1.2.2矩形的性质与判定 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
北师大版九年级上册
第一章
特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定(二)
矩形的性质
轴对称 中心对称图形,轴对称图形
边 对边平行且相等
角 四个角都是直角
对角线 相等 且互相平分
直角三角形斜边上中线的性质 ：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
一、复习回顾
A
D
C
B
A
B
C
O
二、探究新知
思考：矩形是特殊的平行四边形，请问当平行四边形满足什么条件时，会变成矩形吗？
A
B
C
D
平行四边形ABCD
A
D
C
B
矩形ABCD
定义法—有一个角是直角的平行四边形是矩形
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形(大前提)
∠A=90°
∴ 四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法一：
A
D
C
B
你还有其他的判定方法吗？
如图，在一个平行四边形活动框架上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状发生什么变化？
探究活动一
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
探究活动一
问题:这个运动过程中，两条对角线的长度会发生变化吗？当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB，求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB = DC, AB∥CD
又∵ BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
求证：对角线相等的平行四边形是矩形
定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵在□ ABCD中 (大前提)
AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定方法二
条件:(1)平行四边形；（2）对角线相等
不一定
猜想：对角线相等的四边形是矩形吗？
A
B
C
D
AC=BD
等腰梯形ABCD
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
探究活动二
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形
∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
求证：有三个角是直角的四边形是矩形.
定理：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵在四边形ABCD中
∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定方法三
A
B
C
D
总结归纳
矩形的判定方法 几何语言
定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵□ABCD， ∠A=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形
定理 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵□ABCD， AC=BD,
∴ 四边形ABCD是矩形
定理 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
A
B
C
D
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
A
B
C
D
O
三、典例精析
A
B
C
D
O
三、典例精析
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= AC，
OB= BD.
∵ △ABO是等边三角形，
∴ OA=OB=AB=4，
∴ AC=BD=8，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
在Rt △ABOC中，由勾股定理，得
S矩ABCD=BC.AB=
例：如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
变式练习
例.如图，在□ ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，延长OC至M，使CM＝AN.
求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM， ∴ON＝OM
∴四边形NDMB为平行四边形，
∵ ON＝OB ，∴ 2ON＝2OB
即MN＝BD
∴平行四边形NDMB为矩形．
三、典例精析
1.下列说法正确的是（ ）．
A.有一个角是直角的四边形一定是矩形
B.有一组对角是直角的四边形一定是矩形
C.有三个角相等的四边形一定是矩形
D.对角互补的平行四边形是矩形
D
四、课堂检测
2.如图，在□ ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定□ ABCD是矩形的是 （　　）
A．AC=BD B．AC=BC
C．AD=BC D．AB=AD
A
四、课堂检测
3.工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，他去量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形.
理由： .
对角线相等的平行四边形是矩形.
四、课堂检测
4.一个木匠要制作矩形踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．理由是： .
有三个角是直角的四边形是矩形.
四、课堂检测
5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点E,F分别是AO,AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长________cm.
四、课堂检测
9
6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，即
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
四、课堂检测
7.如图，在□ ABCD中，E，F为BC上的两点，且BE=CF，AF=DE，求证:四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
E
F
四、课堂检测
A
B
C
D
E
F
8.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
四、课堂检测
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAC＝2∠EAC
∵∠FAC＝2∠B
∴∠B＝∠EAC，
∴AE∥CD，又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE ∥ BD， AE = BD，又∵BD＝DC，
∴ AE ∥ DC， AE = DC，
故四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
五、课堂小结
矩形的判定方法 几何语言
定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵□ABCD， ∠A=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形
定理 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵□ABCD， AC=BD,
∴ 四边形ABCD是矩形
定理 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
A
B
C
D
六、布置作业
课本P16 习题1.5 第1，2，3题
谢谢聆听