河北省邢台市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·邢台期末）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以，，相互没有包含关系.
故答案为：B
【分析】 利用集合的交并运算求M∩N、MUN，根据M， N是否存在包含关系，即可得答案.
2．（2022高二下·邢台期末）若复数z满足，为z的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：D
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
3．（2022高二下·邢台期末）若向量，满足，则（ ）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，解得．
故答案为：C
【分析】根据题意由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
4．（2022高二下·邢台期末）一个质点的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：因为，所以，
当时，，故当时，该质点的瞬时速度为．
故答案为：C
【分析】 先求质点的运动方程为的导数，再求得秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度.
5．（2022高二下·邢台期末）设单调递增的等比数列满足，，则公比（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】因为为等比数列，所以，所以，则，
又单调递增，所以，
解得：，，则，
因为，所以．
故答案为：A
【分析】利用等比数列的性质可得，再根据，求出，，再利用等比数列的通项公式即可求出答案.
6．（2022高二下·邢台期末）回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．25 B．20 C．30 D．36
【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】1，2，3，4，5可以组成的4位“回文数”中，
由1个数字组成的4位回文数有5个，
由2个数字组成的4位回文数有个，
所以由数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为20+5=25.
故答案为：A
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。
7．（2022高二下·邢台期末）已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】因为的最小正周期为，所以．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，当，，所以的值域为．
故答案为：C
【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的值，再由函数平移的性质得出函数的解析式，结合正弦函数图象和性质，即可得出函数的最值从而得出函数的值域。
8．（2022高二下·邢台期末）若，其中，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】∵，
∴，，
∴．
设函数（），则．
当时，，单调递增，
当时，．单调递减，
所以在取得极大值，也是最大值，
故，
即的最大值为．
故答案为：C
【分析】利用期望和方差的性质计算得到，设函数（），求导研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，即可求出的最大值.
9．（2022高二下·邢台期末）若函数导函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于A选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，A符合题意.
对于B选项，由图可知，在左右两侧，函数左减右增，是的一个极小值点，B符合题意.
对于C选项，由图可知，在左右两侧，函数单调递增，不是的一个极值点，C不符合题意.
对于D选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】利用函数图象逐项进行判断函数的极值，可得答案.
10．（2022高二下·邢台期末）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（，）（），已知，，则（ ）
A．数据（）的平均数为0
B．若变量x，y的经验回归方程为，则实数
C．两个变量x，y的线性相关性越强，则变量x，y的样本相关系数r越大
D．变量x，y的决定系数越大，则两个变量x，y拟合的效果越好
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】因为，，所以，．
对于A选项，（）的平均数为，A不符合题意；
对于B选项，若数据的经验回归方程是，则，B符合题意；
对于C选项，当变量x，y为负相关时，相关性越强，相关系数r越小（越接近于-1），C不符合题意；
对于D选项，变量x，y的决定系数越大，残差平方和越小，则变量x，y拟合的效果越好，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】根据均值的定义判断A；由数据中心点求出经验回归方程中的系数 判断B；根据相关系数的意义判断C；根据变量x，y的决定系数越大，残差平方和越小可判断D.
11．（2022高二下·邢台期末）已知，，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为9
【答案】A,B,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；基本不等式
【解析】【解答】因为，，，
所以，即，，当且仅当时等号成立，则A，B符合题意．
，当时取得最大值，则C不符合题意．
，当且仅当时等号成立，则D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B、D的正误；注意等号成立条件，将 化为关于a2的二次函数形式求最值判断C.
12．（2022高二下·邢台期末）已知函数和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由于和互为反函数，则和的图象关于直线对称，
将与联立求得交点为，则，即，A符合题意．
易知为单调递增函数，因为，，由零点存在性定理可知，B符合题意．
易知为单调递减函数，，，由零点存在性定理可知．
因为，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，C不符合题意．
因为，，所以，所以．令，则，当时，，在上单调递增，所以，即，整理得，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】根据题意由反函数的定义和性质，结合对数函数和指数函数的图象和性质，由韦达定理以及对数的运算性质，整理化简由此对选项逐一判断即可得出答案。
13．（2022高二下·邢台期末）展开式中的常数项为 ．
【答案】24
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】展开式中的常数项为．
故答案为：24.
【分析】由已知条件结合二项展开式的通项公式，结合组合数公式，代入数值计算出结果即可。
14．（2022高二下·邢台期末）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则 ．
【答案】3n-2
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】因为，所以，解得．又，，成等比数列，所以.
