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（锁定：题目与试卷不符）2018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.3.2 等边三角形（2） 同步练习
一、选择题
1．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
2．（2017八下·桂林期中）已知直角三角形中30°角所对的直角边长为5，则斜边长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
3．如图，在Rt△ABC中， ACB＝90°， B＝60°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若EC＝ ，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．3
4．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2.5
5．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．4m B． m C．8m D．16m
6．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若PF＝3，则BP＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF=（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．在 中， 为直角， ， 于D，若 ，则AB的长度是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．（2018·淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
二、填空题
10．（2018九下·宁河模拟）小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降 米．
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=8cm，BD= cm．
12．（2017八上·哈尔滨月考）已知等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，且AD=AE，∠EDC=15°，则线段CD= .
13．若∠BAC＝30°，AP 平分∠BAC，PD∥AC，且 PD＝6，PE⊥AC，则 PE＝
14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
15．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，OP+OM=17，则OM= .
三、解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长．
17．如图，已知△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥BC，过A作AD⊥BD，垂足为D，若△ABC的周长为12，求AD的长.
18．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ= BP．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．
20．如图所示，在等边 中，点D，E分别在边BC，AC上，且 ，过点E作 ，交BC的延长线于点F．
（1）求 的大小；
（2）若 ，求DF的长．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连结CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵∠B=30°，∴∠DCB=60°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，
∵AC=6，∴AD=3，AB=12，∴BD=9.
故答案为：C.
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AB、AD的值，求出BD的值.
2．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得斜边长为10，故选B.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接BE.
∵∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠CBE=60°-30°=30°，
∴BE=2CE=2× =2 ，
∴AC=AE+CE= + =3 .
故答案为：C.
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，和线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，求出AC的长.
4．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥OB于M．
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝ PC＝5．
∵PD＝PM，
∴PD＝5．
故答案为：C．
【分析】根据三角形三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠BCP的度数，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出PM的值，再由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，得到PD＝PM的值.
5．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】过C作 于
则
故答案为：A．
【分析】根据平角定义得到∠CBM=30°，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出高度h的值.
6．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°．
在△BAD和△ACE中
，
∴△BAD≌△ACE．
∴∠CAE=∠ABD．
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠EAC=∠BAC=60°．
∴在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°=30°．
∴BP=2PF=6．
故答案为：A．
【分析】由等边三角形的性质得到三边相等，三个角都是60°，再由全等三角形的判定方法AAS，得到△BAD≌△ACE，得到对应角相等，再由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠BPF的度数，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出BP的值.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC是边长为20的等边三角形，
所以BC=20 ，∠B=∠C=60 ，
又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以，∠BDE=30 ，∠CDF=30 ，
所以，BE= BD， CF= DC，
所以，BE+CF= BD+ DC= BC=10.
故答案为：B
【分析】根据等边三角形的性质得到边长，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出BE、CF的值.
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4，
∴AB=2BC=8.
故答案为：A.
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AB=2BC=4BD的值.
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义平行线的性质得出∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，根据等量代换及等角对等边得出∠ACB=2∠B，NM=NC，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B=30°，根据含30 角的直角三角形的边之间的关系得出MN=2，进而得出BC=6，
10．【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
∴他下降 ×2=1米.
故答案为：1.
【分析】利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半来求可得.
11．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=4cm，∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=2cm.
故答案为：2
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AB=2BC=4BD，求出BD的值.
12．【答案】1或4
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1，当点D、点E分别在线段CB和AC上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠AED=∠CDE+∠C=15°+60°=75°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠AED=75°，
∴∠DAE=180°-75°-75°=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠CAD，
∴AD是等边三角形BC边上的中线，
∴CD= BC=1；
（ 2 ）如图2，当点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB =60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠E=∠ACB-∠CDE=60°-15°=45°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E=45°，
∴∠DAE=180°-45°-45°=90°，
∴∠ADC=180°-∠DAE-∠ACB=30°，
∴CD=2AC=4.
综合（1）（2）可得：CD=1或4.
故答案为：1或4.
【分析】当点D、点E分别在线段CB和AC上时，由等边三角形的性质，得到各个角是60°，各边相等，由角的和差和等边对等角，得到AD是等边三角形BC边上的中线，根据三线合一求出线段CD的值；当点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上时，由等边三角形的性质，得到各个角是60°，各边相等，由角的和差和等边对等角，得到∠ADC=30°，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出CD=2AC的值.
