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辽宁省营口市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·营口期末）等比数列中，已知：，，则公比（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2022高二下·营口期末）设M和N是两个集合，定义集合或，如果，，那么（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高二下·营口期末）已知正数x，y满足：（），则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B．
C．（） D．
4．（2022高二下·营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·营口期末）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．1
6．（2021高一下·浙江月考）函数 在区间 上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高二下·营口期末）已知函数，，对于任意，存在，有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高二下·辽宁期末）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022高二下·营口期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为非奇非偶函数
B．函数的定义域为
C．的单调递增区间为
D．若，则
10．（2022高二下·营口期末）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知的定义域为，值域为M，的定义域为N，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高二下·营口期末）已知，函数的导函数为，下列说法正确的是（ ）
A． B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
12．（2022高二下·营口期末）已知函数，．若实数a，b（a，b均大于1）满足，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的图像关于中心对称
C．
D．
三、填空题
13．（2022高二下·营口期末）已知a，b，c三个数成等差数列，函数的图像过定点A，函数的图像经过点A，则函数的定义域为 ．
14．（2022高二下·营口期末）已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为 ．
15．（2022高二下·营口期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，则 ．
16．（2022高二下·营口期末）函数在R内满足为偶函数，且当时，，函数，则当时，方程所有根的和为 ．
四、解答题
17．（2022高二下·营口期末）已知集合，
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若命题p：“，使得”是假命题，求实数a的取值范围．
18．（2022高二下·营口期末）大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52
耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9
并计算得
附：参考公式和数据：相关系数；；
（1）估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；
（2）求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为182，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．
19．（2022高二下·营口期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示：
v 0 10 30 70
M 0 1150 2250 8050
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；②；③．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200，国道上行驶40，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：）与速度v（单位：）的关系满足（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
20．（2022高二下·营口期末）设数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式：
（2）若，求数列和的前10项的和．
21．（2022高二下·营口期末）已知函数．
（1）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若的最大值为2，求实数m的值；
（3）若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数m的取值范围．
22．（2022高二下·营口期末）已知函数（其中a为参数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对，恒成立，求实数a的取值集合：
（3）证明：（其中，为自然对数的底数）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为是等比数列，所以，故，
故答案为：B
【分析】利用等比数列的通项公式，可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】全集及其运算
【解析】【解答】由，得，，故，
故答案为：C
【分析】先化简求出集合M，N，再根据新定义可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】由（）得，
因为正弦函数为周期函数，故的大小无法确定，A不符合题意，
由得，B不符合题意，
因为，所以，当时，，C不符合题意，
因为，所以，D符合题意，
故答案为：D
【分析】由对数函数的单调性，可得，由三次函数、正弦函数的单调性和不等式的基本性质，逐项进行判断，即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ，当且仅当 时等号成立，
， ，当且仅当 时等号成立，
；
故答案为：B.
【分析】利用基本不等式可求出实数t的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】当时，，无解，
当时，，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.
6．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为 ，所以 为奇函数，其图象关于原点对称，排除 ，
因为 ，所以 在 上不单调，排除B，
故答案为：A
【分析】利用奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数图象关于原点对称，再结合 ，所以 在 上不单调，从而结合排除法找出函数在区间 上可能的图象。
7．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意知：，
因为，
所以
对于任意，存在，有等价于
即.
则实数a的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意得，，对于任意，存在，有等价于，可求出实数a的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】函数 的导数为 ，
则x>0时， ，f(x)递增；
因为 ，则f(x)为偶函数，则不等式 可化为
又因为x>0时， f(x)递增，且f(x)为偶函数，
所以 ，解得： 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，则当x>0时，函数f(x)递增，再利用偶函数的定义判断出函数f(x)为偶函数，则不等式 可化为 又因为x>0时， f(x)递增且f(x)为偶函数，从而求出不等式 的解集。
9．【答案】A,C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设幂函数，为实数，
其图像经过点，所以，则，
所以，定义域为，为非奇非偶函数，A符合题意，B不符合题意.
且在上为增函数，C符合题意.
因为函数是凸函数，所以对定义域内任意，
都有成立，D不符合题意.
故答案为：：AC.
【分析】 利用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，再根据幂函数的性质逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】对于A，，因为，
所以，A符合题意；
对于B，，所以.，所以B不正确；
对于C，因为的定义域为，值域为，
的定义域为： ，解得：，
所以，所以，所以C符合题意；
对于D，，所以D不正确.
故答案为：AC.
【分析】由高斯函数的定义逐项进行计算判断，可得答案.
