河北省张家口市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·张家口期末）设全集，集合，则集合（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·张家口期末）（ ）
A．2 B．22 C．12 D．10
3．（2022高二下·张家口期末）已知为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022高二下·张家口期末）已知，且，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
5．（2022高二下·张家口期末）中国古乐中以“宫 商 角 徵 羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫” “羽”两音阶不相邻的音序共有（ ）
A．72种 B．36种 C．48种 D．24种
6．（2022高二下·张家口期末）已知函数是函数的导数，则（ ）
A．0 B．π C． D．3
7．（2022高二下·张家口期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，连续闯过前三关的概率为，且各关相互独立.事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第三关闯关成功，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·张家口期末）函数的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
9．（2022高二下·张家口期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．已知，若，则
C．已知，若，则
D．命题“，都有成立”的否定是“，使成立”
10．（2022高二下·张家口期末）变量与的成对数据的散点图如下图所示，并由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定第二个点为离群点（对应残差过大），把点去掉后，再用剩下的7组数据计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为.则以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高二下·张家口期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高二下·张家口期末）一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（ ）
A．最多需要检测4次可确定患病者
B．第2次检测后就可确定患病者的概率为
C．第3次检测后就可确定患病者的概率为
D．检测次数的期望为
13．（2022高二下·张家口期末）在 的展开式中，含 项的系数为 ．
14．（2022高二下·张家口期末）函数在点处的切线方程为 .
15．（2022高二下·张家口期末）已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有3个红球和2个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为 .
16．（2022高二下·张家口期末）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
17．（2022高二下·张家口期末）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
18．（2022高二下·张家口期末）某班4名女生和3名男生站在一排.
（1）求4名女生相邻的站法种数；
（2）在这7人中随机抽取3人，记其中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和期望的值.
19．（2022高二下·张家口期末）某市统计了近7年的实际利用外资金额（单位：亿元）的数据，得到下面的表格：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
实际利用外资金额（单位：亿元） 25 41 50 58 64 78 89
由表中数据，求得变量的相关系数，可判定变量线性相关关系较强.
附：对于一组数据，其回归直线的料率和截距的最小二乘估计分别为：.参考数据：.
（1）建立关于的线性回归方程；
（2）根据（1）的结果，预测该市实际利用外资金额首次超过150亿元的年份.
20．（2022高二下·张家口期末）某中医研究所研制了一种治疗A疾病的中药，为了解其对A疾病的作用，要进行双盲实验.把60名患有A疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用这种中药，乙组用安慰剂代替中药，全部疗期后，统计甲 乙两组的康复人数分别为20和5.
附表：
0.100 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10828
附：，其中.
注：双盲实验：是指在实验过程中，测验者与被测验者都不知道被测者所属的组别，（实验组或对照组），分析者在分析资料时，通常也不知道正在分析的资料属于哪一组.旨在消除可能出现在实验者和参与者意识当中的主观偏差和个人偏好.安慰剂：是指没有药物治疗作用，外形与真药相像的片 丸 针剂.
（1）根据所给数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为使用这种中药与A疾病康复有关联？
康复 末康复 单位：
甲组
乙组
合计
（2）若将乙组末用药（用安慰剂代替中药）而康复的频率视为这种疾病的自愈概率，现从患有疾病的人群中随机抽取4人，记其中能自愈的人数为，求的分布列和数学期望.
21．（2022高二下·张家口期末）已知投资甲 乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为
表1：
0.3 0.18 0.1
0.2 0.5 0.3
表2：
0.25 0.15
0.2 0.8
（1）若在甲 乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲 乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲 乙两项目的利弊；
（2）若在甲 乙两个项目总共投资100万元，求在甲 乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
22．（2022高二下·张家口期末）已知函数.
（1）证明：；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合，可得或，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据补集定义求出，再根据交集的定义可得答案.
2．【答案】A
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：A.
【分析】 根据排列组合数公式，进行化简计算，即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】当时，，而，所以成立不是成立的充分条件；
因为，所以，所以，所以成立是成立的必要而不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为，所以，又，
所以，所以，
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的定义，先求出，再结合即可求得答案.
5．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意，先排商 角 徵有种排法，再将这三个音阶有四个空位可排宫 羽两音阶，有种排法，
所以其中宫 羽两音阶不相邻的音序共有（种）排法.
