1.3.2正方形的性质与判定 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
北师大版九年级上册
第一章
特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定(二)
一、复习回顾
菱形 矩形 正方形
轴对称 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形
边 对边平行， 四边都相等 对边平行 且相等
角 对角相等， 邻角互补 四个角 都是直角
对角线 对角线互相 垂直平分 对角线相等 且互相平分
轴对称图形
中心对称图形
对边平行
四条边相等
四个角
都是相等
对角线相等
互相垂直平分
平行四边形
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
有一组邻边相等
一、复习回顾
矩形、菱形的判定方法
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
三个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
一、复习回顾
思考：满足怎样条件的矩形是正方形？
一组邻边相等
对角线互相垂直
思考：满足怎样条件的菱形是正方形？
一个角是直角
对角线相等
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
二、探究新知
定义法:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形
∠A=90° ，AB=AD
∴ 四边形ABCD是矩形
正方形的判定方法一
A
B
C
D
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
定理：有一个角是直角的菱形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
∠ABC=90° (AC=BD)
∴ 四边形ABCD是正方形
正方形的判定方法二
正方形
有一个角是相等
对角线相等
菱形
A
B
C
D
O
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形
对角线垂直的矩形是正方形.
几何语言
∵四边形ABCD是矩形
AB=AD, (AC ⊥ BD)
∴ 四边形ABCD是正方形
正方形的判定方法三
正方形
有一组邻边相等
对角线互相垂直
A
B
C
D
O
矩形
有一个角是90°
（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等
（或对角线相等）
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分且相等）
有一个角是90°
对角线相等
有一对邻边相等
对角线互相垂直
正方形判定的途径：
总结归纳
正方形的判定方法 几何语言
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 ∵□ABCD，
∠A=90°, AB=AD
∴ 四边形ABCD是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 ∵菱形ABCD，
∠ABC=90°(AC=BD)
∴ 四边形ABCD是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形 对角线垂直的矩形是正方形. ∵矩形ABCD，
AB=AD (AC⊥BD)
∴ 四边形ABCD是正方形
A
B
C
D
A
D
C
B
A
B
C
D
O
想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？
（1）
（2）
（3）
（4）
例1：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC ，CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
三、典例精析
F
A
B
E
C
D
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.
已知:如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠BAC ,∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形.
C
E
B
A
F
D
变式训练
证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G.
∵DF⊥AC , DE⊥BC ,
∴∠DFC=∠DEC=90°.
又∠C=90°,
∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.
∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB.
∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF.
∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
C
E
B
A
F
D
G
例2：如图，正方形CEGF的顶点E，F在正方形ABCD的边BC，CD上，且AB=5，CE=3，连接BG，DG，则图中阴影部分的面积是________.
8
三、典例精析
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
原四边形可以是：
中点四边形
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
正方形的中点四边形是正方形
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
特殊四边形的中点四边形：
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形
总结归纳
一般四边形的中点四边形：
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系
原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直
所得中点四边形形状
平行四边形
菱形
矩形
正方形
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
四、巩固练习
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形
C.矩形 D.平行四边形
C
四、巩固练习
3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A. 当AB=BC时，它是菱形
B. 当∠ABC=90°时，它是矩形
C. 当AC⊥BD时，它是菱形
D. 当AC=BD时，它是正方形
D
四、巩固练习
4.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
AB∥DC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. AB=DC
C
四、巩固练习
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）
A. 3 B. 12 C. 18 D. 36
C
四、巩固练习
6. 如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）
A. -4+4
B. 4 +4
C. 8-4
D. +1
A
四、巩固练习
7.如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，∠EAF=45°．
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：由题意，得∠BAE=∠EAG，
∠DAF=∠FAG，
∴∠BAD=2∠EAF=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD.
∴四边形ABCD是正方形.
四、巩固练习
8.如图，菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在正方形ABCD的边AB,CD,DA上，连接CF.
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形.
四、巩固练习
证明：（1）如图，连接GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE.
∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE.
∴∠HEA=∠CGF.
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°.
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE.在Rt△HAE和Rt△GDH中，
AH=DG,HE=HG，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL）.
∴∠AHE=∠DGH.
又∠DHG+∠DGH=90°,
∴∠DHG+∠AHE=90°.∴∠GHE=90°.
∴菱形EFGH为正方形.
五、课堂小结
有一个角是90°
（或对角线互相垂直）
有一对邻边相等
（或对角线相等）
平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分且相等）
有一个角是90°
对角线相等
有一对邻边相等
对角线互相垂直
六、布置作业
课本P25 习题1.8 第1，2，3，4题
谢谢聆听