云南省宣威市2021-2022学年高二下学期数学期末学业水平检测试卷
1．（2022高二下·宣威期末）设集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·宣威期末）若复数满足，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
3．（2022高二下·宣威期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·宣威期末）“ ”是“函数 的最小值大于4”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022高二下·宣威期末）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·宣威期末）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2022高二下·宣威期末）某校安排三个年级的课外活动，时间在周一至周五，要求每个年级只参加一次且每天至多安排一个年级且高三年级安排在另外两个年级的前面，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．40种 C．30种 D．20种
8．（2022高二下·宣威期末）已知是上的奇函数，且满足，当时，，则等于（ ）
A．-2 B．2 C．-98 D．98
9．（2022高二下·宣威期末）已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ）
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第74个数据的平均数
10．（2022高二下·宣威期末）已知圆与直线，则（ ）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交所截的最短弦长为
D．直线与圆可以相切
11．（2022高二下·宣威期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知 ，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过 三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为8π
D．该半正多面体的顶点数 、面数 、棱数 满足关系式
12．（2022高二下·宣威期末）已知函数 ，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的值可能是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022高二下·宣威期末）写出一个与向量的夹角为的向量 ．
14．（2022高二下·宣威期末）已知等比数列的前n项和为，公比．若，则 ．
15．（2022高二下·宣威期末）直线都是函数的对称轴，且函数在区间上单调递增，则函数的解析式为 ．
16．（2022高二下·宣威期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为 ．
17．（2022高二下·宣威期末） 的内角 所对的边分别为 .已知 ，且 .
（1）求 的面积；
（2）若 ，求 的周长.
18．（2022高二下·宣威期末）已知等差数列 的前 项和为 ，有 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
19．（2022高二下·宣威期末）如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，．
（1）求证：平面ADE；
（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值．
20．（2022高二下·宣威期末）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验．为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
分数
甲班频数 5 6 4 4 1
乙班频数 1 3 6 5 5
附：，其中．
临界值表
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为“成绩优良与教学方式有关”？
甲班 乙班 总计
成绩优良
成绩不优良
总计
（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．
21．（2022高二下·宣威期末）设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积．
22．（2022高二下·宣威期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】，或，则.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求出集合，再由补集和交集的概念计算即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意可得：，
则实部与虚部之和为.
故答案为：B.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得，分别求出实部与虚部相加即可.
3．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】平方得：，
即，解得：
故答案为：A
【分析】对平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求解.
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：若 ，则 的最小值为 ；
若 的最小值大于4，则 ，且 ，则 ，
故答案为：C．
【分析】若 时，根据基本不等式可求出 的最小值，再根据充分条件、必要条件的定义可得答案。
5．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设徒弟加工一个零件是精品的概率为，由是否加工出精品均互不影响可得，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，
解得，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率为.
故答案为：B.
【分析】设徒弟加工一个零件是精品的概率为，由独立事件概率乘法公式得，即可求得徒弟加工2个零件都是精品的概率.
6．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨取双曲线的左焦点，
则过点且与直线垂直的直线方程为，
根据题意，得点在直线上，
，.
故答案为：A
【分析】取双曲线的左焦点，由题得方程，化简即得解.
7．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】从周一到周五选择三天，共有，将选出来的三天安排三个年级，因为高三必须在前面，所以只需要对高一高二两个年级进行安排，共有.
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有
故答案为：D
【分析】根据分步乘法计数原理和排列组合，先选时间再安排年级即可求解.
8．【答案】A
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】因为是上的奇函数，则，，则，
函数周期为4，又，则.
故答案为：A.
【分析】先由奇函数结合求得函数周期为4，再由结合解析式求解即可.
9．【答案】C
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】若100个数据全为9.3，满足题意，但不满足A，A不符合题意；
当这100个数据均为9.3时，把这100个数据从小到大排列后，9.3不一定是第75个数据.B判断错误；
把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数.
则C判断正确，D判断错误.
故答案为：C
【分析】举反例否定选项AB；依据第75百分位数的定义去判断选项CD.
10．【答案】A,C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，圆的圆心，半径，
直线变形得，得直线过定点，
∵，
∴直线与圆必相交，A对，B、D不符合题意；
由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，
此时弦长为，C对；
故答案为：AC．
【分析】求出直线经过的定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案．
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】如图，
该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.