故答案为：A.
【分析】根据题意，先排商 角 徵，再将这三个音阶有四个空位可排宫 羽两音阶，进而求出答案.
6．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
又，所以.
故答案为：D.
【分析】 先对函数求导，然后把代入，即可求解出答案.
7．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件表示小明第二关闯关成功，可得，
由条件概率的计算公式，可得.
故答案为：D.
【分析】设事件表示小明第二关闯关成功，可得，由条件概率的计算公式，即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意，函数
又由，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以
即函数的最大值是.
故答案为：C.
【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求出答案.
9．【答案】B,C
【知识点】命题的否定；基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A中，当时，若，则，所以A不符合题意；
对于B中，由基本不等式，得，当且仅当时等号成立，
因为，可得，B符合题意；
对于C中，由，可得，当且仅当时等号成立，
又由，C符合题意；
对于D中，命题“，者有成立”的否定是“，使成立”，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】b< 0时得出a< b可判断A；利用基本不等式得出，可判断B；利用基本不等式，可判断C；根据全称量词命题的否定是存在量词，判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】因为共8个点且离群点的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，而截距变小，所以正确，而错误；
去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以，故错误，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据散点图逐项进行判断可得答案.
11．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为
令，则，所以A符合题意；
令，则，
又由，
所以，
所以B不符合题意，C符合题意；
由，
令，则，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】在等式中，令计算可判断A，D；令计算可判断B，C.
12．【答案】A,B
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】对于A中，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都未检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者，若第4次还是阴性，则剩下未测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者，若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，所以A符合题意；
对于B中，第2次检测后就可确定患病者有两种情况：
（1）患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他；
（2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他，其概率为，所以B符合题意；
对于C中，第3次检测后可确定患病者有两种情况：1.患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他；2.患者不在混检中并在逐个检测时第1次末抽到他，
其概率为，所以错误；
对于D中，设检测次数为随机变量，则其分布列为
2 3 4
所以，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】根据题意，利用相互独立事件的概念及概率乘法公式，结合随机变量分布列的期望公式，逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】60
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式的通项公式： ，
令 ，解得 ，
所以含 项的系数为 .
故答案为：60
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式： 即可求解.
14．【答案】y=2x-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】易知，又，所以切线的斜率，
所以函数在点处的切线方程为，
化简得y=2x-1.
故答案为：y=2x-1
【分析】 求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f (1)的值，利用直线方程的点斜式求出答案.
15．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式
【解析】【解答】设分别为从乙盒中任取两球是两红 两白 一红一白的两两互斥事件，
事件是最终取到的球是白球，
由全概率公式得.
故答案为：
【分析】设分别为从乙盒中任取两球是两红 两白 一红一白的两两互斥事件，事件是最终取到的球是白球，结合全概率公式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得.
设，则.
当时，，当时，，
当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
故函数的图象如图所示：
故当时，函数有三个零点，即.
故答案为：
【分析】依题意参变分离可得，设，利用导数得到函数的单调性，即可得到函数图象，要使函数有三个零点，即与有三个交点，数形结合，即可求出实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：的定义域为.
令，解得.
当时，，当时时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）解：由（1）知，当在区间上变化时，的变化情况如下表所示：
2 3
0 0
单调递增 单调递减 单诗递增 2
所以函数在区间上的最小值为-10，最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，即可求得函数的单调区间；
(2) 由（1）知，当在区间上变化时，求出的变化情况，利用函数在 上的单调性情况，即可求得函数在区间上的最大值和最小值.
18．【答案】（1）解：把4名女生看为一个整体，和三名男生排列共有种排法，4名女生再排列也有种排法，由分步乘法计数原理，得4名女生相邻的站法共有（种）.
所以4名女生相邻的站法种数（种）.
（2）解：由题意可知，服从超几何分布，且.
的分布列为.
的数学期望.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用捆绑法，结合排列和分步乘法计数原理可求出4名女生相邻的站法种数；
（2）利用超几何分布的知识进行处理即可求出随机变量X的分布列和期望的值.
19．【答案】（1）解：由表格数据和参考数据，得，
则，，
所以关于的经验回归方程为
（2）解：由（1）可知，，解得，
所以首次超过150亿元的年份代号为14，
故预测2028年该市实际利用外资金额首次超过150亿元.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）由已知求得 的值，即可求出 关于的线性回归方程；
（2） 由（1）可知， ，求解可得预测该市实际利用外资金额首次超过150亿元的年份.
