1.2.1矩形的性质与判定 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
北师大版九年级上册
第一章
特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定(一)
一、情景导入
思考：这种平行四边形特殊在哪里？
图片中有你熟悉的图形吗？
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
∠A=90°（ 或∠B=90° ）
∴四边形ABCD是矩形
学习概念
★矩形是特殊的平行四边形
A
D
C
B
(1)矩形具有平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
(2)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？
平行四边形 矩形特殊性质
轴对称 中心对称图形
边 对边平行且相等
角 对角相等
对角线 互相平分
二、探索性质
二、探究矩形的性质
(1)矩形是轴对称图形吗？如果是,请指出它的对称轴.
(2)矩形有什么特殊性质？
结论:
(1)矩形是轴对称图形，有两条对称轴.
(2)矩形的四个角都是直角.
(3)矩形的对角线相等
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，
对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1) ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°；
(2)AC=BD；
求证：矩形的四个角都是直角，对角线相等
A
D
C
B
O
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC=∠CDA, ∠BCD=∠DAB
AD // BC
∴ ∠ABC+∠BCD =180°
又∵ ∠ABC =90°
∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD =BC，∠ABC=∠BCD ， AB =CD
∴ △ABC ≌△DCB(SAS)
∴AC=BD
A
D
C
B
O
矩形的性质定理：
(1)矩形的四个角都是直角
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°
(2)矩形的对角线相等
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
A
D
C
B
O
平行四边形 矩形的特殊性质
轴对称 中心对称图形 轴对称图形
边 对边平行且相等 /
角 对角相等 四个角都是直角
对角线 互相平分 相等
归纳总结
矩形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,思考:
(1)BO是Rt△ABC中斜边AC上什么特殊线段
(2)BO与AC有什么大小关系
D
B
C
A
O
探究直角三角形的性质
猜想：BO 是Rt△ABC中斜边AC上的中线，
且BO等于AC的一半
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,
求证：(1)BO是Rt△ABC斜边AC上的中线；
(2) BO= AC
D
B
C
A
O
证明:(1) ∵四边形ABCD是矩形
∴O是AC的中点
∴ BO是Rt△ABC斜边AC上的中线
(2) ∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OB= BD
∴ OB= AC
总结归纳：
直角三角形斜边上中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
符号语言：
∵ Rt△ABC，O是AC的中点
∴ BO= AC
A
B
C
O
例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
二、典例精析
证明:∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠BAD=90°, AC=BD
OA= AC，OD= BD，
∴ OA= OD
∵∠AOD=120°
∴ ∠OAD= ∠ODA=30 °
在Rt△ABD中，
BD=2AB=2×2.5=5
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠ACD=30°，AD=2.
（1）判断△AOD的形状；
（2）求对角线AC的长.
变式练习
解:(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=90°，OA=OD=OC=OB.
∵∠ACD=30°，
∴∠DAC=90°- 30°=60°.
而∵ OA=OD
∴△AOD为等边三角形.
(2)∵△AOD为等边三角形，∴AO=AD=2.
∴AC=2AO=4.
四、巩固练习
1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的边长BC的长是（ ）
A．2 B.4 C.2 D.4
C
2. 如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长（ ）
A. 4 B. 2 C. 8 D. 8
A
四、巩固练习
四、巩固练习
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD=60°，AB=2 ，AE⊥BD于点E，则OE的长为________.
1
4.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A. 5 B. 4 C. D.
D
2
___
四、巩固练习
5.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC交BC延长线于点E.
求证：BD=DE.
证明：在矩形ABCD中，
∴AC=BD，AD∥BC
∴AD∥CE.
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形.
∴DE=AC.
∴BD=DE.
四、巩固练习
6.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.
四、巩固练习
解： ∵在矩形ABCD中
∴∠BAD=∠ABC=90°, OA=OB
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE=45°
∴∠AEB=90°－ 45°= 45°
∴AB=BE.
∵∠CAE=15°，
∴∠BAO=45°+15°=60°.
∴△BOA是等边三角形.
∴OB=AB， ∠ABO=60°
∴ OB=BE.,∠OBE=30°
∴∠BOE=1/2（180°-30°）=75°.
五、课堂小结
矩形的性质
轴对称 中心对称图形,轴对称图形
边 对边平行且相等
角 四个角都是直角
对角线 相等 且互相平分
直角三角形斜边上中线的性质 ：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
六、布置作业
课本P13 习题1.4 第1，2，3，4题
谢谢聆听