11．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意知：，
所以，A符合题意；
当时；，单调递增，
当时；，单调递减，B不符合题意；
的极大值为，C符合题意；
方程等价于，
易知函数与函数有且只有一个交点，即方程有且只由一个解，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】 求出函数的导函数为，则可知，f(x)在(-∞， 1)上单调递增，在(1， +∞)上单调递减，的极大值为，方程等价于，易知函数与函数有且只有一个交点，由此即可得答案.
12．【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A：求f(x)定义域和奇偶性，根据复合函数单调性即可判断f(x)单调性；
B：f(x)向右平移一个单位得到g(x)，据此即可判断g(x)对称中心；
C：根据g(x)关于对称化简，再结合g(x)单调性得a与b的大小关系和范围，由此可判断和的大小关系；
D：构造函数，利用导数判断其单调性即可判断．
【详解】对于A，，
在上恒成立，
定义域为，即的定义域关于原点对称，
，
为奇函数，
函数的图像关于点中心对称，
，，在上单调递增，
函数在上单调递增，
函数在上单调递增，A不符合题意；
对于B，，
，
函数的图像关于点中心对称，B符合题意；
对于C，函数的图像关于点中心对称，
，，
，，
相当于向右平移1个单位，
和单调性相同，
函数在上单调递增，，，
，C不符合题意；
对于D，令，，
令，则
在上单调递增，
，
，
在上单调递减，
，，，D符合题意．
故答案为：BD.
【分析】求f (x)定义域和奇偶性，根据复合函数单调性即可判断f (x)单调性可判断A；f(x)向右平移一个单位得到g(x)，据此即可判断g(x)对称中心可判断B；根据g(x)关于对称化简，再结合g(x)单调性得a与b的大小关系和范围，由此可判断和的大小关系可判断C；构造函数，利用导数判断其单调性即可判断D．
13．【答案】（-2，+∞）
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；等差数列的性质
【解析】【解答】因为成等差数列，所以，
所以，当时，，
所以函数的图像过定点，
所以，解得，
所以，
令，则
所以函数的定义域为（-2，+∞）.
故答案为：（-2，+∞）.
【分析】根据等差数列的性质结合对数函数的性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】由题意， 的对称轴为 ，即 或 ，
或 ，
故答案为：
【分析】求出二次函数的对称轴，利用已知条件结合二次函数的性质可得 或 ，求解可得实数a的取值范围.
15．【答案】
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】因为，，，
所以：，
，
，所以
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用数列的递推公式结合斐波那契数列的性质可求出答案.
16．【答案】12
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的图象
【解析】【解答】因为为偶函数，
∴，即函数关于对称，
又，，
即函数关于对称，
当时，，
方程的所有根即为函数与的图象交点的横坐标，
作出函数与的图象，
由图可知当时，函数与的图象共有12个交点，且两两关于对称，
所以方程所有根的和为.
故答案为：12.
【分析】由题意可得函数关于对称，函数关于对称，方程的所有根即为函数与的图象交点的横坐标，作出函数与的图象，数形结合即可求出方程所有根的和.
17．【答案】（1）解：∵，∴恒成立．
∴ 即 解得，
（2）解：∵p：“，得”是假命题，
∴
且
，解得
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据 ，将不等式转化为恒成立问题，即可求得实数a的取值范围；
（2）根据命题p的否定为真命题，化简集合A，B，列出不等式，即可求出实数a的取值范围．
18．【答案】（1）解：样本中10个这种零件的横截面积的平均值，
样本中10个这种零件的耗材量的平均值，
据此可估计刘铭制作的这种零件平均一个的横截面积为0.052，平均一个零件的耗材量为0.39.
（2）解：
∴
（3）解：设这种零件的总耗材量的估计值为y．
又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，
可得，解得，
故这种零件的总耗材量的估计值为1365.
【知识点】众数、中位数、平均数；相关系数
【解析】【分析】(1)根据10个样本数据即可计算平均数；
(2)由相关系数的公式以及参考数据，代入即可求解出样本相关系数；
(3) 根据耗材量和其横截面积近似成正比，即可列出比例式，求解可得这种零件的总耗材量的估计值.
19．【答案】（1）解：因为函数是定义城上的减函数，
又无意义，
所以函数与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合格中所列数据的函数模型，
由，
解得，
所以
（2）解：由题意，高速路上的耗电量，
当时，，
所以函数在区间上是增函数，
所以，
国道上的耗电最，
所以
所以当高速路上速度为80，国道上速度为40时，总耗电最少，为33300
【知识点】二次函数的性质；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1) 根据函数的单调性排除 ② ，根据定义域排除 ③ ，利用待定系数法即可求得相应的函数解析式；
(2) 由题意，高速路上的耗电量，再分析的单调性求得最小值，再由题意可得国道上的耗电量，根据二次函数的性质，即可求出如何行驶才能使得总耗电量最少.