20．【答案】（1）解：依题意，列出列联表如下：单位：人
康复 末康复 合计
甲组 20 10 30
乙组 5 25 30
合计 25 35 60
零假设为：组别与康复相互独立，即用药与疾病康复无关，
则
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为用药与A疾病康复有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）解：由题意，乙组末用药而康复的频率为，
所以患有A疾病的自愈概率为，
随机变量的可能取值为，由题意得，随机变量，
所以的分布列为，
所以的数学期望.
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 依题意，列出列联表，利用公式求得 的值，结合附表，即可得出结论；
（2） 由题意求得患有A疾病的自愈概率为，随机变量的可能取值为，结合随机变量 ，即可求出 的分布列和数学期望.
21．【答案】（1）解：由题意，得
，
，
，
，
由，
又，得，
，
因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定.若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙.
（2）解：设万元投资甲，则万元投资了乙，
则投资甲的利润，投资乙的利润
设为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和，
则
当时，的值最小.
故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 利用公式求出期望和方差，利用期望和方差的性质进行求解，可求出 和的数学期望和方差，并由此分析投资甲 乙两项目的利弊；
(2) 计算甲，乙两个项目上的方差，两利用函数计算所获利润的方差和最小值.
22．【答案】（1）证明：由题意，函数，可得，且，
当时，，当时，，
所以当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以
（2）解：由，可得.
设，显然，
又由，
设，则.
当时，，故单调递增，
所以，故也单调递增，
所以，与题设矛盾；
当时，令，
（i）当时，，在区间上，故单调递减，
又，故也单调递减，所以恒成立；
（ii）当时，，当时，，
当时，，
此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又由，所以在时，，
故在区间上单调递增，所以，与题设矛盾，
综上，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出函数 的导数，解关于导函数的不等式，即可求得单调性，进而证得 ；
(2)由，可得，设，求导得 ，设，求导得 的单调性，分 和 讨论求解可得实数的取值范围.
1 / 1河北省张家口市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
1．（2022高二下·张家口期末）设全集，集合，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合，可得或，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据补集定义求出，再根据交集的定义可得答案.
2．（2022高二下·张家口期末）（ ）
A．2 B．22 C．12 D．10
【答案】A
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：A.
【分析】 根据排列组合数公式，进行化简计算，即可得答案.
3．（2022高二下·张家口期末）已知为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】当时，，而，所以成立不是成立的充分条件；
因为，所以，所以，所以成立是成立的必要而不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，可得答案.
4．（2022高二下·张家口期末）已知，且，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为，所以，又，
所以，所以，
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的定义，先求出，再结合即可求得答案.
5．（2022高二下·张家口期末）中国古乐中以“宫 商 角 徵 羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫” “羽”两音阶不相邻的音序共有（ ）
A．72种 B．36种 C．48种 D．24种
【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意，先排商 角 徵有种排法，再将这三个音阶有四个空位可排宫 羽两音阶，有种排法，
所以其中宫 羽两音阶不相邻的音序共有（种）排法.
故答案为：A.
【分析】根据题意，先排商 角 徵，再将这三个音阶有四个空位可排宫 羽两音阶，进而求出答案.
6．（2022高二下·张家口期末）已知函数是函数的导数，则（ ）
A．0 B．π C． D．3
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
又，所以.
故答案为：D.
【分析】 先对函数求导，然后把代入，即可求解出答案.
7．（2022高二下·张家口期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，连续闯过前三关的概率为，且各关相互独立.事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第三关闯关成功，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件表示小明第二关闯关成功，可得，
由条件概率的计算公式，可得.
故答案为：D.
【分析】设事件表示小明第二关闯关成功，可得，由条件概率的计算公式，即可求出答案.
8．（2022高二下·张家口期末）函数的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意，函数
又由，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以
即函数的最大值是.
故答案为：C.
【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求出答案.