13．【答案】3
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过P作PF⊥AB于F．∵PD∥AC，∴∠FDP=∠BAC=30°，∴在Rt△PDF中，PF= PD=3．
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∴PE=PF=3．
故答案为：3
【分析】根据平行线和角平分线的性质得到PD=AD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得到∠BDP=∠BAC=30°，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出PF的值，再由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，得到PE=PF的值.
14．【答案】2＜AD＜8
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF= AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE=2AB=4AF，求出AD的取值范围.
15．【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过P作PC⊥MN于点C，
∵PM=PN，
∴MC= MN=1，
∴OC=OM+MC=OM+1，
∵∠AOB=60°，
∴OP=2OC=2（OM+1），
∵OP+OM=17，
∴2（OM+1）+OM=16，解得OM=5，
故答案为：5
【分析】根据等腰三角形的三线合一求出MC的值，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出OM的值.
16．【答案】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°.
又∵在△AEC中，∠C＝90°，
∴AC＝ AE＝2
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠AEC=30°、AE＝BE的值，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AC的长．
17．【答案】解：∵△ABC周长为12，在等边三角形ABC中，
∴AB＝4，
∵BD⊥BC，AD⊥BD于D，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝2．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】由已知求出边长的值，再根据垂直的性质和等边三角形的性质求出∠ABD＝30°，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AD的长.
18．【答案】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠BAE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，又∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°，∴PQ= BP.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到各个角是60°，三边相等，再由全等三角形的判定方法SAS得到△ABE≌△CAD，得到对应角相等，由角的和差求出∠PBQ=30°，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到结论.
19．【答案】解：如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设EA=x，
在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
∴EB：EA=3x：x=3．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一，得到∠B=∠EDA=30°，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AB=2AD=4AE，得到EB：EA的值．
20．【答案】（1）解： 是等边三角形，
，
，
，
，
，
（2）解： ， ，
是等边三角形．
，
， ，
．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到∠B=60°，再由平行线和垂直的性质，求出∠F的度数；（2）由（1）得到△EDC是等边三角形，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出DF的长．
21．【答案】（1）证明：连结BE，如图．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
（2）解：△BCD是等边三角形．理由如下：∵DE垂直平分AB，∴D为AB的中点．∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD.又∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AE＝BE，∠ABE＝∠A＝30°，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE＝BE=2CE；（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到CD＝BD，再由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到△BCD是等边三角形.
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（锁定：题目与试卷不符）2018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.3.2 等边三角形（2） 同步练习
一、选择题
1．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵∠B=30°，∴∠DCB=60°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，
∵AC=6，∴AD=3，AB=12，∴BD=9.
故答案为：C.
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AB、AD的值，求出BD的值.
2．（2017八下·桂林期中）已知直角三角形中30°角所对的直角边长为5，则斜边长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得斜边长为10，故选B.
3．如图，在Rt△ABC中， ACB＝90°， B＝60°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若EC＝ ，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接BE.
∵∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠CBE=60°-30°=30°，
∴BE=2CE=2× =2 ，
∴AC=AE+CE= + =3 .
故答案为：C.
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，和线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，求出AC的长.
4．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2.5
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥OB于M．
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝ PC＝5．
∵PD＝PM，
∴PD＝5．
故答案为：C．
【分析】根据三角形三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠BCP的度数，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出PM的值，再由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，得到PD＝PM的值.
5．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．4m B． m C．8m D．16m
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】过C作 于
则
故答案为：A．
【分析】根据平角定义得到∠CBM=30°，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出高度h的值.
6．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若PF＝3，则BP＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°．
在△BAD和△ACE中
，
∴△BAD≌△ACE．
∴∠CAE=∠ABD．
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠EAC=∠BAC=60°．
∴在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°=30°．
∴BP=2PF=6．
故答案为：A．
【分析】由等边三角形的性质得到三边相等，三个角都是60°，再由全等三角形的判定方法AAS，得到△BAD≌△ACE，得到对应角相等，再由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠BPF的度数，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出BP的值.
7．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF=（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC是边长为20的等边三角形，
所以BC=20 ，∠B=∠C=60 ，
又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以，∠BDE=30 ，∠CDF=30 ，
所以，BE= BD， CF= DC，
所以，BE+CF= BD+ DC= BC=10.
故答案为：B
【分析】根据等边三角形的性质得到边长，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出BE、CF的值.
8．在 中， 为直角， ， 于D，若 ，则AB的长度是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4，
∴AB=2BC=8.
故答案为：A.
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AB=2BC=4BD的值.