设公差为d，所以，整理得，
因为，所以，从而．
故答案为：3n-2
【分析】根据等差数列性质和等比数列的性质得到关于公差的方程，求解出公差的值，再根据等差数列的通项公式可求出答案.
15．（2022高二下·邢台期末）袋中装有11个除颜色外质地大小都相同的球，其中有9个红球，2个黑球．若从中一次性抽取2个球，则恰好抽到1个红球的概率是 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题设．
故答案为：
【分析】由组合知识求得抽取2个球的方法数，由分步计数原理求得 抽取2个球恰好抽到1个红球的方法数，然后由概率公式计算可得答案.
16．（2022高二下·邢台期末）在长方体中，底面是边长为4的正方形，，过点作平面与分别交于M，N两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：
①异面直线与所成角的余弦值为；
②平面；
③点B到平面的距离为；
④截面面积的最小值为6．
其中正确的是 （请填写所有正确说法的编号）
【答案】②④
【知识点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】依题意得，因为，
所以异面直线与所成的角即或其补角，
在中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故①错误．
由于平面平面，
所以平面，故②正确．
设点B到平面的距离为h，由，
得，解得，故③错误．
如图，过点A作，连接，
因为平面，所以，又，
所以平面，平面，
则，平面平面，平面平面，
故为与平面所成的角，则，
在中，，则有，
在中，由射影定理得，
由基本不等式得，
当且仅当，即E为的中点时，等号成立，
所以截面面积的最小值为，，故④正确．
故答案为：②④.
【分析】由已知条件结合长方体的几何性质以及异面直线所成角的定义，由三角形中的几何计算关系计算出结果从而判断出 ① 错误；由线面平行的性质定理即可得出线线平行再由平行的传递性，由线面平行的判定定理即可得证出结论，从而得出 ② 正确；由距离的定义结合线面垂直的性质即可得出线线垂直，由三角形中的几何计算关系计算出结果即可由此判断出 ③ 错误；由射影定理以及长方体的几何性质，结合基本不等式即可得出最小值从而判断出 ④ 正确，由此得出答案。
17．（2022高二下·邢台期末）在无穷数列中，，，．
（1）若是等差数列，求的前n项和；
（2）若，求的通项公式．
【答案】（1）解：设公差为d，则，
故
（2）解：设，由，，，
得，解得
故的通项公式为．
【知识点】等差数列的前n项和；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）由已知条件求出公差，再根据等差数列的求和公式求出 的前n项和；
（2）由已知可得 ，解方程组求出a，b，c，即可求得 的通项公式．
18．（2022高二下·邢台期末）已知函数．
（1）求的单调区间及极值；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）解：函数的定义域为R，．
令，得或．
当变化时，，的变化情况如表所示．
x -1 3
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
故的单调增区间为，单调减区间为和．
当时，有极小值；当时，有极大值．
（2）解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为．
又，，，所以在区间上的最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)求导得f'(x)，由f'(x)的正负可得f (x)单调性，进而可得f (x)的极大值，极小值；
(2)由(1)知f (x)在(0，6)上单调性，求出端点值f (0)，f (6)，即可求得 在区间上的最值．
19．（2022高二下·邢台期末）为提升学生的身体素质，某地区对体育测试选拔赛试行改革．在高二一学年中举行4次全区选拔赛，学生如果在4次选拔赛中有2次成绩达到全区前20名即可取得体育特长生资格，不用参加剩余的比赛．规定：每个学生最多只能参加4次选拔比赛，若前3次选拔赛成绩都没有达到全区前20名，则不能参加第4次选拔赛．
参考公式及数据：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.010
2.072 2.706 3.841 6.635
（1）若该赛区某次选拔赛高二年级共有500名学生参加，统计出的参赛学生中男、女生成绩如下表：
前20名人数 第21至第500名人数 合计
男生 15 300
女生 195
合计 20 500
请完成上述2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．
（2）假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是，每次选拔赛成绩能否达到全区前20名相互独立．如果该学生参加本年度的选拔赛（规则内不放弃比赛），记该学生参加选拔赛的次数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：列联表如下：
前20名人数 第21至第500名人数 合计
男生 15 285 300
女生 5 195 200
合计 20 480 500
零假设为
：选拔赛成绩与性别无关．
根据列联表，
得，
所以没有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．
（2）解：该学生参加选拔赛次数的可能取值为2，3，4．
，
，
．
故的分布列为
2 3 4
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合列联表的数据关系，补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解出结论；
(2)由题意可得，该学生参加选拔赛次数ξ的可能取值为2， 3， 4，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解出 的分布列及数学期望．
20．（2022高二下·邢台期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的焦距；
（2）若，求椭圆C的方程．
【答案】（1）解：由题意知直线l的方程为．
因为到直线l的距离为，所以，解得：，
所以椭圆C的焦距为2．
（2）解：由（1）知直线l的方程为，设，，
联立方程组消去x得，
所以，．
因为，所以，
所以，，
消去得，
解得：，从而，
所以椭圆C的方程为．
【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合点到直线的距离公式，由已知条件计算出c的取值从而得出答案。
(2)利用设而不求法设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于y的方程，再由韦达定理即可得出两根之和和两根之积关于b的代数式，并把结果代入向量的坐标公式，整理化简计算出b和a的取值，进而得出椭圆的方程。
21．（2022高二下·邢台期末）某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p（0＜p＜1），，且各局比赛互不影响.