9．（2022高二下·张家口期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．已知，若，则
C．已知，若，则
D．命题“，都有成立”的否定是“，使成立”
【答案】B,C
【知识点】命题的否定；基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A中，当时，若，则，所以A不符合题意；
对于B中，由基本不等式，得，当且仅当时等号成立，
因为，可得，B符合题意；
对于C中，由，可得，当且仅当时等号成立，
又由，C符合题意；
对于D中，命题“，者有成立”的否定是“，使成立”，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】b< 0时得出a< b可判断A；利用基本不等式得出，可判断B；利用基本不等式，可判断C；根据全称量词命题的否定是存在量词，判断D.
10．（2022高二下·张家口期末）变量与的成对数据的散点图如下图所示，并由最小二乘法计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定第二个点为离群点（对应残差过大），把点去掉后，再用剩下的7组数据计算得到回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为.则以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】因为共8个点且离群点的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，而截距变小，所以正确，而错误；
去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以，故错误，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据散点图逐项进行判断可得答案.
11．（2022高二下·张家口期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为
令，则，所以A符合题意；
令，则，
又由，
所以，
所以B不符合题意，C符合题意；
由，
令，则，所以D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】在等式中，令计算可判断A，D；令计算可判断B，C.
12．（2022高二下·张家口期末）一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（ ）
A．最多需要检测4次可确定患病者
B．第2次检测后就可确定患病者的概率为
C．第3次检测后就可确定患病者的概率为
D．检测次数的期望为
【答案】A,B
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】对于A中，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都未检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者，若第4次还是阴性，则剩下未测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者，若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，所以A符合题意；
对于B中，第2次检测后就可确定患病者有两种情况：
（1）患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他；
（2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他，其概率为，所以B符合题意；
对于C中，第3次检测后可确定患病者有两种情况：1.患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他；2.患者不在混检中并在逐个检测时第1次末抽到他，
其概率为，所以错误；
对于D中，设检测次数为随机变量，则其分布列为
2 3 4
所以，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】根据题意，利用相互独立事件的概念及概率乘法公式，结合随机变量分布列的期望公式，逐项进行判断，可得答案.
13．（2022高二下·张家口期末）在 的展开式中，含 项的系数为 ．
【答案】60
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式的通项公式： ，
令 ，解得 ，
所以含 项的系数为 .
故答案为：60
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式： 即可求解.
14．（2022高二下·张家口期末）函数在点处的切线方程为 .
【答案】y=2x-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】易知，又，所以切线的斜率，
所以函数在点处的切线方程为，
化简得y=2x-1.
故答案为：y=2x-1
【分析】 求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f (1)的值，利用直线方程的点斜式求出答案.
15．（2022高二下·张家口期末）已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有3个红球和2个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为 .
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式
【解析】【解答】设分别为从乙盒中任取两球是两红 两白 一红一白的两两互斥事件，
事件是最终取到的球是白球，
由全概率公式得.
故答案为：
【分析】设分别为从乙盒中任取两球是两红 两白 一红一白的两两互斥事件，事件是最终取到的球是白球，结合全概率公式即可求出答案.
16．（2022高二下·张家口期末）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得.
设，则.
当时，，当时，，
当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
故函数的图象如图所示：
故当时，函数有三个零点，即.
故答案为：
【分析】依题意参变分离可得，设，利用导数得到函数的单调性，即可得到函数图象，要使函数有三个零点，即与有三个交点，数形结合，即可求出实数的取值范围.
17．（2022高二下·张家口期末）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：的定义域为.
令，解得.
当时，，当时时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）解：由（1）知，当在区间上变化时，的变化情况如下表所示：
2 3
0 0
单调递增 单调递减 单诗递增 2
所以函数在区间上的最小值为-10，最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，即可求得函数的单调区间；
(2) 由（1）知，当在区间上变化时，求出的变化情况，利用函数在 上的单调性情况，即可求得函数在区间上的最大值和最小值.
18．（2022高二下·张家口期末）某班4名女生和3名男生站在一排.
（1）求4名女生相邻的站法种数；
（2）在这7人中随机抽取3人，记其中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和期望的值.
【答案】（1）解：把4名女生看为一个整体，和三名男生排列共有种排法，4名女生再排列也有种排法，由分步乘法计数原理，得4名女生相邻的站法共有（种）.
所以4名女生相邻的站法种数（种）.
（2）解：由题意可知，服从超几何分布，且.
的分布列为.
的数学期望.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用捆绑法，结合排列和分步乘法计数原理可求出4名女生相邻的站法种数；
（2）利用超几何分布的知识进行处理即可求出随机变量X的分布列和期望的值.
