1.3.1正方形的性质与判定 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
北师大版九年级上册
第一章
特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定(一)
平行四边形 菱形 矩形
对称性
边
角
对角线
一、复习回顾
中心对称图形
轴对称图形、中心对称图形
轴对称图形、中心对称图形
对边平行
且相等
对边平行
且相等
对边平行，
四边都相等
对角相等，
邻角互补
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
一、复习回顾
平行四边形、菱形、矩形之间的关系：
平行四边形
菱形
矩形
思考：有没有一种四边形既是菱形又是矩形呢？
？
情景导入
下图的四边形都是特殊的平行四边形，观察这些特殊的四边形有什么共同特征？
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AB=AD，∠A=90°
∴四边形ABCD是正方形
学习概念
★正方形即是菱形，也是矩形
A
D
C
B
概念拓展
平行四边形
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
有一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形具有菱形和矩形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
菱形 矩形 正方形
轴对称 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形
边 对边平行， 四边都相等 对边平行 且相等
角 对角相等， 邻角互补 四个角 都是直角
对角线 对角线互相 垂直平分 对角线相等 且互相平分
二、探索性质
轴对称图形
中心对称图形
对边平行
四条边相等
四个角
都是相等
对角线相等
互相垂直平分
二、探究矩形的性质
（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等.
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形有4条对称轴.
已知：如图,四边形ABCD是平行四边形，
∠A=90°, AB=AD
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∠A=90°, AB=AD.
∴四边形ABCD是矩形
四边形ABCD是菱形
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
求证：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
已知：如图,四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°,
AB=AD ，对角线AC、BD相交于点O.
求证：AO=CO=BO=DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
求证：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∠A=90°, AB=AD.
∴四边形ABCD是矩形,
四边形ABCD是菱形
∴ AO=CO=BO=DO，
AC⊥BD.
正方形的性质 定理： 正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理： 正方形的对角线相等且互相垂直平分
A
B
C
D
A
B
C
D
O
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，AC=BD
OA=OB=OC=OD
三、典例精析
例1：如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
A
B
D
C
F
E
解：BE=DF,且BE⊥DF.
理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
∴∠DCF=180°-∠BCE==90°
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
A
B
D
C
F
E
A
B
D
F
E
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.
∴∠CBE+∠F=90° ,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
C
M
如图，正方形ABCD中，AF=BE， AF与BE相交于点O，
(1)求证：△DAF≌△ABE；
(2)求∠AOD的度数；
变式练习一
D
A
C
B
F
E
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC =90° .
又∵ AF=BE
∴ △DAF≌△ABE(SAS).
如图，正方形ABCD中，AF=BE， AF与BE相交于点O，
(1)求证：△DAF≌△ABE；
(2)求∠AOD的度数；
变式练习一
证明：(2)∵ △DAF≌△ABE
∴ ∠ADF=∠BAE
∵ ∠DAB =90° .
∴ ∠ADF+ AFD= 90°
∴ ∠BAE + AFD= 90°
∴DF ⊥AE
∴ ∠AOE= 90°
D
A
C
B
F
E
O
如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF.
（1）求证：△ADE≌△ABF；
变式练习二
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°.
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°.
在△ADE和△ABF中，
AB=AD，∠ABF=∠ADE，BF=DE，
∴△ADE≌△ABF（SAS）.
如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF.
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积.
变式练习二
(2)解：∵BC=8，∴AD=8.
在Rt△ADE中，∴AE = =10.
∵ △ADE≌△ABF
∴AE=AF， ∠FAB= ∠EAD，
∠EAF= ∠FAB + ∠BAE = ∠EAD +∠BAE =90°.
∴S△AEF的面积=1/2AE2=1/2×100=50.
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等
D. 对角线互相垂直且相等
A
四、课堂检测
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（　 ）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
四、课堂检测
A
3.下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
对角线互相垂直
对角线互相平分
C. 对角线相等
D. 四个角都是直角
四、课堂检测
A
4. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A. AE=BF B. AE⊥BF
C. AO=OE D. S△AOB=S四边形DEOF
C
四、课堂检测
5.如图，正方形AEFG的顶点E,G分别在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.
求证：BF=DF.
证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°.
∵BE=AB-AE，DG=AD-AG，
∴BE=DG.
在△BEF和△DGF中，
BE=DG，∠BEF=∠DGF，EF=GF,
∴△BEF≌△DGF(SAS).
∴BF=DF.
四、课堂检测
6.已知：如图，在正方形ABCD中，点F在CD上，
AE平分∠BAF，E为BC的中点.
求证：AF=BE+DF.
四、课堂检测
证明：将△ABE逆时针旋转90°
则AB=AD，BE=DE′,
∠E′AE=90°,
∠ADE′=∠ABE=90°.
∴E′,D,F三点共线.
∵AE是∠BAF的角平分线，
∴∠1=∠2.
又∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°.
∴∠AEB=∠E′=90°-∠1=90°-∠2=∠E′AF.
∴AF=FE′=FD+DE′=FD+BE.
7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
四、课堂检测
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，
∴BE＝( －1)cm．
正方形的性质 定理： 正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理： 正方形的对角线相等且互相垂直平分
A
B
C
D
A
B
C
D
O
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，AC=BD
OA=OB=OC=OD
五、课堂小结
六、布置作业
课本P22 习题1.7 第1，2，3题
谢谢聆听