专题11 等差数列与等比数列问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙理) 已知等比数列的前3项和为168，，则( )
A．14 B．12 C．6 D．3
1．答案 D 解析 设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，
则，解得，所以．故选：D．
2．(2022·全国乙文) 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
2．答案 2 解析 由可得，化简得，即
，解得．
【知识总结】
1．等差数列、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
(3)等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d；
(4)等比数列的求和公式：Sn＝
2．等差数列、等比数列的性质
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a.
2．前n项和的性质：
对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．
【题型突破】
题型一 等差数列基本量的计算
1．(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
1．答案 C 解析 设等差数列{an}的公差为d，则由得
即解得d＝4．
2．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
2．答案 B 解析 由3S3＝S2＋S4，得：3(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a1＋a2＋a3＋a4，∴a1＋a2＋2a3＝a4，设
公差为d，则4a1＋5d＝a1＋3d，∴d＝－a1＝－3．∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10．
3．(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )
A．8 B．10 C．12 D．14
3．答案 C 解析 由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2
＝12，故选C．
4．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
4．答案 C 解析 设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝
a1＋99d＝－1＋99＝98．
5．设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝( )
A． B． C．3 D．
5．答案 B 解析 令bn＝nan，则2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，所以{bn}为等差数列，因为b1＝1，b2＝4，所
以公差d＝3，则bn＝3n－2，所以b18＝52，则18a18＝52，所以a18＝．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．
6．答案 30 解析 法一 设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，S4＝12，可得
解得所以S6＝6a1＋15d＝30．
法二 由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，由S3＝6，S4＝12可得解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30．
7．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
7．答案 25 解析 设等差数列{an}的公差为d，由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－2
＋d＋(－2)＋5d＝2，解得d＝1．所以S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25．
8．(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为
________．
8．答案 3n2－2n 解析 设bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝＝
＝＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*．故Sn＝×n＝3n2－2n．
9．(2013·全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9．答案 C 解析 由题意得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋
d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5．
10．(2019·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
10．答案 A 解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由S4＝0，a5＝5可得解得
所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n．故选A．
题型二 等差数列性质的应用
11．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A．3 B．－3 C． D．－
11．答案 A 解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3．
12．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
12．答案 C 解析 由等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…
＋a101＝0，所以a51＝0，故a3＋a99＝2a51＝0．
13．已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
13．答案 B 解析 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14．
14．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为( )
A．6 B．12 C．24 D．48
14．答案 D 解析 ∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，由等差数列的性质，a1＋3a8＋a15＝5a8＝
120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48．
15．已知等差数列{an}，若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，则a2＋a5＋a8＋a11＝________．
15．答案 7 解析 ∵a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，∴a1＋a12＝a2＋a11＝a3＋a10＝a4＋a9＝a5＋a8＝a6＋a7
＝＝，∴a2＋a5＋a8＋a11＝7．
16．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14 B．21 C．28 D．35
16．答案 C 解析 ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28．
17．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
17．答案 C 解析 设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－a11＝(a8＋
d)－(a8＋3d)＝a8＝16．
18．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则
＋＝( )
A． B． C． D．
18．答案 A 解析 ＋＝＋＝＝＝＝＝
＝，故选A．
19．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于( )
A．45 B．60 C．75 D．90
19．答案 A 解析 由题意得a3＋a8＝9，∴S10＝＝＝＝45．
20．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )
A．13 B．12 C．11 D．10
20．答案 A 解析 因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146
＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝＝＝390，即n＝13．
题型三 等比数列基本量的计算
21．(2017·全国Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．
21．答案 －8 解析 设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，
两式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝－8．
22．(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( )
A．12 B．24 C．30 D．32
22．答案 D 解析 设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2
＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2，因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32．故选D．
23．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( )
A．16 B．8 C．4 D．2
23．答案 C 解析 设正数的等比数列{an}的公比为q，则解得∴a3
＝a1q2＝4．故选C．
24．(2019·全国Ⅰ)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________．
24．答案 解析 由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3．所以S5＝＝＝．
25．已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项的和S9＝________．
25．答案 1 022 解析 由＝4(an＋1－an)得，a－4an＋1an＋4a＝0，∴(an＋1－2an)2＝0，＝2，∴
数列{an}是首项a1＝2，公比为2的等比数列，∴S9＝＝1 022．
26．(多选题)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则( )
A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2047 D．an＋an＋1＜an＋2