19．（2022高二下·张家口期末）某市统计了近7年的实际利用外资金额（单位：亿元）的数据，得到下面的表格：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
实际利用外资金额（单位：亿元） 25 41 50 58 64 78 89
由表中数据，求得变量的相关系数，可判定变量线性相关关系较强.
附：对于一组数据，其回归直线的料率和截距的最小二乘估计分别为：.参考数据：.
（1）建立关于的线性回归方程；
（2）根据（1）的结果，预测该市实际利用外资金额首次超过150亿元的年份.
【答案】（1）解：由表格数据和参考数据，得，
则，，
所以关于的经验回归方程为
（2）解：由（1）可知，，解得，
所以首次超过150亿元的年份代号为14，
故预测2028年该市实际利用外资金额首次超过150亿元.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）由已知求得 的值，即可求出 关于的线性回归方程；
（2） 由（1）可知， ，求解可得预测该市实际利用外资金额首次超过150亿元的年份.
20．（2022高二下·张家口期末）某中医研究所研制了一种治疗A疾病的中药，为了解其对A疾病的作用，要进行双盲实验.把60名患有A疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用这种中药，乙组用安慰剂代替中药，全部疗期后，统计甲 乙两组的康复人数分别为20和5.
附表：
0.100 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10828
附：，其中.
注：双盲实验：是指在实验过程中，测验者与被测验者都不知道被测者所属的组别，（实验组或对照组），分析者在分析资料时，通常也不知道正在分析的资料属于哪一组.旨在消除可能出现在实验者和参与者意识当中的主观偏差和个人偏好.安慰剂：是指没有药物治疗作用，外形与真药相像的片 丸 针剂.
（1）根据所给数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为使用这种中药与A疾病康复有关联？
康复 末康复 单位：
甲组
乙组
合计
（2）若将乙组末用药（用安慰剂代替中药）而康复的频率视为这种疾病的自愈概率，现从患有疾病的人群中随机抽取4人，记其中能自愈的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：依题意，列出列联表如下：单位：人
康复 末康复 合计
甲组 20 10 30
乙组 5 25 30
合计 25 35 60
零假设为：组别与康复相互独立，即用药与疾病康复无关，
则
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为用药与A疾病康复有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）解：由题意，乙组末用药而康复的频率为，
所以患有A疾病的自愈概率为，
随机变量的可能取值为，由题意得，随机变量，
所以的分布列为，
所以的数学期望.
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 依题意，列出列联表，利用公式求得 的值，结合附表，即可得出结论；
（2） 由题意求得患有A疾病的自愈概率为，随机变量的可能取值为，结合随机变量 ，即可求出 的分布列和数学期望.
21．（2022高二下·张家口期末）已知投资甲 乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为
表1：
0.3 0.18 0.1
0.2 0.5 0.3
表2：
0.25 0.15
0.2 0.8
（1）若在甲 乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲 乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲 乙两项目的利弊；
（2）若在甲 乙两个项目总共投资100万元，求在甲 乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
【答案】（1）解：由题意，得
，
，
，
，
由，
又，得，
，
因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定.若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙.
（2）解：设万元投资甲，则万元投资了乙，
则投资甲的利润，投资乙的利润
设为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和，
则
当时，的值最小.
故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 利用公式求出期望和方差，利用期望和方差的性质进行求解，可求出 和的数学期望和方差，并由此分析投资甲 乙两项目的利弊；
(2) 计算甲，乙两个项目上的方差，两利用函数计算所获利润的方差和最小值.
22．（2022高二下·张家口期末）已知函数.
（1）证明：；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明：由题意，函数，可得，且，
当时，，当时，，
所以当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以
（2）解：由，可得.
设，显然，
又由，
设，则.
当时，，故单调递增，
所以，故也单调递增，
所以，与题设矛盾；
当时，令，
（i）当时，，在区间上，故单调递减，
又，故也单调递减，所以恒成立；
（ii）当时，，当时，，
当时，，
此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又由，所以在时，，
故在区间上单调递增，所以，与题设矛盾，
综上，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出函数 的导数，解关于导函数的不等式，即可求得单调性，进而证得 ；
(2)由，可得，设，求导得 ，设，求导得 的单调性，分 和 讨论求解可得实数的取值范围.
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