2022-2023学年冀教版数学九年级上册25.5相似三角形的性质同步测试题
一、单选题
1．（2022八下·莱州期末）已知两个相似三角形的周长比为，若较大三角形的面积等于，则较小三角形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·福建竞赛）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足.若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·遂宁期末）如图， 中， 是 的中位线，连接 ， 相交于点 ，若 ，则 为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
4．（2021九上·邗江期末）如图，在 ABC中，DE BC，EF AB，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·邗江期末）已知 ，且相似比为 ，则 与 的周长比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·南京期末）如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·黄浦期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·镇平县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ABC的面积为16，则四边形BCED的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
9．（2021九上·淮北月考）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
10．（2021九上·盐湖期中）如果两个相似三角形的对应边之比为2：5，其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，则另一个三角形对应角平分线的长为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
二、填空题
11．（2022九下·下城开学考）已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 .
12．（2022九上·平桂期末）若将△ABC的各边都扩大为原来的2倍，则该三角形的周长会扩大为原来的 倍.
13．（2021九上·海州期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值为 .
14．（2021九上·青浦期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为 ．
15．（2021九上·金山期末）如果两个相似三角形的面积比为1：4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是 ．
16．（2021九上·佛山月考）若两个相似三角形的相似比是5：7，则它们的对应高线的比是 ．
三、解答题
17．（2021九上·涟水月考）已知△ABC∽△DEF，且DE＝2 cm，AB＝4 cm，BC＝5 cm，CA＝6 cm，求△DEF的周长.
18．（2019九上·兰州期末）已知 和 中，有 ,且 和 的周长之差为15厘米，求 和 的周长.
19．已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k．
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么 等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么 等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
四、综合题
20．（2021九上·松江月考）如图，AD和BC相交于点E，AC∥BD，点F在CD上，AC＝4，BD＝6， ，
（1）求EF的长；
（2）已知S△CBD＝25，求△CEF的面积．
21．（2020八下·苏州期末）[探索规律]
如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、 BC、 AC上，且DF//BC，EF//AB.设△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2.
（1）若△ADF、△EFC的面积分别为4和1，则 = ；
（2）某校数学兴趣小组的同学对△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积关系进行了研究设△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积分别为S1、 S2、S， EC的长为a，则S2= (用含a和h2的式子表示)；S1= (用含a、h1和h2的式子表示)；S= (用含a、h1的式子表示)；从而得出S=2 .
（3）[解决问题]
如图②，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，点F、G在BC上，且DE//BC，DF//EG.若△ADE、△DBF.△EGC的面积分别为2、3、 5，求△ABC的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较小三角形的面积等于，
由题意得：，
解得，
即较小三角形的面积等于，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设 ，则 ， .
作 于 ，
则 .
所以 .
所以 ，
即 ，
解得 .
于是 ， .
所以 ，
.
又 ，
所以 .
因此 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】设BC=a，则AB=2a，DM=MC=a，作MH⊥AB于点H，根据同角的余角相等可得∠EMH=∠FAB，证明△EMH∽△FAB，根据相似三角形的性质可得a的值，利用勾股定理可得AF，根据三角形的面积公式可得S△ABF，根据相似三角形的性质可得S△AEG，然后根据S四边形BFGE=S△ABF-S△AGE进行计算.
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 是
的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵BE是中线，
∴ =
，
∵ 是
的中位线，
∴DE∥BC，
∴ =
，
∴ =
，
∴ +
+
=
+
，
∴ +
=
，
∴ =3.
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE∥BC，BC=2DE，证明△DEF∽△CBF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△CBF=4，易得S△ABE=S△CBE，S△BDE=S△CDE，推出S△ADE+S△DEF=S△CBF，据此计算.
4．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，EF∥AB，
∴AD：DB=AE：EC，AE：CE=BF：CF，
∴ ，所以A选项的等式成立；
B、∵DE∥BC，
∴ ，所以B选项的等式不成立；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，所以C选项的等式不成立；
D、∵DE∥BC，
∴ ，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴ ，所以D选项的等式不成立.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可判断A、B；易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可判断C；根据DE∥BC结合平行线分线段成比例的性质可得
，证明△CEF∽△CAB，然后结合相似三角形的性质可判断D.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答即可.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
∴ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行判断.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质可得它们的对应角平分线之比等于相似比且为1：4。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=
BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=
，
∴，
∵S△ABC=16，
∴，
∴S四边形BCED= S△ABC-S△ADE=16-4=12.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=
BC，根据“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得
，则S△ADE=
S△ABC，再由图形的构成S四边形BCED= S△ABC-S△ADE可求解.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：两个相似三角形的面积之比为：
相似比为：
相似三角形对应高的比等于相似比
对应边上的高的比为：2：3
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的高之比等于相似比求解即可。
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个三角形的对应角平分线的长为x，
∵两个相似三角形的对应边之比为2：5，
∴它们对应的一个内角的角平分线的长的比为2：5，
∵其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，而这条角平分线可能是大三角形的也可能是小三角形的，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故答案为：C．
【分析】设另一个三角形的对应角平分线的长为x，根据相似三角形的对应边之比为2：5，在根据其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，而这条角平分线可能是大三角形的也可能是小三角形的，由此求解即可。
11．【答案】3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3，
∴它们的周长之比为3，
故答案为：3.