26．答案 ABD 解析 根据题意，对于A，正项等比数列{an}满足2q3＝4q＋2q2，变形可得q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1，又{an}为正项等比数列，则q＝2，故A正确；对于B，an＝2×2n－1＝2n，B正确；对于C，Sn＝＝2n＋1－2，所以S10＝2046，C错误；对于D，an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n＝3an，而an＋2＝2n＋2＝4×2n＝4an＞3an，D正确．故选ABD．
27．(2015·全国Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
27．答案 6 解析 由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝
＝126，解得n＝6．
28．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝( )
A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1
28．答案 B 解析 方法一 设等比数列{an}的公比为q，由a5－a3＝12，a6－a4＝24得
解得所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝＝2n－1．因此＝＝2－21－n．故选B．
方法二 设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2．由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1．所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以＝＝2－21－n．
方法三 设等比数列{an}的公比为q，则，得＝q＝2．将q＝2代入①，解得a3＝4．所以a1＝＝1，下同方法一．
29．设等比数列的前n项和为Sn，若S1＝a2－，S2＝a3－，则公比q＝( )
A．1 B．4 C．4或0 D．8
29．答案 B 解析 ∵S1＝a2－，S2＝a3－，∴解得或
(舍去)，故所求的公比q＝4．
30．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman．若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
30．答案 C 解析 ∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2
为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n．又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．
题型四 等比数列性质的应用
31．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是( )
A．－2 B．－ C．± D．
31．答案 B 解析 根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，所
以a3<0，a7<0，即a5<0，由a3a7＝a，得a5＝－＝－．
32．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
32．答案 C 解析 由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10．
33．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝( )
A．4 B．6 C．8 D．8－4
33．答案 C 解析 在等比数列{an}中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3
＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8，故选C．
34．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
34．答案 C 解析 数列{lg an}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝
lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4．
35．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10 C．8 D．2＋log35
35．答案 B 解析 由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝
log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10．
36．已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1
＋log2a2＋…＋log2a7＝________．
36．答案 21 解析 因为对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，令m＝1，则a1·an＝a1＋n对任意的n∈N*
恒成立，∴数列{an}为等比数列，公比为a1，由等比数列的性质有a3a5＝a，因为a3·a5＋a4＝72，则a＋a4＝72，∵a4＞0，∴a4＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2a＝log287＝21．
37．在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
37．答案 A 解析 由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋…＋．因为a8a1＝a7a2＝
a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2．
38．已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a＝π，则tan(a3·a5)等于( )
A． B．－ C．－ D．±
38．答案 A 解析 由已知得a＋2a＝π，∴a＝，又a3·a5＝a＝，∴tan(a3·a5)＝．
39．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为( )
A．16 B．8 C．2 D．4
39．答案 B 解析 因为a4与a14的等比中项为2，所以a4·a14＝a7·a11＝(2)2＝8，所以2a7＋
a11≥2＝2＝8，所以2a7＋a11的最小值为8．
40．已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2020＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)等于
( )
A．2 020 B．1 010 C．2 D．
40．答案 A 解析 ∵a1a2 020＝1，∴f(a1)＋f(a2 020)＝＋＝＋＝＋＝2，
∵{an}为等比数列，则a1a2 020＝a2a2 019＝…＝a1 010a1 011＝1，∴f(a2)＋f(a2 019)＝2，…，f(a1 010)＋f(a1 011)＝2，即f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)＝2×1 010＝2 020．
题型五 等差与等比数列的综合计算
41．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan
的值为( )
A．－ B．－1 C．－ D．
41．答案 A 解析 依题意得，a＝(－)3，a6＝－，3b6＝7π，b6＝，所以＝＝－，
故tan ＝tan ＝tan ＝－tan＝－．
42．各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且a1＝1，
a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．
42．答案 an＝ 解析 由题设可得an＋1＝，an＝，得2bn＝an＋an＋1 2bn＝
＋，即2＝＋，又a1＝1，a2＝3 2b1＝4 b1＝2，则{}是首项为的等差数列．由已知得b2＝＝，则数列{}的公差d＝－＝－＝，所以＝＋(n－1)·＝，即＝．当n＝1时，＝，当n≥2时，＝，则an＝＝，a1＝1符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝．
43．(2020·江苏)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和
Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q的值是________．
43．答案 4 解析 等差数列{an}的前n项和公式为Pn＝na1＋d＝n2＋n，等比数列{bn}
的前n项和公式为Qn＝＝－qn＋，依题意Sn＝Pn＋Qn，即n2－n＋2n－1＝n2＋n－qn＋，通过对比系数可知得故d＋q＝4．
44．(2017·全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为
( )
A．－24 B．－3 C．3 D．8
44．答案 A 解析 设{an}的公差为d，根据题意得a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝
－2，所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24．
45．设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝_____，＝______．
45．答案 3 10 解析 设等比数列的通项公式an＝a1qn－1，又因为3a1，2a2，a3成等差数列，所以2×2a2
＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2，解得q＝3或q＝1(舍)，＝＝＝10．
46．公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a2成等差数列，mS2，S3，S4成等比数列，则
m＝( )
A． B． C．1 D．
46．答案 D 解析 设{an}的公比为q(q≠0且q≠1)，根据a1，a3，a2成等差数列，得2a3＝a1`＋a2，即2a1q2
＝a1＋a1q，因为a1≠0，所以2q2－1－q＝0，即(q－1)(2q＋1)＝0．因为q≠1，所以q＝－，则S2＝＝·，S3＝＝·，S4＝＝·，因为mS2，S3，S4成等比数列，所以S＝mS2·S4，即＝m····，因为a1≠0，所以≠0，所以＝m××，得m＝，故选D．
47．在公差d＜0的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…
＋|an|＝________．
47．答案 解析 由已知可得(2a2＋2)2＝5a1a3，即4(a1＋d＋1)2＝5a1·(a1＋2d)，
所以(11＋d)2＝25(5＋d)，解得d＝4(舍去)或d＝－1，所以an＝11－n．当1≤n≤11时 ，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝；当n≥12时，an＜0，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋a11－(a12＋a13＋…＋an)＝2(a1＋a2＋a3＋…＋a11)－(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝2×－＝．综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