20．【答案】（1）解：由得：当时，，故，即，当时，，故是以公比为3，首项为3的等比数列，因此.
（2）解：当为偶数时，
当为奇数时，，
所以数列和的前10项的和：
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)根据 与 的关系即可相减求解 是等比数列，进而可求出数列的通项公式；
(2) 当为偶数时，，当为奇数时，，再根据分组求和即可求出数列的前10项的和．
21．【答案】（1）解：因为对任意的，恒成立，
所以恒成立，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以.
（2）解：
因为，所以，
当时：，不符合题意，
当时：，不符合题意，
当时：，即，
所以
（3）解：由题意知：对任意的，，恒成立，
当时，，且，
所以；
当时：，符合题意；
当时：，且，
所以；
综上所述：实数m的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【分析】(1)由对任意的，恒成立，利用参变分离可变形为 恒成立，利用基本不等式，可求出实数m的取值范围；
(2)由题意知 且 ，讨论m与1的大小关系，即可求出的取值范围，则可求出实数m的值；
(3) 由题意知：对任意的，，恒成立， 讨论m与1的大小关系，分别写出 与 的取造范围，利用恒成立即可列出不等式，求解可得实数m的取值范围．
22．【答案】（1）解：，，
当时，，在单调递增，
当时，令，得，
时，，单调递减，
时，单调递增；
综上：时，在上递增，无减区间，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）解：由题意得，
当时，在单调递增，又，故当时，，故不符合题意，
当时，在单调递减，在单调递增，
故，
对，恒成立，则需满足，
记，则，
当时，，当时，，
故在上递减，在上递增，
所以的解只有，
实数的取值集合为
（3）证明：由（2）知：
令，则，即，即，
所以，
由（2）知：
令，则，即，
即，所以，
综上可知：.
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；
(2)对 ， 转化为 ， 分和求出 ， 求解不等式可得实数a的取值集合；
(3) 由（2）知：， 令利用(1)中的函数的单调性可证明， 由（2）知：， 令 ， 利用(1)中的函数的单调性可证明出结论.
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辽宁省营口市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·营口期末）等比数列中，已知：，，则公比（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为是等比数列，所以，故，
故答案为：B
【分析】利用等比数列的通项公式，可求出答案.
2．（2022高二下·营口期末）设M和N是两个集合，定义集合或，如果，，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】全集及其运算
【解析】【解答】由，得，，故，
故答案为：C
【分析】先化简求出集合M，N，再根据新定义可求出答案.
3．（2022高二下·营口期末）已知正数x，y满足：（），则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B．
C．（） D．
【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】由（）得，
因为正弦函数为周期函数，故的大小无法确定，A不符合题意，
由得，B不符合题意，
因为，所以，当时，，C不符合题意，
因为，所以，D符合题意，
故答案为：D
【分析】由对数函数的单调性，可得，由三次函数、正弦函数的单调性和不等式的基本性质，逐项进行判断，即可得到答案.
4．（2022高二下·营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ，当且仅当 时等号成立，
， ，当且仅当 时等号成立，
；
故答案为：B.
【分析】利用基本不等式可求出实数t的取值范围.
5．（2022高二下·营口期末）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】当时，，无解，
当时，，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.
6．（2021高一下·浙江月考）函数 在区间 上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为 ，所以 为奇函数，其图象关于原点对称，排除 ，
因为 ，所以 在 上不单调，排除B，
故答案为：A
【分析】利用奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数图象关于原点对称，再结合 ，所以 在 上不单调，从而结合排除法找出函数在区间 上可能的图象。
7．（2022高二下·营口期末）已知函数，，对于任意，存在，有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意知：，
因为，
所以
对于任意，存在，有等价于
即.
则实数a的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意得，，对于任意，存在，有等价于，可求出实数a的取值范围.
8．（2021高二下·辽宁期末）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】函数 的导数为 ，
则x>0时， ，f(x)递增；
因为 ，则f(x)为偶函数，则不等式 可化为
又因为x>0时， f(x)递增，且f(x)为偶函数，
所以 ，解得： 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，则当x>0时，函数f(x)递增，再利用偶函数的定义判断出函数f(x)为偶函数，则不等式 可化为 又因为x>0时， f(x)递增且f(x)为偶函数，从而求出不等式 的解集。
二、多选题
9．（2022高二下·营口期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为非奇非偶函数
B．函数的定义域为
C．的单调递增区间为
D．若，则
【答案】A,C
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设幂函数，为实数，
其图像经过点，所以，则，
所以，定义域为，为非奇非偶函数，A符合题意，B不符合题意.