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，可得答案.
12．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：
一个三角形的各边长扩大为原来的2倍，
扩大后的三角形与原三角形相似，
相似三角形的周长的比等于相似比，
这个三角形的周长扩大为原来的2倍，
故答案为：2.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可.
13．【答案】1：4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图：
∵AD ∥ BC，
∴△AOD∽△COB，
∴
∵BC＝2AD，
∴ ，
故答案为：1：4.
【分析】易证△AOD∽△COB，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行计算即可.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴对应高线的比为，
故答案为：．
【分析】先求出两个相似三角形的相似比为，再求解即可。
15．【答案】9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴两个相似三角形的周长也比为，
∵较大的三角形的周长为18，
∴较小的三角形的周长为．
故答案为：9．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案。
16．【答案】5：7
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是5：7，
∴它们的对应高线的比是5：7；
故答案是：5：7．
【分析】根据两个相似三角形的相似比是5：7，求解即可。
17．【答案】解：△ABC的周长=AB+BC+CA=4+5+6=15（cm），
∵△ABC∽△DEF，
∴，
∴△DEF的周长=×15=7.5（cm）.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】先求出△ABC的周长，再根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算，即可解答.
18．【答案】解：设 和 的周长分别是x厘米和y厘米.
∵
①..
由题意可得： ②
由①式得 ③
将③式代入①式得：
y=45
将y=45代入②式得：x=30
∴x=30,y=45
答： 和 的周长分别是30厘米和45厘米
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】 设 和 的周长分别是x厘米和y厘米. 根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出①, 由题意可得： ②， 解①②组成的方程组即可求出x,y的值，从而得出答案。
19．【答案】（1）解：相似三角形的相似比等于其对应高的比，
∴ =k
（2）解：当其为角平分线时， =k．
当其为中线时， =k
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的相似比等于对应高的比求解。（2）相似三角形的对应角平分线以及对应中线都等于相似三角形的相似比。
20．【答案】（1）解：过E作EG⊥CD于G，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠EDB，∠ACE=∠B，
∴△ACE∽△DBE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠ECF=∠BCD，
∴△CEF∽△CBD，
∴∠CEF=∠B， ，
∴EF∥BD，
∵AC∥BD，
∴EF∥AC，
∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DCA，
∴△DEF∽△DAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵△CEF∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】 (1) 由 AC∥BD判断△ACE∽△DBE 得到对应边成比例 ，再由同高三角形的面积比等于相似比可得比例式 可判断 △CEF∽△CBD ，进而判断 △DEF∽△DAC，然后列出比例式即可求得结果；
(2) 由△CEF∽△CBD可得相似三角形的面积比等于相似比的平方，列式计算即可得到答案。
21．【答案】（1）2
（2）；；
（3）解：如图②，过点D作DM∥AC交BC于点M，
∴∠DMF=∠ECG，
∵DE∥BC，DF∥BG，
∴四边形DFGE为平行四边形，
∴∠DF=EG，∠DFM=∠EGC，
∴△DFM≌△EGC（AAS），
∴ = =5，
∵ =3，
∴ =3+5=8，
∵DE∥BM，DM∥AC，
∴∠ADE=∠DBM，∠BDM=∠BAE，
∴△DAE∽△BDM，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD=∠ACB，∠DAF=∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∵△ADF、△EFC的面积分别为4，1，
∴ ，
∴ ，
∵△ADF的边DF上的高为 ，△EFC的边CE上的高为 ，
∴ ，
故答案为： ；
（ 2 ）∵EC的长为 ，
= CE = ，
由（1）得：△ADF∽△FEC，
∴ ，
∴DF= ，
∴ = DF = ，
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴四边形BDFE的面积S= DF = = ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）证明△ADF∽△FEC，由相似三角形的性质可得出答案；（2）由三角形面积公式得出 = CE = a .由相似三角形的性质得出 ，则DF= ，由三角形面积公式得出S1= ，证四边形BDFE是平行四边形，由平行四边形面积公式得出S=DF = ，进而得出S=2 ；（3）过点D作DM∥AC交BC于点M，证△DFM≌△EGC（AAS），得 = =5，证明△DAE∽△BDM，则 ，得 ，由相似三角形的性质得 .
