1.1.3菱形的性质与判定 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
北师大版九年级上册
第一章
特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定(三)
一、复习回顾
菱形的性质
轴对称 既是中心对称图形又是轴对称图形
边 1.对边平行且相等；2.四条边都相等
角 1.对角相等，邻角互补
2.每条对角线平分一组对角
对角线 互相垂直平分
计算 周长=边长的四倍
A
D
C
B
菱形的判定方法 几何语言
定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵□ABCD， AB=BC,
∴ 四边形ABCD是菱形
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵□ABCD， AC⊥BD,
∴ 四边形ABCD是菱形
定理 四条边相等的四边形是菱形 ∵四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
一、复习回顾
二、探究新知
菱形的面积计算方法一
平行四边形的面积=_________.
底×高
∵菱形是特殊的平行四边形，
∴菱形ABCD的面积=_________.
A
B
C
D
F
即S菱形ABCD =BC·DF
底×高
菱形的面积=底×高
二、探究新知
思考：你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？
A
B
C
D
O
菱形的面积计算方法二
= S△ABD+S△BCD
= BD ×OA + BD×OC
= BD (OA+OC)
= BD ·AC
S菱形ABCD
菱形的面积=对角线乘积的一半
1.如图，两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分四边形ABCD是什么图形？
平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
B
C
D
探究活动
2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分四边形ABCD是什么图形？为什么？
A
B
C
D
菱形
A
B
C
D
E
F
如图，AD//BC，AB//CD，AE ⊥BC，AF ⊥CD，垂足分别为E，F，且AE =AF
求证：四边形ABCD是菱形
证明:∵ AD//BC，AB//CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
S ABCD =BC· AE= CD· AF
∵ AE =AF
∴ BC= CD
∴四边形ABCD是菱形
三、典题精析
例1. 如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm. 求：
（1）对角线AC的长度；
（2）菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
E
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E
∴∠AED=90°
DE= BD = ×10 = 5 (cm)
在Rt △ADE中，由勾股定理，得
∴AC=2AE=2×12=24 (cm)
(2)S菱形ABCD= BD ×AC
= ×10×24= 120(cm2).
A
B
C
D
E
变式练习
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点E，而且BD=12cm，AC=16cm，求菱形一条边上的高h.
A
B
C
D
E
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E
∴∠AED=90°
DE= BD = ×12 = 6 (cm)
AE= BD = ×16 = 8 (cm)
在Rt △ADE中，由勾股定理，得
∴AD=10 (cm)
S菱形ABCD= BD ×AC
= ×12×16= 96 (cm2).
∴菱形一条边上的高h= 96÷10=9.6 (cm)
A
B
C
D
E
例2：如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，BE=2DE，延长DE至点F，使得EF=BE，连接CF.
（1）求证：四边形BCFE是菱形
三、典题精析
(1)证明：∵D，E分别是AB和AC的中点，
∴DE∥BC，2DE=BC.
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC.
∴四边形BCFE是平行四边形.
又∵BE=EF，
∴四边形BCFE是菱形.
(2)解：∵∠BEF=120°
∴∠EBC=60°.
∴△EBC是等边三角形.
∴BE=BC=CE=6.
过点E作EG⊥BC于点G，
根据勾股定理可，解得EG=3 .
∴S菱形BCFE=BC·EG=6×3 =18 .
例2：如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，BE=2DE，延长DE至点F，使得EF=BE，连接CF.
（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积.
三、典题精析
方法总结：
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．
(1)如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；
(2)如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先证这个四边形是平行四边形，再用定义法或判定定理证明菱形．
1. 菱形ABCD的对角线AC=5，BD=10，则该菱形的面积为（ ）
A. 50 B. 25 C. D. 12.5
B
四、巩固练习
2.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6 cm，BD=8 cm，则菱形的高AE为_ __cm.
4.8
四、巩固练习
3.已知菱形的面积为24 cm2，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的边长是（ ）
A.8cm B.5cm C.10cm D.4.8cm
B
四、巩固练习
4.如图，菱形ABCD，∠B=120°，P，Q分别是AD，AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的面积为（ ）
A.6 B.18
C.24 D.36
B
四、巩固练习
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和菱形的面积.
A
B
C
O
D
四、巩固练习
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰△ABC中，∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
∴OA = = =
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）
∴S菱形ABCD= BD ×AC = ×6× = 18 (cm2).
A
B
C
O
D
四、巩固练习
6.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BA=BC，BD平分∠ABC.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC=5，BD=8，求四边形ABED的周长.
A
B
C
E
D
证明：∵AD//BC，∴ ∠DBC= ∠ADC
∵ BD平分∠ABC，∴∠ABD= ∠DBC
∴∠ABD =∠ADC，∴AB=AD
∵AB=BC， ∴ AD=BC
∴四边形ABCD 是平行四边形，
又∵AB=BC ，∴四边形ABCD是菱形
(2) ∵DE⊥BD ，
∴ ∠DBE+∠DEB=90°，∠BDC+∠CDE=90°
∵BC=CD，∴∠DBE=∠BDC ，∴DEB=∠CDE
∴BC=CD=CE，∴BE=2BC=10
∵BD=8， RtΔBDE中， ∴DE=6，
∴ C四边形ABED=AB+BE+DE+AD=26.
A
B
C
E
D
五、课堂小结
A
B
C
D
F
即S菱形ABCD =BC·DF= BD·AC
A
B
C
D
O
S菱形ABCD =底×高
=对角线乘积的一半
含60°角的菱形：
当∠ABC=60°(或∠BAD=120°)时，
△ABC与△ACD均为等边三角形
六、布置作业
课本P9 习题1.3 第1，2，3，4题
谢谢聆听