对于A， 因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为： ， 故正确；
对于B，过 三点的截面为正六边形 ，所以 ，故错误；
对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为 ，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积 ，故正确；
对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足 ，故正确.
故答案为：ACD
【分析】 根据几何体的构成可判断A ，由截面为正六边形可求面积判断B ，根据外接球为正四棱柱可判断C ，根据顶点，面数，棱数判断D.
12．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】∵曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，
∴ 有两个不同的解，
即得 有两个不同的解，
即的图象与 的图象有两个不同的交点，
，
∴当时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
∴时，y取得最小值 ，
又当时，，
函数图象如下：
∴当 时，的图象与 的图象有两个不同的交点，
结合选项可得实数a的值可能是 ， ；
故答案为：BC．
【分析】理解题意就是函数 的导函数存在两个不同的零点，讨论导函数的图象即可.
13．【答案】（1，0）（答案不唯一）
【知识点】向量的几何表示
【解析】【解答】由图可知，显然满足要求.
故答案为：（1，0）（答案不唯一）.
【分析】结合图象即可求解.
14．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意知，，解得或，又，则.
故答案为：.
【分析】由等比数列的求和公式化简求出公比即可.
15．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意，为的两条相邻的对称轴，且当时取得最小值，当时取得最大值.故周期，故，解得.又当时取得最大值，故，即，又，故.所以
故答案为：
【分析】根据题意可得为的两条相邻的对称轴，再根据周期求解，结合对称轴的表达式求解即可.
16．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
【分析】作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，结合求得，进而求出，即可求得抛物线方程.
17．【答案】（1）解：由 ，得 ，∴ ，
∵ ，∴ ，故 的面积 .
（2）解：由余弦定理得： ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
即 的周长为 .
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)由正弦定理角化边可得 ，然后利用面积公式可得 的面积 .(2)由题意结合余弦定理可得 ，则 的周长为 .
18．【答案】（1）解：设数列 的公差为 ，有 ，解得 ，有 ，因此，数列 的通项公式为 ；
（2）解：由（1）知 ，
有 ，
由 ，有 ，故有 ，由上知 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意列出关于 和 的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列 的通项公式；（2）由（1）得知 ，然后利用裂项法求出数列 的前 项和 ，即可证明出 .
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABEF为矩形
又平面ADE，AE平面ADE
平面ADE
又，
同理可得：平面ADE
又，BF，BC 平面BCF
∴平面平面ADE
又CF平面BCF
平面ADE
（2）解：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，
，，
设是平面CDF的一个法向量，则
即
令，解得
又是平面AEFB的一个法向量，
∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】根据，，从而证明平面平面 ，从而平面；
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可.
20．【答案】（1）解：由题意，列联表如下：
甲班 乙班 总计
成绩优良 9 16 25
成绩不优良 11 4 15
总计 20 20 40
零假设为：成绩优良与教学方式无关，由列联表计算可得，依据的独立性检验，有充分证据推断不成立，即认为“成绩优良与教学方式有关”；
（2）解：由（1）知，8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，，，所以的分布列为：
0 1 2 3
则
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先完善列联表，作出零假设，计算，和3.841比较即可作出判断；
（2）先由分层抽样求得8人中成绩不优良的人数，再分别计算为0，1，2，3的概率，列出分布列，计算期望即可.
21．【答案】（1）解：由题意得：，则，解得，则椭圆C的方程为：
（2）解：由（1）得，则直线BF方程，又可得P在线段OB垂直平分线上，
则，又P在椭圆上，解得，则，直线，联立和线BF可得，解得，则，则.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由得到，结合离心率为及解出，即可求得椭圆C的方程；
（2）先求出直线BF方程，再由及P椭圆上求出P点坐标，进而求得直线方程，联立求得点Q坐标，再由求解即可.
22．【答案】（1）解：易知的定义域为，.
当时，，所以在上为单调递增函数；
当时，若，则，若，则，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.
（2）证明：，则.
由题意可知，，是方程的两根，所以，，
由，所以，，
要证，需证.
，
令，则，
所以在上单调递增，所以.
所以，故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）的定义域为，. 分类讨论和两种情况，研究的正负，从而求得函数的单调区间；
（2）由题得，则，由 ， 是的两根 ，所以， ，需证，构造函数，即证，从而证得.