且在上为增函数，C符合题意.
因为函数是凸函数，所以对定义域内任意，
都有成立，D不符合题意.
故答案为：：AC.
【分析】 利用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，再根据幂函数的性质逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高二下·营口期末）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知的定义域为，值域为M，的定义域为N，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】对于A，，因为，
所以，A符合题意；
对于B，，所以.，所以B不正确；
对于C，因为的定义域为，值域为，
的定义域为： ，解得：，
所以，所以，所以C符合题意；
对于D，，所以D不正确.
故答案为：AC.
【分析】由高斯函数的定义逐项进行计算判断，可得答案.
11．（2022高二下·营口期末）已知，函数的导函数为，下列说法正确的是（ ）
A． B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意知：，
所以，A符合题意；
当时；，单调递增，
当时；，单调递减，B不符合题意；
的极大值为，C符合题意；
方程等价于，
易知函数与函数有且只有一个交点，即方程有且只由一个解，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】 求出函数的导函数为，则可知，f(x)在(-∞， 1)上单调递增，在(1， +∞)上单调递减，的极大值为，方程等价于，易知函数与函数有且只有一个交点，由此即可得答案.
12．（2022高二下·营口期末）已知函数，．若实数a，b（a，b均大于1）满足，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的图像关于中心对称
C．
D．
【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】A：求f(x)定义域和奇偶性，根据复合函数单调性即可判断f(x)单调性；
B：f(x)向右平移一个单位得到g(x)，据此即可判断g(x)对称中心；
C：根据g(x)关于对称化简，再结合g(x)单调性得a与b的大小关系和范围，由此可判断和的大小关系；
D：构造函数，利用导数判断其单调性即可判断．
【详解】对于A，，
在上恒成立，
定义域为，即的定义域关于原点对称，
，
为奇函数，
函数的图像关于点中心对称，
，，在上单调递增，
函数在上单调递增，
函数在上单调递增，A不符合题意；
对于B，，
，
函数的图像关于点中心对称，B符合题意；
对于C，函数的图像关于点中心对称，
，，
，，
相当于向右平移1个单位，
和单调性相同，
函数在上单调递增，，，
，C不符合题意；
对于D，令，，
令，则
在上单调递增，
，
，
在上单调递减，
，，，D符合题意．
故答案为：BD.
【分析】求f (x)定义域和奇偶性，根据复合函数单调性即可判断f (x)单调性可判断A；f(x)向右平移一个单位得到g(x)，据此即可判断g(x)对称中心可判断B；根据g(x)关于对称化简，再结合g(x)单调性得a与b的大小关系和范围，由此可判断和的大小关系可判断C；构造函数，利用导数判断其单调性即可判断D．
三、填空题
13．（2022高二下·营口期末）已知a，b，c三个数成等差数列，函数的图像过定点A，函数的图像经过点A，则函数的定义域为 ．
【答案】（-2，+∞）
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；等差数列的性质
【解析】【解答】因为成等差数列，所以，
所以，当时，，
所以函数的图像过定点，
所以，解得，
所以，
令，则
所以函数的定义域为（-2，+∞）.
故答案为：（-2，+∞）.
【分析】根据等差数列的性质结合对数函数的性质即可求出答案.
14．（2022高二下·营口期末）已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】由题意， 的对称轴为 ，即 或 ，
或 ，
故答案为：
【分析】求出二次函数的对称轴，利用已知条件结合二次函数的性质可得 或 ，求解可得实数a的取值范围.
15．（2022高二下·营口期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，则 ．
【答案】
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】因为，，，
所以：，
，
，所以
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用数列的递推公式结合斐波那契数列的性质可求出答案.
16．（2022高二下·营口期末）函数在R内满足为偶函数，且当时，，函数，则当时，方程所有根的和为 ．
【答案】12
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的图象
【解析】【解答】因为为偶函数，
∴，即函数关于对称，
又，，
即函数关于对称，
当时，，
方程的所有根即为函数与的图象交点的横坐标，
作出函数与的图象，
由图可知当时，函数与的图象共有12个交点，且两两关于对称，
所以方程所有根的和为.
故答案为：12.
【分析】由题意可得函数关于对称，函数关于对称，方程的所有根即为函数与的图象交点的横坐标，作出函数与的图象，数形结合即可求出方程所有根的和.