（1）若，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；
（2）设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试问当p为何值时，取得最大值.
【答案】（1）解：由题可知，X的可能取值为2，3，4，5.
因为，所以，，，
.
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
（2）解：设一天得分不低于4分为事件A，
则，
则，
则.
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值.
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据随机变量的取值，求出对应事件的概率，进而可得 X的分布列和数学期望；
(2)列出 的表达式，利用导数研究单调性，进而可求得 取得最大值.
22．（2022高二下·邢台期末）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设m，n为正数，且当时，，证明：．
【答案】（1）解：的定义域为，
（）．
①当时，，令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
②当时，因为的判别式，
所以有两正根，，且．
令，得或；
令，得．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：因为，所以（）．
设，
则．
当时，因为，，
令，
则．
令，因为，则，所以在上单调递增，
又，所以，则，所以在上单调递增，
又，所以，则在上单调递增．
又，所以，则．
因为，，所以．
又，
所以在上单调递减，所以，整理得．
又当时，令，则，
所以在上单调递增，，则在上单调递增，所以．
故．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，结合a的取值范围即可得出导函数的性质，然后由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)根据题意整理化简函数的解析式，再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，结合函数的单调性即可得出结果。
1 / 1河北省邢台市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·邢台期末）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·邢台期末）若复数z满足，为z的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·邢台期末）若向量，满足，则（ ）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
4．（2022高二下·邢台期末）一个质点的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·邢台期末）设单调递增的等比数列满足，，则公比（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2022高二下·邢台期末）回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．25 B．20 C．30 D．36
7．（2022高二下·邢台期末）已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·邢台期末）若，其中，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
9．（2022高二下·邢台期末）若函数导函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点
10．（2022高二下·邢台期末）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（，）（），已知，，则（ ）
A．数据（）的平均数为0
B．若变量x，y的经验回归方程为，则实数
C．两个变量x，y的线性相关性越强，则变量x，y的样本相关系数r越大
D．变量x，y的决定系数越大，则两个变量x，y拟合的效果越好
11．（2022高二下·邢台期末）已知，，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为9
12．（2022高二下·邢台期末）已知函数和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022高二下·邢台期末）展开式中的常数项为 ．
14．（2022高二下·邢台期末）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则 ．
15．（2022高二下·邢台期末）袋中装有11个除颜色外质地大小都相同的球，其中有9个红球，2个黑球．若从中一次性抽取2个球，则恰好抽到1个红球的概率是 ．
16．（2022高二下·邢台期末）在长方体中，底面是边长为4的正方形，，过点作平面与分别交于M，N两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：
①异面直线与所成角的余弦值为；
②平面；
③点B到平面的距离为；
④截面面积的最小值为6．
其中正确的是 （请填写所有正确说法的编号）
17．（2022高二下·邢台期末）在无穷数列中，，，．
（1）若是等差数列，求的前n项和；
（2）若，求的通项公式．
18．（2022高二下·邢台期末）已知函数．
（1）求的单调区间及极值；
（2）求在区间上的最值．
19．（2022高二下·邢台期末）为提升学生的身体素质，某地区对体育测试选拔赛试行改革．在高二一学年中举行4次全区选拔赛，学生如果在4次选拔赛中有2次成绩达到全区前20名即可取得体育特长生资格，不用参加剩余的比赛．规定：每个学生最多只能参加4次选拔比赛，若前3次选拔赛成绩都没有达到全区前20名，则不能参加第4次选拔赛．
参考公式及数据：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.010
2.072 2.706 3.841 6.635
（1）若该赛区某次选拔赛高二年级共有500名学生参加，统计出的参赛学生中男、女生成绩如下表：
前20名人数 第21至第500名人数 合计
男生 15 300
女生 195
合计 20 500
请完成上述2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．
（2）假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是，每次选拔赛成绩能否达到全区前20名相互独立．如果该学生参加本年度的选拔赛（规则内不放弃比赛），记该学生参加选拔赛的次数为，求的分布列及数学期望．
20．（2022高二下·邢台期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的焦距；
（2）若，求椭圆C的方程．
21．（2022高二下·邢台期末）某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p（0＜p＜1），，且各局比赛互不影响.