9．（2018·淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义平行线的性质得出∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，根据等量代换及等角对等边得出∠ACB=2∠B，NM=NC，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B=30°，根据含30 角的直角三角形的边之间的关系得出MN=2，进而得出BC=6，
二、填空题
10．（2018九下·宁河模拟）小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降 米．
【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
∴他下降 ×2=1米.
故答案为：1.
【分析】利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半来求可得.
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=8cm，BD= cm．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=4cm，∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=2cm.
故答案为：2
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AB=2BC=4BD，求出BD的值.
12．（2017八上·哈尔滨月考）已知等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，且AD=AE，∠EDC=15°，则线段CD= .
【答案】1或4
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1，当点D、点E分别在线段CB和AC上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠AED=∠CDE+∠C=15°+60°=75°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠AED=75°，
∴∠DAE=180°-75°-75°=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠CAD，
∴AD是等边三角形BC边上的中线，
∴CD= BC=1；
（ 2 ）如图2，当点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB =60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠E=∠ACB-∠CDE=60°-15°=45°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E=45°，
∴∠DAE=180°-45°-45°=90°，
∴∠ADC=180°-∠DAE-∠ACB=30°，
∴CD=2AC=4.
综合（1）（2）可得：CD=1或4.
故答案为：1或4.
【分析】当点D、点E分别在线段CB和AC上时，由等边三角形的性质，得到各个角是60°，各边相等，由角的和差和等边对等角，得到AD是等边三角形BC边上的中线，根据三线合一求出线段CD的值；当点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上时，由等边三角形的性质，得到各个角是60°，各边相等，由角的和差和等边对等角，得到∠ADC=30°，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出CD=2AC的值.
13．若∠BAC＝30°，AP 平分∠BAC，PD∥AC，且 PD＝6，PE⊥AC，则 PE＝
【答案】3
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过P作PF⊥AB于F．∵PD∥AC，∴∠FDP=∠BAC=30°，∴在Rt△PDF中，PF= PD=3．
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∴PE=PF=3．
故答案为：3
【分析】根据平行线和角平分线的性质得到PD=AD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得到∠BDP=∠BAC=30°，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出PF的值，再由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，得到PE=PF的值.
14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
【答案】2＜AD＜8
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF= AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE=2AB=4AF，求出AD的取值范围.
15．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，OP+OM=17，则OM= .
【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过P作PC⊥MN于点C，
∵PM=PN，
∴MC= MN=1，
∴OC=OM+MC=OM+1，
∵∠AOB=60°，
∴OP=2OC=2（OM+1），
∵OP+OM=17，
∴2（OM+1）+OM=16，解得OM=5，
故答案为：5
【分析】根据等腰三角形的三线合一求出MC的值，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出OM的值.
三、解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长．
【答案】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°.
又∵在△AEC中，∠C＝90°，
∴AC＝ AE＝2
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠AEC=30°、AE＝BE的值，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AC的长．
17．如图，已知△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥BC，过A作AD⊥BD，垂足为D，若△ABC的周长为12，求AD的长.
【答案】解：∵△ABC周长为12，在等边三角形ABC中，
∴AB＝4，
∵BD⊥BC，AD⊥BD于D，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝2．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】由已知求出边长的值，再根据垂直的性质和等边三角形的性质求出∠ABD＝30°，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AD的长.
18．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ= BP．
【答案】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠BAE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，又∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°，∴PQ= BP.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到各个角是60°，三边相等，再由全等三角形的判定方法SAS得到△ABE≌△CAD，得到对应角相等，由角的和差求出∠PBQ=30°，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到结论.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．
【答案】解：如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设EA=x，
在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
∴EB：EA=3x：x=3．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一，得到∠B=∠EDA=30°，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出AB=2AD=4AE，得到EB：EA的值．
20．如图所示，在等边 中，点D，E分别在边BC，AC上，且 ，过点E作 ，交BC的延长线于点F．
（1）求 的大小；
（2）若 ，求DF的长．
【答案】（1）解： 是等边三角形，
，
，
，
，
，
（2）解： ， ，
是等边三角形．
，
， ，
．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到∠B=60°，再由平行线和垂直的性质，求出∠F的度数；（2）由（1）得到△EDC是等边三角形，再由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出DF的长．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连结CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：连结BE，如图．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
（2）解：△BCD是等边三角形．理由如下：∵DE垂直平分AB，∴D为AB的中点．∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD.又∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AE＝BE，∠ABE＝∠A＝30°，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE＝BE=2CE；（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到CD＝BD，再由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到△BCD是等边三角形.
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