四、解答题
17．（2022高二下·营口期末）已知集合，
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若命题p：“，使得”是假命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：∵，∴恒成立．
∴ 即 解得，
（2）解：∵p：“，得”是假命题，
∴
且
，解得
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据 ，将不等式转化为恒成立问题，即可求得实数a的取值范围；
（2）根据命题p的否定为真命题，化简集合A，B，列出不等式，即可求出实数a的取值范围．
18．（2022高二下·营口期末）大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52
耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9
并计算得
附：参考公式和数据：相关系数；；
（1）估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；
（2）求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为182，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．
【答案】（1）解：样本中10个这种零件的横截面积的平均值，
样本中10个这种零件的耗材量的平均值，
据此可估计刘铭制作的这种零件平均一个的横截面积为0.052，平均一个零件的耗材量为0.39.
（2）解：
∴
（3）解：设这种零件的总耗材量的估计值为y．
又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，
可得，解得，
故这种零件的总耗材量的估计值为1365.
【知识点】众数、中位数、平均数；相关系数
【解析】【分析】(1)根据10个样本数据即可计算平均数；
(2)由相关系数的公式以及参考数据，代入即可求解出样本相关系数；
(3) 根据耗材量和其横截面积近似成正比，即可列出比例式，求解可得这种零件的总耗材量的估计值.
19．（2022高二下·营口期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示：
v 0 10 30 70
M 0 1150 2250 8050
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；②；③．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200，国道上行驶40，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：）与速度v（单位：）的关系满足（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】（1）解：因为函数是定义城上的减函数，
又无意义，
所以函数与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合格中所列数据的函数模型，
由，
解得，
所以
（2）解：由题意，高速路上的耗电量，
当时，，
所以函数在区间上是增函数，
所以，
国道上的耗电最，
所以
所以当高速路上速度为80，国道上速度为40时，总耗电最少，为33300
【知识点】二次函数的性质；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1) 根据函数的单调性排除 ② ，根据定义域排除 ③ ，利用待定系数法即可求得相应的函数解析式；
(2) 由题意，高速路上的耗电量，再分析的单调性求得最小值，再由题意可得国道上的耗电量，根据二次函数的性质，即可求出如何行驶才能使得总耗电量最少.
20．（2022高二下·营口期末）设数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式：
（2）若，求数列和的前10项的和．
【答案】（1）解：由得：当时，，故，即，当时，，故是以公比为3，首项为3的等比数列，因此.
（2）解：当为偶数时，
当为奇数时，，
所以数列和的前10项的和：
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)根据 与 的关系即可相减求解 是等比数列，进而可求出数列的通项公式；
(2) 当为偶数时，，当为奇数时，，再根据分组求和即可求出数列的前10项的和．
21．（2022高二下·营口期末）已知函数．
（1）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若的最大值为2，求实数m的值；
（3）若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：因为对任意的，恒成立，
所以恒成立，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以.
（2）解：
因为，所以，
当时：，不符合题意，
当时：，不符合题意，
当时：，即，
所以
（3）解：由题意知：对任意的，，恒成立，
当时，，且，
所以；
当时：，符合题意；
当时：，且，
所以；
综上所述：实数m的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【分析】(1)由对任意的，恒成立，利用参变分离可变形为 恒成立，利用基本不等式，可求出实数m的取值范围；
(2)由题意知 且 ，讨论m与1的大小关系，即可求出的取值范围，则可求出实数m的值；
(3) 由题意知：对任意的，，恒成立， 讨论m与1的大小关系，分别写出 与 的取造范围，利用恒成立即可列出不等式，求解可得实数m的取值范围．
22．（2022高二下·营口期末）已知函数（其中a为参数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对，恒成立，求实数a的取值集合：
（3）证明：（其中，为自然对数的底数）
【答案】（1）解：，，
当时，，在单调递增，
当时，令，得，
时，，单调递减，
时，单调递增；
综上：时，在上递增，无减区间，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）解：由题意得，
当时，在单调递增，又，故当时，，故不符合题意，
当时，在单调递减，在单调递增，
故，
对，恒成立，则需满足，
记，则，
当时，，当时，，
故在上递减，在上递增，
所以的解只有，
实数的取值集合为
（3）证明：由（2）知：
令，则，即，即，
所以，
由（2）知：
令，则，即，
即，所以，
综上可知：.
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；
(2)对 ， 转化为 ， 分和求出 ， 求解不等式可得实数a的取值集合；
(3) 由（2）知：， 令利用(1)中的函数的单调性可证明， 由（2）知：， 令 ， 利用(1)中的函数的单调性可证明出结论.
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