48．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11．那么一定有( )
A．a6≤b6 B．a6≥b6 C．a12≤b12 D．a12≥b12
48．答案 B 解析 因为等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11，所以a1＋
a11＝b1＋b11＝2a6，所以a6＝＝≥＝b6．当且仅当b1＝b11时，取等号，此时数列{bn}的公比为1．
49．已知正项数列{an}满足a－2a－an＋1an＝0，设bn＝log2，则数列{bn}的前n项和为( )
A．n B． C． D．
49．答案 C 解析 由a－2a－an＋1an＝0，可得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，又an>0，∴＝2，∴an＋
1＝a1·2n．∴bn＝log2＝log22n＝n，∴数列{bn}的前n项和为，故选C．
50．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列．若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则
(n∈N*)的最小值为( )
A．4 B．3 C．2－2 D．
50．答案 A 解析 由题意a1，a3，a13成等比数列，得(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2．故an＝2n－1，Sn
＝n2．因此＝＝＝＝(n＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当n＝2时取得最小值4．专题11 等差数列与等比数列问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙理) 已知等比数列的前3项和为168，，则( )
A．14 B．12 C．6 D．3
2．(2022·全国乙文) 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【知识总结】
1．等差数列、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
(3)等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d；
(4)等比数列的求和公式：Sn＝
2．等差数列、等比数列的性质
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a.
2．前n项和的性质：
对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．
【题型突破】
题型一 等差数列基本量的计算
1．(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
3．(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )
A．8 B．10 C．12 D．14
4．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
5．设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝( )
A． B． C．3 D．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．
7．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
8．(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为
________．
9．(2013·全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．(2019·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
题型二 等差数列性质的应用
11．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A．3 B．－3 C． D．－
12．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
13．已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
14．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为( )
A．6 B．12 C．24 D．48
15．已知等差数列{an}，若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，则a2＋a5＋a8＋a11＝________．
16．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14 B．21 C．28 D．35
17．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
18．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则
＋＝( )
A． B． C． D．
19．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于( )
A．45 B．60 C．75 D．90
20．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )
A．13 B．12 C．11 D．10
题型三 等比数列基本量的计算
21．(2017·全国Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．
22．(2020·全国Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( )
A．12 B．24 C．30 D．32
23．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( )
A．16 B．8 C．4 D．2
24．(2019·全国Ⅰ)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________．
25．已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项的和S9＝________．
26．(多选题)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则( )
A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2047 D．an＋an＋1＜an＋2
27．(2015·全国Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
28．(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝( )
A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1
29．设等比数列的前n项和为Sn，若S1＝a2－，S2＝a3－，则公比q＝( )
A．1 B．4 C．4或0 D．8
30．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman．若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
题型四 等比数列性质的应用
31．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是( )
A．－2 B．－ C．± D．
32．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
33．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝( )
A．4 B．6 C．8 D．8－4
34．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
35．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10 C．8 D．2＋log35
36．已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1
＋log2a2＋…＋log2a7＝________．
37．在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
38．已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a＝π，则tan(a3·a5)等于( )
A． B．－ C．－ D．±
39．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为( )
A．16 B．8 C．2 D．4
40．已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2020＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)等于
( )
A．2 020 B．1 010 C．2 D．
题型五 等差与等比数列的综合计算
41．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan
的值为( )
A．－ B．－1 C．－ D．
42．各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且a1＝1，
a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．
43．(2020·江苏)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an＋bn}的前n项和
Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q的值是________．
44．(2017·全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为
( )
A．－24 B．－3 C．3 D．8
45．设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝_____，＝______．
46．公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a2成等差数列，mS2，S3，S4成等比数列，则
m＝( )
A． B． C．1 D．
47．在公差d＜0的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…
＋|an|＝________．
48．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项都是正数，且a1＝b1，a11＝b11．那么一定有( )
A．a6≤b6 B．a6≥b6 C．a12≤b12 D．a12≥b12
49．已知正项数列{an}满足a－2a－an＋1an＝0，设bn＝log2，则数列{bn}的前n项和为( )
A．n B． C． D．
50．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列．若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则
(n∈N*)的最小值为( )
A．4 B．3 C．2－2 D．