1 / 1云南省宣威市2021-2022学年高二下学期数学期末学业水平检测试卷
1．（2022高二下·宣威期末）设集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】，或，则.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求出集合，再由补集和交集的概念计算即可.
2．（2022高二下·宣威期末）若复数满足，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意可得：，
则实部与虚部之和为.
故答案为：B.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得，分别求出实部与虚部相加即可.
3．（2022高二下·宣威期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】平方得：，
即，解得：
故答案为：A
【分析】对平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求解.
4．（2022高二下·宣威期末）“ ”是“函数 的最小值大于4”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：若 ，则 的最小值为 ；
若 的最小值大于4，则 ，且 ，则 ，
故答案为：C．
【分析】若 时，根据基本不等式可求出 的最小值，再根据充分条件、必要条件的定义可得答案。
5．（2022高二下·宣威期末）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设徒弟加工一个零件是精品的概率为，由是否加工出精品均互不影响可得，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，
解得，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率为.
故答案为：B.
【分析】设徒弟加工一个零件是精品的概率为，由独立事件概率乘法公式得，即可求得徒弟加工2个零件都是精品的概率.
6．（2022高二下·宣威期末）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨取双曲线的左焦点，
则过点且与直线垂直的直线方程为，
根据题意，得点在直线上，
，.
故答案为：A
【分析】取双曲线的左焦点，由题得方程，化简即得解.
7．（2022高二下·宣威期末）某校安排三个年级的课外活动，时间在周一至周五，要求每个年级只参加一次且每天至多安排一个年级且高三年级安排在另外两个年级的前面，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．40种 C．30种 D．20种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】从周一到周五选择三天，共有，将选出来的三天安排三个年级，因为高三必须在前面，所以只需要对高一高二两个年级进行安排，共有.
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有
故答案为：D
【分析】根据分步乘法计数原理和排列组合，先选时间再安排年级即可求解.
8．（2022高二下·宣威期末）已知是上的奇函数，且满足，当时，，则等于（ ）
A．-2 B．2 C．-98 D．98
【答案】A
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】因为是上的奇函数，则，，则，
函数周期为4，又，则.
故答案为：A.
【分析】先由奇函数结合求得函数周期为4，再由结合解析式求解即可.
9．（2022高二下·宣威期末）已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ）
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第74个数据的平均数
【答案】C
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】若100个数据全为9.3，满足题意，但不满足A，A不符合题意；
当这100个数据均为9.3时，把这100个数据从小到大排列后，9.3不一定是第75个数据.B判断错误；
把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数.
则C判断正确，D判断错误.
故答案为：C
【分析】举反例否定选项AB；依据第75百分位数的定义去判断选项CD.
10．（2022高二下·宣威期末）已知圆与直线，则（ ）
A．直线与圆必相交
B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交所截的最短弦长为
D．直线与圆可以相切
【答案】A,C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，圆的圆心，半径，
直线变形得，得直线过定点，
∵，
∴直线与圆必相交，A对，B、D不符合题意；
由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，
此时弦长为，C对；
故答案为：AC．
【分析】求出直线经过的定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案．
11．（2022高二下·宣威期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知 ，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过 三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为8π
D．该半正多面体的顶点数 、面数 、棱数 满足关系式
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】如图，
该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.
对于A， 因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为： ， 故正确；
对于B，过 三点的截面为正六边形 ，所以 ，故错误；
对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为 ，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积 ，故正确；
对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足 ，故正确.
故答案为：ACD
【分析】 根据几何体的构成可判断A ，由截面为正六边形可求面积判断B ，根据外接球为正四棱柱可判断C ，根据顶点，面数，棱数判断D.
12．（2022高二下·宣威期末）已知函数 ，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】∵曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，
∴ 有两个不同的解，
即得 有两个不同的解，
即的图象与 的图象有两个不同的交点，
，
∴当时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
∴时，y取得最小值 ，
又当时，，
函数图象如下：
∴当 时，的图象与 的图象有两个不同的交点，
结合选项可得实数a的值可能是 ， ；
故答案为：BC．
【分析】理解题意就是函数 的导函数存在两个不同的零点，讨论导函数的图象即可.
13．（2022高二下·宣威期末）写出一个与向量的夹角为的向量 ．
【答案】（1，0）（答案不唯一）
【知识点】向量的几何表示
【解析】【解答】由图可知，显然满足要求.
