∵ AH⊥BC
∴四边形EBFC是菱形．
5.如图，在等腰△ABC中，AB= AC ，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH.
求证：四边形EBFC是菱形．
四、巩固练习
6.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BE⊥CD于点E，交AD的延长线于点F，连接CF，DC=2AD，AB=EB．
求证：(1)AD=DE；
(2)四边形BCFD是菱形．
四、巩固练习
证明:(1)∵∠A=90°，BE⊥CD
在Rt△BDA与Rt△BDE中，
AB=EB， BD=BD，
∴Rt△BDA≌Rt△BDE(HL)
∴AD=DE.
(2) ∵AD=DE，DC=DE+EC=2AD=2DE，∴DE=EC.
又∵AD∥BC， ∠DFB= ∠FBC, ∠FDC= ∠DCB
∴△DEF≌△CEB(AAS)
∴DF=BC.
∴四边形BCFD为平行四边形.
又∵BE⊥CD，
∴四边形BCFD是菱形．
菱形的判定方法 几何语言
定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵□ABCD， AB=BC,
∴ 四边形ABCD是菱形
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵□ABCD， AC⊥BD,
∴ 四边形ABCD是菱形
定理 四条边相等的四边形是菱形 ∵四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
五、课堂小结
六、布置作业
课本P7 习题1.2 第1，2，3题
谢谢聆听