1 / 12022-2023学年冀教版数学九年级上册25.5相似三角形的性质同步测试题
一、单选题
1．（2022八下·莱州期末）已知两个相似三角形的周长比为，若较大三角形的面积等于，则较小三角形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较小三角形的面积等于，
由题意得：，
解得，
即较小三角形的面积等于，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答.
2．（2022九上·福建竞赛）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足.若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设 ，则 ， .
作 于 ，
则 .
所以 .
所以 ，
即 ，
解得 .
于是 ， .
所以 ，
.
又 ，
所以 .
因此 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】设BC=a，则AB=2a，DM=MC=a，作MH⊥AB于点H，根据同角的余角相等可得∠EMH=∠FAB，证明△EMH∽△FAB，根据相似三角形的性质可得a的值，利用勾股定理可得AF，根据三角形的面积公式可得S△ABF，根据相似三角形的性质可得S△AEG，然后根据S四边形BFGE=S△ABF-S△AGE进行计算.
3．（2021九上·遂宁期末）如图， 中， 是 的中位线，连接 ， 相交于点 ，若 ，则 为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 是
的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵BE是中线，
∴ =
，
∵ 是
的中位线，
∴DE∥BC，
∴ =
，
∴ =
，
∴ +
+
=
+
，
∴ +
=
，
∴ =3.
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE∥BC，BC=2DE，证明△DEF∽△CBF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△CBF=4，易得S△ABE=S△CBE，S△BDE=S△CDE，推出S△ADE+S△DEF=S△CBF，据此计算.
4．（2021九上·邗江期末）如图，在 ABC中，DE BC，EF AB，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，EF∥AB，
∴AD：DB=AE：EC，AE：CE=BF：CF，
∴ ，所以A选项的等式成立；
B、∵DE∥BC，
∴ ，所以B选项的等式不成立；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，所以C选项的等式不成立；
D、∵DE∥BC，
∴ ，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴ ，所以D选项的等式不成立.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可判断A、B；易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可判断C；根据DE∥BC结合平行线分线段成比例的性质可得
，证明△CEF∽△CAB，然后结合相似三角形的性质可判断D.
5．（2021九上·邗江期末）已知 ，且相似比为 ，则 与 的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答即可.
6．（2021九上·南京期末）如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
∴ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行判断.
7．（2021九上·黄浦期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质可得它们的对应角平分线之比等于相似比且为1：4。
8．（2021九上·镇平县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ABC的面积为16，则四边形BCED的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=
BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=
，
∴，
∵S△ABC=16，
∴，
∴S四边形BCED= S△ABC-S△ADE=16-4=12.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=
BC，根据“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得
，则S△ADE=
S△ABC，再由图形的构成S四边形BCED= S△ABC-S△ADE可求解.
9．（2021九上·淮北月考）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：两个相似三角形的面积之比为：
相似比为：
相似三角形对应高的比等于相似比
对应边上的高的比为：2：3
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的高之比等于相似比求解即可。
10．（2021九上·盐湖期中）如果两个相似三角形的对应边之比为2：5，其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，则另一个三角形对应角平分线的长为（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个三角形的对应角平分线的长为x，
∵两个相似三角形的对应边之比为2：5，
∴它们对应的一个内角的角平分线的长的比为2：5，
∵其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，而这条角平分线可能是大三角形的也可能是小三角形的，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故答案为：C．
【分析】设另一个三角形的对应角平分线的长为x，根据相似三角形的对应边之比为2：5，在根据其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，而这条角平分线可能是大三角形的也可能是小三角形的，由此求解即可。
二、填空题
11．（2022九下·下城开学考）已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 .
【答案】3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3，
∴它们的周长之比为3，
故答案为：3.
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，可得答案.
12．（2022九上·平桂期末）若将△ABC的各边都扩大为原来的2倍，则该三角形的周长会扩大为原来的 倍.
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：
一个三角形的各边长扩大为原来的2倍，
扩大后的三角形与原三角形相似，
相似三角形的周长的比等于相似比，
这个三角形的周长扩大为原来的2倍，
故答案为：2.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可.
13．（2021九上·海州期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC＝2AD，那么S△AOD：S△BOC的值为 .
【答案】1：4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图：
∵AD ∥ BC，
∴△AOD∽△COB，
∴
∵BC＝2AD，
∴ ，
故答案为：1：4.
【分析】易证△AOD∽△COB，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行计算即可.
14．（2021九上·青浦期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴对应高线的比为，
故答案为：．
【分析】先求出两个相似三角形的相似比为，再求解即可。
15．（2021九上·金山期末）如果两个相似三角形的面积比为1：4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是 ．
【答案】9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴两个相似三角形的周长也比为，
∵较大的三角形的周长为18，
∴较小的三角形的周长为．
故答案为：9．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案。
16．（2021九上·佛山月考）若两个相似三角形的相似比是5：7，则它们的对应高线的比是 ．
【答案】5：7
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是5：7，
∴它们的对应高线的比是5：7；
故答案是：5：7．
【分析】根据两个相似三角形的相似比是5：7，求解即可。
三、解答题
17．（2021九上·涟水月考）已知△ABC∽△DEF，且DE＝2 cm，AB＝4 cm，BC＝5 cm，CA＝6 cm，求△DEF的周长.