故答案为：（1，0）（答案不唯一）.
【分析】结合图象即可求解.
14．（2022高二下·宣威期末）已知等比数列的前n项和为，公比．若，则 ．
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意知，，解得或，又，则.
故答案为：.
【分析】由等比数列的求和公式化简求出公比即可.
15．（2022高二下·宣威期末）直线都是函数的对称轴，且函数在区间上单调递增，则函数的解析式为 ．
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意，为的两条相邻的对称轴，且当时取得最小值，当时取得最大值.故周期，故，解得.又当时取得最大值，故，即，又，故.所以
故答案为：
【分析】根据题意可得为的两条相邻的对称轴，再根据周期求解，结合对称轴的表达式求解即可.
16．（2022高二下·宣威期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，
在直角三角形中，因为，，所以，从而得，
设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.
故答案为：.
【分析】作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，结合求得，进而求出，即可求得抛物线方程.
17．（2022高二下·宣威期末） 的内角 所对的边分别为 .已知 ，且 .
（1）求 的面积；
（2）若 ，求 的周长.
【答案】（1）解：由 ，得 ，∴ ，
∵ ，∴ ，故 的面积 .
（2）解：由余弦定理得： ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
即 的周长为 .
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)由正弦定理角化边可得 ，然后利用面积公式可得 的面积 .(2)由题意结合余弦定理可得 ，则 的周长为 .
18．（2022高二下·宣威期末）已知等差数列 的前 项和为 ，有 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】（1）解：设数列 的公差为 ，有 ，解得 ，有 ，因此，数列 的通项公式为 ；
（2）解：由（1）知 ，
有 ，
由 ，有 ，故有 ，由上知 .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意列出关于 和 的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列 的通项公式；（2）由（1）得知 ，然后利用裂项法求出数列 的前 项和 ，即可证明出 .
19．（2022高二下·宣威期末）如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，．
（1）求证：平面ADE；
（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABEF为矩形
又平面ADE，AE平面ADE
平面ADE
又，
同理可得：平面ADE
又，BF，BC 平面BCF
∴平面平面ADE
又CF平面BCF
平面ADE
（2）解：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，
，，
设是平面CDF的一个法向量，则
即
令，解得
又是平面AEFB的一个法向量，
∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】根据，，从而证明平面平面 ，从而平面；
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可.
20．（2022高二下·宣威期末）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验．为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
分数
甲班频数 5 6 4 4 1
乙班频数 1 3 6 5 5
附：，其中．
临界值表
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为“成绩优良与教学方式有关”？
甲班 乙班 总计
成绩优良
成绩不优良
总计
（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：由题意，列联表如下：
甲班 乙班 总计
成绩优良 9 16 25
成绩不优良 11 4 15
总计 20 20 40
零假设为：成绩优良与教学方式无关，由列联表计算可得，依据的独立性检验，有充分证据推断不成立，即认为“成绩优良与教学方式有关”；
（2）解：由（1）知，8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，，，所以的分布列为：
0 1 2 3
则
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先完善列联表，作出零假设，计算，和3.841比较即可作出判断；
（2）先由分层抽样求得8人中成绩不优良的人数，再分别计算为0，1，2，3的概率，列出分布列，计算期望即可.
21．（2022高二下·宣威期末）设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积．
【答案】（1）解：由题意得：，则，解得，则椭圆C的方程为：
（2）解：由（1）得，则直线BF方程，又可得P在线段OB垂直平分线上，
则，又P在椭圆上，解得，则，直线，联立和线BF可得，解得，则，则.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由得到，结合离心率为及解出，即可求得椭圆C的方程；
（2）先求出直线BF方程，再由及P椭圆上求出P点坐标，进而求得直线方程，联立求得点Q坐标，再由求解即可.
22．（2022高二下·宣威期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：.
【答案】（1）解：易知的定义域为，.
当时，，所以在上为单调递增函数；
当时，若，则，若，则，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.
（2）证明：，则.
由题意可知，，是方程的两根，所以，，
由，所以，，
要证，需证.
，
令，则，
所以在上单调递增，所以.
所以，故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）的定义域为，. 分类讨论和两种情况，研究的正负，从而求得函数的单调区间；
（2）由题得，则，由 ， 是的两根 ，所以， ，需证，构造函数，即证，从而证得.
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