（1）若，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；
（2）设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试问当p为何值时，取得最大值.
22．（2022高二下·邢台期末）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设m，n为正数，且当时，，证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以，，相互没有包含关系.
故答案为：B
【分析】 利用集合的交并运算求M∩N、MUN，根据M， N是否存在包含关系，即可得答案.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：D
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，解得．
故答案为：C
【分析】根据题意由共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
4．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：因为，所以，
当时，，故当时，该质点的瞬时速度为．
故答案为：C
【分析】 先求质点的运动方程为的导数，再求得秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度.
5．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】因为为等比数列，所以，所以，则，
又单调递增，所以，
解得：，，则，
因为，所以．
故答案为：A
【分析】利用等比数列的性质可得，再根据，求出，，再利用等比数列的通项公式即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】1，2，3，4，5可以组成的4位“回文数”中，
由1个数字组成的4位回文数有5个，
由2个数字组成的4位回文数有个，
所以由数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为20+5=25.
故答案为：A
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。
7．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】因为的最小正周期为，所以．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，当，，所以的值域为．
故答案为：C
【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的值，再由函数平移的性质得出函数的解析式，结合正弦函数图象和性质，即可得出函数的最值从而得出函数的值域。
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】∵，
∴，，
∴．
设函数（），则．
当时，，单调递增，
当时，．单调递减，
所以在取得极大值，也是最大值，
故，
即的最大值为．
故答案为：C
【分析】利用期望和方差的性质计算得到，设函数（），求导研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，即可求出的最大值.
9．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于A选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，A符合题意.
对于B选项，由图可知，在左右两侧，函数左减右增，是的一个极小值点，B符合题意.
对于C选项，由图可知，在左右两侧，函数单调递增，不是的一个极值点，C不符合题意.
对于D选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】利用函数图象逐项进行判断函数的极值，可得答案.
10．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】因为，，所以，．
对于A选项，（）的平均数为，A不符合题意；
对于B选项，若数据的经验回归方程是，则，B符合题意；
对于C选项，当变量x，y为负相关时，相关性越强，相关系数r越小（越接近于-1），C不符合题意；
对于D选项，变量x，y的决定系数越大，残差平方和越小，则变量x，y拟合的效果越好，D符合题意．
故答案为：BD
【分析】根据均值的定义判断A；由数据中心点求出经验回归方程中的系数 判断B；根据相关系数的意义判断C；根据变量x，y的决定系数越大，残差平方和越小可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；基本不等式
【解析】【解答】因为，，，
所以，即，，当且仅当时等号成立，则A，B符合题意．
，当时取得最大值，则C不符合题意．
，当且仅当时等号成立，则D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B、D的正误；注意等号成立条件，将 化为关于a2的二次函数形式求最值判断C.
12．【答案】A,B,D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由于和互为反函数，则和的图象关于直线对称，
将与联立求得交点为，则，即，A符合题意．
易知为单调递增函数，因为，，由零点存在性定理可知，B符合题意．
易知为单调递减函数，，，由零点存在性定理可知．
因为，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，C不符合题意．
因为，，所以，所以．令，则，当时，，在上单调递增，所以，即，整理得，D符合题意．
故答案为：ABD
【分析】根据题意由反函数的定义和性质，结合对数函数和指数函数的图象和性质，由韦达定理以及对数的运算性质，整理化简由此对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】24
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】展开式中的常数项为．
故答案为：24.
【分析】由已知条件结合二项展开式的通项公式，结合组合数公式，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】3n-2
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】因为，所以，解得．又，，成等比数列，所以.
设公差为d，所以，整理得，
因为，所以，从而．
故答案为：3n-2
【分析】根据等差数列性质和等比数列的性质得到关于公差的方程，求解出公差的值，再根据等差数列的通项公式可求出答案.