【答案】解：△ABC的周长=AB+BC+CA=4+5+6=15（cm），
∵△ABC∽△DEF，
∴，
∴△DEF的周长=×15=7.5（cm）.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】先求出△ABC的周长，再根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算，即可解答.
18．（2019九上·兰州期末）已知 和 中，有 ,且 和 的周长之差为15厘米，求 和 的周长.
【答案】解：设 和 的周长分别是x厘米和y厘米.
∵
①..
由题意可得： ②
由①式得 ③
将③式代入①式得：
y=45
将y=45代入②式得：x=30
∴x=30,y=45
答： 和 的周长分别是30厘米和45厘米
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】 设 和 的周长分别是x厘米和y厘米. 根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出①, 由题意可得： ②， 解①②组成的方程组即可求出x,y的值，从而得出答案。
19．已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k．
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么 等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么 等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
【答案】（1）解：相似三角形的相似比等于其对应高的比，
∴ =k
（2）解：当其为角平分线时， =k．
当其为中线时， =k
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的相似比等于对应高的比求解。（2）相似三角形的对应角平分线以及对应中线都等于相似三角形的相似比。
四、综合题
20．（2021九上·松江月考）如图，AD和BC相交于点E，AC∥BD，点F在CD上，AC＝4，BD＝6， ，
（1）求EF的长；
（2）已知S△CBD＝25，求△CEF的面积．
【答案】（1）解：过E作EG⊥CD于G，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠EDB，∠ACE=∠B，
∴△ACE∽△DBE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠ECF=∠BCD，
∴△CEF∽△CBD，
∴∠CEF=∠B， ，
∴EF∥BD，
∵AC∥BD，
∴EF∥AC，
∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DCA，
∴△DEF∽△DAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵△CEF∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】 (1) 由 AC∥BD判断△ACE∽△DBE 得到对应边成比例 ，再由同高三角形的面积比等于相似比可得比例式 可判断 △CEF∽△CBD ，进而判断 △DEF∽△DAC，然后列出比例式即可求得结果；
(2) 由△CEF∽△CBD可得相似三角形的面积比等于相似比的平方，列式计算即可得到答案。
21．（2020八下·苏州期末）[探索规律]
如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、 BC、 AC上，且DF//BC，EF//AB.设△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2.
（1）若△ADF、△EFC的面积分别为4和1，则 = ；
（2）某校数学兴趣小组的同学对△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积关系进行了研究设△ADF、△EFC、四边形BDEF的面积分别为S1、 S2、S， EC的长为a，则S2= (用含a和h2的式子表示)；S1= (用含a、h1和h2的式子表示)；S= (用含a、h1的式子表示)；从而得出S=2 .
（3）[解决问题]
如图②，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，点F、G在BC上，且DE//BC，DF//EG.若△ADE、△DBF.△EGC的面积分别为2、3、 5，求△ABC的面积.
【答案】（1）2
（2）；；
（3）解：如图②，过点D作DM∥AC交BC于点M，
∴∠DMF=∠ECG，
∵DE∥BC，DF∥BG，
∴四边形DFGE为平行四边形，
∴∠DF=EG，∠DFM=∠EGC，
∴△DFM≌△EGC（AAS），
∴ = =5，
∵ =3，
∴ =3+5=8，
∵DE∥BM，DM∥AC，
∴∠ADE=∠DBM，∠BDM=∠BAE，
∴△DAE∽△BDM，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD=∠ACB，∠DAF=∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∵△ADF、△EFC的面积分别为4，1，
∴ ，
∴ ，
∵△ADF的边DF上的高为 ，△EFC的边CE上的高为 ，
∴ ，
故答案为： ；
（ 2 ）∵EC的长为 ，
= CE = ，
由（1）得：△ADF∽△FEC，
∴ ，
∴DF= ，
∴ = DF = ，
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴四边形BDFE的面积S= DF = = ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）证明△ADF∽△FEC，由相似三角形的性质可得出答案；（2）由三角形面积公式得出 = CE = a .由相似三角形的性质得出 ，则DF= ，由三角形面积公式得出S1= ，证四边形BDFE是平行四边形，由平行四边形面积公式得出S=DF = ，进而得出S=2 ；（3）过点D作DM∥AC交BC于点M，证△DFM≌△EGC（AAS），得 = =5，证明△DAE∽△BDM，则 ，得 ，由相似三角形的性质得 .
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