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题设．
故答案为：
【分析】由组合知识求得抽取2个球的方法数，由分步计数原理求得 抽取2个球恰好抽到1个红球的方法数，然后由概率公式计算可得答案.
16．【答案】②④
【知识点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】依题意得，因为，
所以异面直线与所成的角即或其补角，
在中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故①错误．
由于平面平面，
所以平面，故②正确．
设点B到平面的距离为h，由，
得，解得，故③错误．
如图，过点A作，连接，
因为平面，所以，又，
所以平面，平面，
则，平面平面，平面平面，
故为与平面所成的角，则，
在中，，则有，
在中，由射影定理得，
由基本不等式得，
当且仅当，即E为的中点时，等号成立，
所以截面面积的最小值为，，故④正确．
故答案为：②④.
【分析】由已知条件结合长方体的几何性质以及异面直线所成角的定义，由三角形中的几何计算关系计算出结果从而判断出 ① 错误；由线面平行的性质定理即可得出线线平行再由平行的传递性，由线面平行的判定定理即可得证出结论，从而得出 ② 正确；由距离的定义结合线面垂直的性质即可得出线线垂直，由三角形中的几何计算关系计算出结果即可由此判断出 ③ 错误；由射影定理以及长方体的几何性质，结合基本不等式即可得出最小值从而判断出 ④ 正确，由此得出答案。
17．【答案】（1）解：设公差为d，则，
故
（2）解：设，由，，，
得，解得
故的通项公式为．
【知识点】等差数列的前n项和；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）由已知条件求出公差，再根据等差数列的求和公式求出 的前n项和；
（2）由已知可得 ，解方程组求出a，b，c，即可求得 的通项公式．
18．【答案】（1）解：函数的定义域为R，．
令，得或．
当变化时，，的变化情况如表所示．
x -1 3
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
故的单调增区间为，单调减区间为和．
当时，有极小值；当时，有极大值．
（2）解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为．
又，，，所以在区间上的最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)求导得f'(x)，由f'(x)的正负可得f (x)单调性，进而可得f (x)的极大值，极小值；
(2)由(1)知f (x)在(0，6)上单调性，求出端点值f (0)，f (6)，即可求得 在区间上的最值．
19．【答案】（1）解：列联表如下：
前20名人数 第21至第500名人数 合计
男生 15 285 300
女生 5 195 200
合计 20 480 500
零假设为
：选拔赛成绩与性别无关．
根据列联表，
得，
所以没有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．
（2）解：该学生参加选拔赛次数的可能取值为2，3，4．
，
，
．
故的分布列为
2 3 4
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据已知条件，结合列联表的数据关系，补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解出结论；
(2)由题意可得，该学生参加选拔赛次数ξ的可能取值为2， 3， 4，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解出 的分布列及数学期望．
20．【答案】（1）解：由题意知直线l的方程为．
因为到直线l的距离为，所以，解得：，
所以椭圆C的焦距为2．
（2）解：由（1）知直线l的方程为，设，，
联立方程组消去x得，
所以，．
因为，所以，
所以，，
消去得，
解得：，从而，
所以椭圆C的方程为．
【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合点到直线的距离公式，由已知条件计算出c的取值从而得出答案。
(2)利用设而不求法设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于y的方程，再由韦达定理即可得出两根之和和两根之积关于b的代数式，并把结果代入向量的坐标公式，整理化简计算出b和a的取值，进而得出椭圆的方程。
21．【答案】（1）解：由题可知，X的可能取值为2，3，4，5.
因为，所以，，，
.
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
（2）解：设一天得分不低于4分为事件A，
则，
则，
则.
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值.
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据随机变量的取值，求出对应事件的概率，进而可得 X的分布列和数学期望；
(2)列出 的表达式，利用导数研究单调性，进而可求得 取得最大值.
22．【答案】（1）解：的定义域为，
（）．
①当时，，令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
②当时，因为的判别式，
所以有两正根，，且．
令，得或；
令，得．
所以在和上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：因为，所以（）．
设，
则．
当时，因为，，
令，
则．
令，因为，则，所以在上单调递增，
又，所以，则，所以在上单调递增，
又，所以，则在上单调递增．
又，所以，则．
因为，，所以．
又，
所以在上单调递减，所以，整理得．
又当时，令，则，
所以在上单调递增，，则在上单调递增，所以．
故．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)首先对函数求导，结合a的取值范围即可得出导函数的性质，然后由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)根据题意整理化简函数的解析式，再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，结合函数的单调性即可得出结果。
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